专题13概率小题部分
【训练目标】
理解概率的定义，能正确区分概率与频率；
理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；
掌握古典概型的概念及计算；
掌握几何概型的概念及计算；
掌握两个计数原理及简单的排列组合，及列举法求概率。
理解随机变量的概念，掌握随机变量分布列的性质；
掌握随机变量分布列的求法，及期望计算公式。
掌握条件概率的计算公式，掌握正态分布，二项分布的期望和方差公式。
【温馨小提示】
概率在高考中有一道小题一道大题，17分左右，对于理科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。
【名校试题荟萃】
1、袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()
【答案】B
【解析】至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．中两事件是对立事件．
张卡片上分别写有数字，从这张卡片中随机抽取2张，则取出张卡片上数字之和为偶数的概率为()
B.C.D.
【答案】B
【解析】由题知基本事件总数为，如果2张卡片上数字之和为奇数，需1奇1偶，共有种，取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为，因此取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为.
从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会决赛门票中任取3张，则所取3张中于至少有2张价格相同的概率为（??）
B.C.D.
【答案】B
【解析】
先求三张价格均不相同的概率所求概率为
4、国庆期间，甲去某地的概率为，乙和丙二人去此地的概率为、，假定他们三人的行动相互不受影响，这段时间至少有人去此地旅游的概率为（???）
B.C.D.
【答案】B
5、已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（???）
B.C.D.
【答案】C
【解析】
记“第一次取出次品”为事件，“第二次取出次品”为事件，则，
，所以．
设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（）
B.C.D.
【答案】C
【解析】
由?无相异实根得?，因此函数没有极值点的概率是，选C.
将本不同的书全发给名同学,每名同学至少有一本书的概率是()
B.C.D.
【答案】A
8、已知是球面上的五个点，其中在同一圆周上，若不在所在的圆周上，则从这五个点的任意两点的连线中取出条，这两条直线是异面直线的概率是（??）
B.C.D.
【答案】D
【解析】
由题意，得是四棱锥的五个顶点，任取两点，共有条直线，从条直线中任取两条直线，共有对，其中异面直线对是一条侧棱与地面上三条相等（如侧棱与）共有对异面直线，由古典概型的概率公式，得这两条直线是异面直线的概率是．
某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（）
?B.?C.?D.
【答案】C
10、一个射箭运动员在练习时只记射中环和环的成绩，未击中环或环就以环记．该运动员在练习时击中环的概率为，击中环的概率为，既未击中环也未击中环的概率为（，，），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为环，则当取最小值时，的值为（）
B.C.D.
【答案】A
【解析】
由运动员一次射箭击中环数的期望为环，可知，即，则，当，即时取等号，此时，则.
在区间内随机取两个实数，，则满足的概率是(?)
B.C.D.
【答案】D
【解析】
由题意知表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足的区域即为图中阴影部分，面积为，所以所求概率为．
12、若是从区间中任取的一个实数，是从区间中任取的一个实数，则的概率是(?)
B.C.D.
【答案】A
【解析】
试验的全部结果构成的区域（如图）为边长分别为2和3的矩形，面积为．
其中满足的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为．
则所求概率为．
如图，将半径为的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分）．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为(?)
B.C.D.
【答案】A
14、在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若，则,
B.C.D.
【答案】C
【解析】
根据题意得，设落入阴影部分点的个数为，则，则.
有一批产品，其中有件正品和件次品，有放回地任取件，若表示取到次品的件数，则________.
【答案】
【解析】
由题意知取到次品的概率为，
，.
16、已知随机变量，若，则_________.
【答案】
【解析】
，所以，所以，解得，
所以.
设随机变量的分布列为，其中为常数，则_________.
【答案】
18、设随机变量的概率分布律如下表所示：
其中成等差数列，若随机变量的的均值为，则的方差为________.
【答案】
【解析】
由题意有，?，，解得，则其方差为.
