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| 2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题 (14) |
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专题14概率大题部分
【训练目标】
理解概率的定义，能正确区分概率与频率；
理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；
掌握古典概型的概念及计算；
掌握几何概型的概念及计算；
掌握两个计数原理及简单的排列组合，及列举法求概率。
理解随机变量的概念，掌握随机变量分布列的性质；
掌握随机变量分布列的求法，及期望计算公式。
掌握条件概率的计算公式，掌握正态分布，二项分布的期望和方差公式。
【温馨小提示】
概率在高考中有一道小题一道大题，17分左右，对于理科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。
【名校试题荟萃】
1、某市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，数据如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼的时间（分钟） [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 总人数 20 36 44 50 40 10
将学生日均课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 20 110 合计
（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量为，求的分布列和数学期望。
（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中，抽取4名学生，求其中恰好有2名学生是课外体育达标的概率。
参考公式：，其中
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考数据：
【答案】（1）不能（2）（3）
【解析】
（1）由题可知，
课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200
＝≈6.060<6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.
（2）易知，所抽取的10名学生中，男生为名，女生为6名.
可取0,1,2,3.且,,
,
0 1 2 3 的分布列为：
.
2、国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
（1）（2）5％的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
（3）50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求女教师人数的分布列与期望．
附：.
【答案】（1）见解析（2）能（3）1.2
【解析】
（1） 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 20 60 80 年龄大于50岁 10 10 20 合计 30 70 100 （2）
所以能在犯错误概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.
（3）设选出女教师人数为x
则p（x=0）=P（x=1）=，
P（x=2）=X的分布列是x 0 1 2 p 0.1 0.6 0.3 E（x）=。
3、为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（）
阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围
（） [010） [1015） [15）
10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（）10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；
（）10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值．
【答案】（1）见解析（2）3
【解析】
（1）10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X的可能取值为0，1，2，3，
P（X0）＝，P（X1）＝，
P（X2）＝，P（X3）＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 P X的数学期望E（X）0×＋1×＋2×＋3×＝.
4、2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕，世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长，某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况，随机抽查了该商品商店某天200名顾客的消费金额情况，得到如下频率分布表：
消费金额/万卢布
合计 顾客人数 9 31 36 44 62 18 200 将消费顾客超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”，消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”。
求这200名顾客消费金额的中位数与平均数（同一组中的消费金额用该组的中点值作代表；
该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型，采用分层抽样的方法从“非足球迷”，“足球迷”中选取5人，再从这5人中随机选取3人进行问卷调查，
则选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望。
【答案】（1）（2）1.8
（2），
采用分层抽样的方法，从“足球迷”“非足球迷”中选取5人，其中“足球迷”有人，“非足球迷”有人。
设为选取的3人中非足球迷的人数，取值为1,2,3.则
，，。
分布列为：
1 2 3 0.3 0.6 0.1 .......10
。
5、某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.
（1）从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；
（2）从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；
（3）为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?
【答案】（1）0.8（2）5（3）A
【解析】
（1）由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,
即抽出产品为合格品的概率为,从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为,且
,,
,,所以的分布列为
的数学期望。
6、将4
（1）求4在不同的概率；
（2）随机变量X表示，求X的分布列和数学期望EX）．
【答案】（1）（2）1
【解析】
（1）将4四个中4个人恰好在四个不同的公司”为事件A，
事件A共包含个基本事件，所以，
所以4名大学生恰好在不同的概率
（2）方法1：X的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，．
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 P 所以X的数学期望为：
．
方法2：每个同学分到B公司的概率为，．
根据题意，所以，4，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 P 所以X的数学期望为．
7、今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．
（l）求每个家庭能中签的概率；
（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.
（2）
的分布列为
的数学期望.
8、病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效，测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：mg）6mg（6mg）“足量”，否则为“不足量现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂剂吸收量统计得下表。已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株。
（）“植株存活”与“制剂吸收足量”有关？
（2）“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求的分布列和期望；
②将频率视为概率，现在对己知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求.
参考数据：
【答案】（1）不能（2）
【解析】
（1）由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株，“吸收足量”的15株，“吸收不足”的5株，填写列联表如下：
吸收量足 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 15 5 20 则，所以不能在犯错概率不超过1%的前提下，认为“植株存活”与“制剂吸收足量”有关；
（2）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”有4株，存货的1株，所以抽取的3株中的可能取值是2,3，其中，，则分布列为：
2 3 P 所以；
②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为，由题意知：，则
。
9、某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数在内，且其频率满足（其中，）.
