第一讲整数与整除的基本性质(一)
一、整数
基本知识:
关于自然数:1、有最小的自然数1;2、自然数的个数是无限的,不存在最大的自然数;3、两个自然数的和与积仍是自然数;4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数:1整数的个数是无限的,既没有最小的整数,也没有最大的整数;2、两个整数的和、差、积仍是整数,两个整数的商不一定是整数。
十进制整数的表示方法
正整数可以用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示,如67表示,四位数1254可以写成,同样地用字母表示的两位数,三位数,n位整数表示为,(其中ai是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的某个数字,i=n,n–1,…,2,1,其中an)并且
经典例题:
例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数,每个数字只用一次,要求它们的和是一个奇数,并且尽可能地小,那么这两个三位数及这个四位数的和是()
1995168315791401
解:为使和最小,四位数的千位应该是1,百位上的数为0,两个三位数上的百位应分别为2和3;若三个数十位上的数分别是4、5、6,则个位上的数分别是7、8、9,但7+8+9=18是个偶数,这与其和为奇数矛盾,故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7,个位分别为6、8、9,6+8+9为奇数,1046+258+379=1683,选
例2、一个两位数,用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去,仍得原数,这个两位数是()
26283638
解:设这个两位数为,由题意,得,
即由于为偶数,必须为偶数,排除又由于是7的倍数,故选
(此题也可以直接来解是7的倍数,故有返回有)
例3、一个两位数,加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半,这个两位数是。(91年“缙云杯”初中数学邀请赛)
解:设这个两位数为,由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小,所以加上2后发生了进位,由题意,得,,又由于后有进位,同时对应的分别为6与5,这两个数为68或59。
例4、一个四位数与它的四个数字之和等于1991,这个四位数是。
(91年南昌市初中数学竞赛题)
解:四个数位上的数字之和最多不会超过36,这个四位数的千位和百位数字分别是1和9,故设这个四位数为,,整理得,又且为整数,这个四位数为1972。
例5、若三位数与组成该三位数的各位数字之和的比值为(如三位数234,则),求的最大值和最小值。
解:设这个三位数,,
显然,当其值为0时,即时,最大,其值为,当最大时,最小,即时,最小为
二、能被一个数整除的数的特征
基础知识:1、能被2或5整除的数,它的末位数字能被2或5整除
2、能被4或25整除的数,它的最后两位数能被4或25整除。
3、能被8或125整除的数,它的最后三位数能被8或125整除。
4、能被3或9整除的数,它的各数位上的数字之和能被3或9整除。
5、能被11整除的数,它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。
6、0能被任何非零整数整数,能整除任何整数。
要判断某数能否被一个合数整除,只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积,若这个整数能分别被这两个约数整除,则这个数能被这个合数整除。
经典例题:
例6、能被11整除的最小九位数是多少?
解:若某数可被11整除,则其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差位11的倍数,要这样的数最小,首先取1,十位取1,其余数位取0,即所求数为100000010。
例7、一个四位数能被9整除,去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数,求这样的四位数中最大的一个。
解:要求这样的四位数中最大的一个,因而设这个四位数为,要使为4的倍数,且要最大,故。要能被9整除,能被9整除,故
例8、两个三位的和能被37整除,证明:六位数也能被37整除。(第八届“祖冲之杯”数学邀请赛试题)
证明:,
又
而,
例9、已知一个七位自然数是99的倍数(其中是0到9中的某个数字),试求的值,简写出求解过程。(第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题)
题难:分析是99的倍数,而99,故分别是9和11的倍数
由被9,11数整除的数的特点而解此题。
解:,
是9的倍数,
即(为自然数),
。,或
或
,
即故是11的倍数
又,即
同奇偶,
或(不合题意,舍去)
备选题:
类:
设六位数是4的倍数,且它被11除的余数是5,求a+b的值.
(六位数是4的倍数,有,故或6;又它被11除的余数是5
易得1)、当,,是11的倍数,故
2)、当,11,是11的倍数,无解。)
如果个六位数能被33整除,这样的六位数共有多少个?
(易得,及
,及易得解
或或故有3组,分别为192192、195195、198198。
求一个四位数,它等于抹去它的首位数字后剩下的三位数的3倍减去42。
(整理得得代入得)
4、是数0到9的数字,,
(“缙云杯”初中数学邀请赛试题)
5、一个五位数能被3整除,它的最末两位数字组成的数能被6整除,求这个五位数。
类:
如果十位数能被99整除,其中是未知数,则。(第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题)
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