有一种游戏规则如下：口袋里共装有个红球和个黄球，一次摸出个，若颜色都相同，则得分；若有个球颜色相同，另一个不同，则得分，其他情况不得分.小张摸一次得分的期望是________.
【答案】
20、设随机变量，且，则实数的值为________.
【答案】【解析】
随机变量，正态曲线关于对称，，与关于对称，所以?.
21、某校高三一模理科参加数学考试学生共有1016人，分数服从，则估计分数高于105分的人数为________.
【答案】508
【解析】
因为分数服从，所以由正态分布的性质可知，估计分数高于105分的人数为故，答案为508.
如图，是以为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则______．
【答案】
【解析】
故答案为．
袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球,不放回地摸出黑球,设“第一次摸得红球”为事件,“摸得的两球同色”为事件,则概率_________.
【答案】
【解析】
由,,根据条件概率可知.
设集合,,分别从集合和中随机取一个数和,确定平面上一个点,设“点落在直线上”为事件,若事件的概率最大,则的值为________.
【答案】
【解析】
由题意知,点的坐标的所有情况为,,,,,,,,,共种.
当时,落在直线上的点的坐标为,共种;
当时,落在直线上的点的坐标为和,共种;
当时,落在直线上的点的坐标为,,,共种;
当时,落在直线上的点的坐标为,,共种;
当时,落在直线上的点的坐标为,共种.
因此,当的概率最大时,.
个男生，个女生排成一排，其中有且只有两个女生相邻排在一起的排法总数有_______.
【答案】880
26、将名新的同学分配到、、三个班级中，每个班级至少安排名学生，其中甲同学不能分配到班，那么不同的分配方案数为________.（请用数字作答）
【答案】4
【解析】
将甲同学分配到班或班，有种；剩下的名同学分配方案为种，所以不同的分配方案为种.
某班组织文艺晚会，准备从等个节目中选出个节目演出，要求：两个节目至少有一个选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为_________.
【答案】140
【解析】分两类：第一类，只有一个选中，则不同演出顺序有种；第二类，同时选中，则不同演出顺序有种，共有．故答案应填：．
甲、乙两位高一学生进行新高考“七选三”选科（即在物、化、生、政、史、地、技术等七门科中任选择三门学科），已知学生甲必选政治，学生乙必不选物理，则甲、乙两位学生恰好有两门选课相同的选法有________种.（用数字作答）
【答案】10
【解析】
（1）甲选物理：?；
（2）甲不选物理：；共有种.
为了调查观众对央视某节目的关注度,现从某社区随机抽取名青年人进行调查,再从中挑选名做进一步调查,则这名青年人中的小张、小李至少有人被选中,而小汤没有被选中做进一步调查的不同选法有________种.
【答案】496
30、有个大学报送名额,计划分别到个班级,每班至少一个名额,则不同的分法种数
为种.
【答案】【解析】一共有个保送名额,分到个班级,每个班级至少一个保送名额,即将名额分成份,每份至少个(定行数).将个名额排成一列产生个空,中间有个空(定空位).即只需在中间个空中插入个隔板,隔板不同的方法共有种.(插隔板)
2、理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；
3、掌握古典概型的概念及计算；
4、掌握几何概型的概念及计算；
5、掌握两个计数原理，及列举法求概率。
【温馨小提示】
概率在高考中有一道小题一道大题，17分左右，对于文科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。
【名校试题荟萃】
1、袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()
【答案】B
【解析】至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．中两事件是对立事件．
甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为，且，若，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()
B.C.D.
【答案】D
3、连续投掷两次骰子得到的点数分别为，向量与向量的夹角记为，则的概率为()
B.C.D.
【答案】B
【解析】
,，,∴，
又满足的骰子的点数有共个．
故所求概率为.下列说法中正确的是（??）
若事件与事件是互斥事件，则；
若事件与事件满足条件：，则事件与事件是对立事件；
一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件；
把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件．
【答案】D
5、已知函数，若是从三个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（?）
B.C.D.