（1）求的值；
（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.
（1）（2）120;（3）见解析
（2）由（1），得，频率分布直方图如图：
这40名新生的高考数学分数的平均数为.
（3）由题意可知，，且“高考数学分数不低于130分”的概率为，所以～
所以.
0、据（国际电工委员会）调査显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险，根据测算风能风区分类标准如下：
风能分类 一类风区 二类风区 平均风速 假设投资项目的资金为万元，投资项目的资金为万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区的项目获利的可能性为，亏损的可能性是，不赔不赚的可能性是.
（1）记投资项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望）.
（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于项目，且公司要求对项目的投资不得低于项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值.
【答案】（1），（2）15万元.
（1）A项目投资利润ξ的分布列为
ξ 0.3x -0.2x P 0.6 0.4 E（ξ）＝0.18x=0.08x=0.1x,
B项目投资利润η的分布列为
η 0.35y -0.1y 0 P 0.6 0.1 0.3 E（η）＝0.21y-0.01y=0.2y.
（2）由题意可知x,y满足的约束条件为由（1）可知，.
当x=50,y=50时，z取得最大值15.
1、2018年7月24日，长春长生生物科技有限责任公司先被查出狂犬病疫苗生产记录造假，后又被测出百白破疫苗“效价测定”项不符合规定引发的疫苗事件牵动了无数中国人的心疫苗直接用于健康人群，尤其是新生儿和青少年,与人民的健康联系紧密疫苗上市前的检测实验疫苗生物制品研究得到统计数据如下： 未 感染病毒 总计 未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 总计 50 50 100 现从所有试验中任取一只，取到“注射疫苗”的概率为
（1）求2×2列联表中的数据的值；
能99.9%把握认为疫苗有效？
3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取三只进行病理分析，记已注射疫苗，求的分布列和数学期望．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.P（K2≥k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 0406040
（2）能有99.9%把握认为注射此种疫苗有效
（3）
（3）由已知的取值为
的分布列为
0 1 2 3 P
所以数学期望。
12、某高校在自主招生期间，把高三学生的平时成绩按“百分制”进行折算，选出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．且第四组的学生人数为60，第五组对应的小长方形的高为0.02.
（）
（）6名学生进行面试，并且在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，设第三组有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】（1）见解析（2）
补全频率分布直方图如图：
）（5）
（）90×＝3，60×＝2，30×＝1，则ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
P（ξ0）＝，P（ξ1）＝，P（ξ2）＝，P（ξ3）＝.
因此ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 P 所以期望为E（ξ）0×＋1×＋2×＋3×＝.
13、某职称晋级评定机构对某次参加专业技术考试的100人的成绩进行了统计绘制了频率分布直方图（如图所示）规定80分（满分100分）及以上者晋级成功否则晋级失败．
（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面2×2列联表并判断能否有85的把握认为“晋级成功”与性别有关？
晋级成功 晋级失败 男 16 女 50 合计 （3）将频率视为概率从本次考试的所有人员中随机抽取4人进行约谈记这4人中晋级失败的人数为X求X的分布列与数学期望E（X）．
参考公式：K＝其中n＝a＋b＋c＋d.
P（K） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 K 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）0.005（2）有关（3）3
填表如下：
晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设“晋级成功”与性别无关根据上表数据代入公式可得K＝所以有超过85的把握认为“晋级成功”与性别有关．故PX＝0）＝＝（X＝1）＝＝
P（X＝2）＝＝（X＝3）＝＝
P（X＝4）＝＝
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 P（X＝k） 数学期望为E（X）＝4×＝3..
4、有甲、乙两家外卖公司其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司50天的送餐单数得到如下频数分布表：
送餐单数 38 39 40 41 42 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数 10 15 10 10 5 （1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同将频
（ⅰ）求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
（ⅱ）小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员如果仅从日均工资的角度考虑小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．
（2）238.6，甲
所以X的分布列为
X 228 234 240 247 254 p ＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝238.6.
