2020年高考数学（理）热点03函数及其性质【命题趋势】纵观高中数学，函数贯穿于整个数学内容，是学生最头疼的内容，也会高考当中最能拉开分
值的考点，占有的分数比重比较高.内容量比较大，近年以及之后的理科数学高考中，函数奇偶性，零点问题，恒成立问题，周期性问题以及单调性
问题是高考函数中的核心.容易把具体函数与相应的性质相结合.通过列举了高考数学高频率考点，组合成了本专题，通过本函数及性质的专题的学
习，让你对高中数学函数及其性质部分有充分的的理解，在以后遇到高考中的高频题型能够快速找到最佳解法.【考查题型】选择题，填空题【满分
技巧】图像题是高考数学中函数及其性质高考必考题型，第一种解法三步走，第一步奇偶性判定，第二步单调性的判定，第三步特殊值的带入.第二
种解法：也是三步走，第一步奇偶性判定，第二步特殊值带入.第三步特殊值带入.零点问题是近几年高考常考题目，此类题目务必采用数形结合.
将复杂函数分割化，从而求出对应函数的交点问题.对于恒成立问题一般采用函数单调性的方法去做.恒成立则小于等于函数最小值，恒成立，则大
于等于函数最大值，对于存在使的成立，则大于函数最小值.对于选择题则可以采用特殊值代入法以及图像法去简化运算.恒成立问题另外注意问题
是双变量问题，双变量问题一般是指的是两个未知数相互不影响，即若恒成立，只要满足定义域范围内最小值大于最大值即可.分段函数单调性问题
是简单题目也是最容易出错的问题，一般容易遗漏边界点.采用特殊值代入法时应采用多次带入方不会出错.函数及其性质一般会放在选择题的
最后四题左右，相对来说比较难，在常规方法的同时应注意特殊点代入，抽象函数具体化.，数形结合思想，化归思想.【常考知识】基本函数图像
变换，奇偶性应用，周期性应用，单调性，不等式问题.【限时检测】（建议用时：60分钟）1．（2019·全国高考真题（理））函数在的图
像大致为A．B．C．D【答案】D【解析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．设，则，所以是奇函
数，图象关于原点成中心对称，排除选项B．又排除选项C，，排除选项A，故选D．【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通
过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域
，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的
对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象2．（2017·全国高考真题（理））函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值
范围是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得故选D.【名师点睛】解
本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.3．（2018·全国高考真题（理
））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，
再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因，因为，所以，，，选C.【名师点睛】：函数的奇偶性与周期
性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．4．（2019
·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】本题为
选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】时，，，，即右移
1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．【名师点睛】易错警示：图像解析式求解
过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数
学建模能力．5．（2018·重庆高考模拟（理））已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x
)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}【答案
】D【解析】首先根据是定义在上的奇函数，求出函数在上的解析式，再求出的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．【详解】∵
是定义在上的奇函数，当x时，，令，则，，令，当时，，解得，当时，，解得∴函数的零点的集合为.故选：D．【名师点睛】本题
考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．属中档题.6．（2019·济南市历城第二中学高考模拟（理））已知函数，并且
实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的单调性可得：
当时，函数的单调性可得：（a），（b），（c），即不满足（a）（b）（c），得解．【详解】因为函数则函数在为增函数，又实数，满足（
a）（b）（c），则（a），（b），（c）为负数的个数为奇数，对于选项，，选项可能成立，对于选项，当时，函数的单调性可得：（a），
（b），（c），即不满足（a）（b）（c），故选项不可能成立，故选：．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，属于中档题．7．（201
9·安徽高考模拟（理））已知函数且的最大值为,则的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】对x进行分类讨论，当x≤2时，f（x
）=x﹣1和当x＞2时，2+logax≤1．由最大值为1得到a的取值范围．【详解】∵当x≤2时，f（x）=x﹣1，∴f（x）max
=f（2）=1∵函数（a＞0且a≠1）的最大值为1,∴当x＞2时，∴，解得∈故答案为：A【名师点睛】（1）本题主要考查分段函数的最
值问题，考查对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是分析推理出当x＞2时，．8
．（2019·河北高考模拟（理））已知定义在R上的函数满足：对任意，则A．B．0C．1D．3【答案】B【解析】试题分析：，且，又，
，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【名师点晴】函数满足则函
数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利
用题干条件赋值即可.9.（2019·湖北高考模拟（理））已知函数为偶函数且在单调递减，则的解集为（）A．B．C．D．【答案
】B【解析】根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．【详解】∵为偶
函数，∴f（-x）=f（x），则，则若单调递减，则，由得，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞），故选B．【名师点睛】本题主
要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．10．（2019·安徽高考模拟（理））已知奇函数满足，并
且当时，，则A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数的周期性结合奇偶性推导出，利用时，能求出结果．【详解】奇函数满足，因为
，所以所以又因为当时，，所以,故选A．【名师点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，
属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解.11．（
2019·山东高考模拟（理））函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，设，则下列结论中正确的是（）A．的图象关于对称B．的
图象关于对称C．的图象关于对称D．的图象关于对称【答案】D【解析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数的性质首先考
查函数，其定义域为，且，则函数为偶函数，其图像关于轴对称，将的图像向左平移一个单位可得函数的图像，据此可知的图象关于对称.故选：
D.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．（2019·山东高
考模拟（理））已知函数的图象关于直线对称，则函数的值域为()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的图象关于直线对
称可得，由此可得，所以，再结合函数的单调性和定义域求得值域．∵函数的图象关于直线对称∴，即，∴，整理得恒成立，∴，∴，定义域为．又
，∵时，，∴，∴函数的值域为．故选D．【名师点睛】解答本题时注意两点：一是函函数的图象关于对称；二是求函数的值域时首先要考虑利用单
调性求解．本题考查转化及数形结合等方法的利用，属于中档题．二、填空题13．（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当
λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【
答案】(1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函
数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，
由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条
件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法
：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．14．（2019·江苏高考真题）设是定义在上的两个周期
函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是_____.【
答案】.【解析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其
周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线
，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此
时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.【名师点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确
画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.15．（20
19·北京高考模拟（理））已知函数，，其中.若，使得成立，则____．【答案】【解析】根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系
，得到结果.【详解】解：依题意，得：，化简，得：，因为.，所以，，即，所以，，因为，且，因为，有成立，所以，，所以，所以，，所以
，.故答案为：【名师点睛】本题考查了函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2019·江苏省如皋中学高考模拟）已知函数,,设为实数，若存在实数，使,则实数的取值范围为_______【答案】【解析】先求出函数的值域为，然后根据题意得到不等式，解不等式可得实数的取值范围．∵，∴，∴．又函数在区间上单调递增，∴，即．∴函数的值域为．由题意得“存在实数，使”等价于“”，即，整理得，即，解得．∴实数的取值范围为．故答案为：【名师点睛】本题以函数的值域和能成立问题为载体考查不等式的解法，解题的关键是将“存在实数，使”转化为求函数值域的问题，考查理解能力和计算能力，属于中档题． |
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