【答案】D
【解析】求导数可得要满足题意需有两不等实根，
，，又的取法共种，其中满足的有共种，
故所求的概率为.
从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（?）
B.C.D.
【答案】B
【解析】设另外三名学生分别为丙、丁、戊，从5名学生中随机选出2人，有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（甲，戊）、（乙，丙）、（乙，丁）、（乙，戊）、（丙，丁）、（丙，戊）、（丁，戊），共10中情形，其中甲被选中的有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（甲，戊），共4中情形，故甲被选中的概率.
已知函数，其中，，则函数在上是增函数的概率为（）
B.C.D.
【答案】D
8、已知点，为圆上的任意两点，且，若中点组成的区域为，在圆内任取一点，则该点落在区域上的概率为(?)
B.C.D.
【答案】B
【解析】
中点组成的区域为如图所示，
那么在内部任取一点落在内
的概率为.
在区域内任意取一点?，则的概率是(?)
B.C.D.
【答案】D
【解析】
区域，表示如图所示的正方形区域，
而表示如图所示圆外的区域，由几何概型，概率为.
在区间上随机取一个实数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为（?）
B.C.D.
【答案】C
11、在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为(?)
B.C.D.
【答案】A
【解析】
，当时，，在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率．
在正方形之内随机选取一点到点的距离小于正方形的边长的概率是(?)
B.C.D.
【答案】C
如图，圆内切于扇形，，若向扇形内随机投掷个点，则落入圆内的点的个数估计值为(?)?
A.100B.200C.400D.450
【答案】C
【解析】
如下图所示，设扇形半径为，圆半径为，，
落入圆内的点的个数估计值为．
如图，在半径为的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形（阴影部分）内的概率是（??）
【答案】B
15、采用简单随机抽样从含个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为________.
【答案】
【解析】
不论先后，被抽取的概率都是.
将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________【答案】
【解析】
由题意可知基本事件的总数为，而符合向上的点数依次成等差数列的事件可分为三类，第一类，三数相同时，共有种；第二类，连续三数时，即公差为时，共种；第三类，不连续三数即公差为时，共种；综上向上的点数依次成等差数列的概率为.
从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为，则函数的图象经过第三象限的概率是________【答案】
18、如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是_________.
【答案】
【解析】
设被污损的数字是，则．甲的平均成绩为：，乙：?，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A，则此时有，解得，则事件A包含，共8个基本事件，则。
19、一枚硬币连续抛掷5次，如果出现次正面的概率等于出现次正面的概率，那么的值是________．
【答案】1
20、在棱长为的正方体中，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为________.
【答案】
【解析】
所求概率为．
某水池的容积是，向水池注水的水龙头和水龙头的流速都是,它们在一昼夜内随机开放(小时),水池不溢出水的概率为_________.
【答案】
【解析】
设注水的水龙头所用时间为，和注水水龙头的时间为，要使它们在一昼夜内随机开放，水池不溢出水必须，并且，，由几何概型的公式可得在一昼夜内随机开放，水池不溢出水的概率。
.22、已知函数，其中实数随机选自区间，则对，都有恒成立的概率是________.
【答案】
【解析】
对，都有恒成立，则解得，．由几何概型的概率计算公式得，．分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为_________.
【答案】
24、小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是_______.
【答案】
【解析】
设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为，则这三个事件互斥，而且，又，，所以.
在单位正方形内随机取一点，则若在如图阴影部分的概率是_________.
【答案】
【解析】
空白区域可看作是由8部分组成，每一部分是由边长为的正方形面积减去半径为的四分之一圆的面积，故空白区域面积为，故阴影部分面积为，由几何概型概率计算公式得。
26、为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是_______．
【答案】9
【解析】
根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率，根据公式可得.
如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形,在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则_________.
【答案】
【解析】
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