（ⅱ）依题意甲公司送餐员的日平均送餐单数为
＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8所以甲公司送餐员80＋4×39.8＝239.2元
因为238.6<239.2所以小张应选择甲公司应聘．
【训练目标】
理解概率的定义，能正确区分概率与频率；
理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；
掌握古典概型的概念及计算；
掌握几何概型的概念及计算；
掌握两个计数原理，及列举法求概率。
【温馨小提示】
概率在高考中有一道小题一道大题，17分左右，对于文科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。
【名校试题荟萃】
1、2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：
年龄段 人数（单位：人） 180 180 160 80 约定：此单位45岁—59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列2×2列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？[.Com]
热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计 30 （3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？
【答案】（1）18，12（2）否（3）
【解析】
（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；
（2）2×2列联表如下：
热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 6 12 18 中年 7 5 12 总计 13 17 30 ，
∴没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，，，，其余两人记为，，则从中选两人，一共有如下15种情况：
，，，，，，，，，，，，，，，
抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，所以．
2、某地1～10岁男童年龄xi（）yi（cm）（i1，2，…，10）
x/岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124 130 135.4 140.2 对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85 （1）y关于x的线性回归方程（0.01）
（2）y＝px2＋qx＋r更适合作为y关于x的回归方程模型，他求得的回归方程是＝－0.30x2＋10.17x＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与（1）
（3）6岁～10岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演（）5位男童中任挑选两人表演“二重唱”，则“二重唱”男童身高满足≤6，（ij＝6，7，8，9，10）
【答案】
（1）＝6.87x＋74.67
（2）回归方程＝－0.30x2＋10.17x＋68.07拟合效果更好
（3）
（3）6岁～10岁男童挑选的5位男童身高分别为a，b，c，d，e，则从中任挑选两人表演“二重唱”有10种选法：（ab）（ac）（ad）（ae）（bc）（bd）（be）（cd）（ce）（de）≤6，（ij＝6，7，8，9，10）3种选法，分别是（124130）（130135.4）（135.4140.2）P≤6＝.
3、在区间内任取两个数（可以相等），分别记为和，
（1）若、为正整数，求这两数中至少有一个偶数的概率；
（2）若、，求、满足的概率.
【答案】
（1）?（2）?
【解析】
（1）当为正整数，等可能性的基本事件共36个，如下：
、、、、、；?、、、、、；
、、、、、；?、、、、、；
、、、、、；?、、、、、.
记“两个数中至少有一个为偶数”为事件，包含上述基本事件的个数为27，由古典概型可知.?????????????????????????????????????4、已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某2000名进行调查,将受访用户按年龄分成5组:并整理得到如下频率分布直方图:
（1）的值；
（2）,估计其年龄低于40岁的概率；
（3）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄。
【答案】（1）（2）0.75（3）32.5
13、某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（）从测试成绩在[50，60）[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．
（）根据频率分布直方图，可知成绩在的频率为（0.0018+0.040）×10=0.58所以该班在数学测试中成绩合格的人数为0.58×50=29人；
14、“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：
（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；
（2）若得分不低于分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认同”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
（3）若此样本中的A城市和B城市各抽取人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B城市的概率是多少？
A B 合计 认可 不认可 合计
附：
0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】见解析见解析
【解析】
（1）城市评分的平均值小于城市评分的平均值；
城市评分的方差大于城市评分的方差；
（2）
合计 认可 5 10 15 不认可 15 10 25 合计 20 20 40
所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
15、某校决定为本校上学所需时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间（单位：分钟），将600人随机编号为001，002，…，600，抽取的50名学生上学所需时间均不超过60分钟，将上学所需时间按如下方式分成六组，第一组上学所需时间在［0，10），第二组上学所需时间在[10，20）…，第六组上学所需时间在［50，60］，得到各组人数的频率分布直方图，如下图
（1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一个抽取的号码为006，则第五个抽取的号码是多少？
（2）若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a、b，求满足的事件的概率；
（3）设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？
【答案】054（2）（3）3
（3）全校上学所需时间不少于30分钟的学生约有：
600×（0.008＋0.008＋0.004）×10=120人，
所以估计全校需要3辆校车.
6、某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六组:[40,50）,[50,60）,?[90,100）后得到如图的频率分布直方图.
（1）求图中实数a的值;
（2）若该校高一年级共有学生500人,试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数;
（3）若从样本中数学成绩在[40,50）与[90,100）两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
（2）425（3）
两名学生的结果为：
,
共种;
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有
,,,,,,共7种,
因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为
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