基本不等式
【】
了解基本不等式的证明过程会用基本不等式解决最大(小)值问题.基本【】
【】,那么(当且仅当时取等号“=”).
2.基本不等式:
如果是正数,那么(当且仅当时取等号“=”).
要点诠释:和两者的异同:
(1)成立的条件是不同的:前者只要求都是实数,而后者要求都是正数;
(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当时取等号”。
(3)可以变形为:,可以变形为:.
3.如图,是圆的直径,点是上的一点,,,过点作交圆于点D,连接、.
易证,那么,即.
这个圆的半径为,它大于或等于,即,其中当且仅当点与圆心重合,即时,等号成立.
要点诠释:1.在数学中,我们称为的算术平均数,称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项,看作是正数的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
考点二:基本不等式的证明
1.几何面积法
如图,在正方形中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为、,那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是,正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以:。当直角三角形变为等腰直角三角形,即时,正方形缩为一个点,这时有。
得到结论:如果,那么(当且仅当时取等号“=”)
特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得:
如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).
通常我们把上式写作:如果,,,(当且仅当时取等号“=”)
2.代数法
∵,
当时,;
当时,.
所以,(当且仅当时取等号“=”).
特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得:
如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).
通常我们把上式写作:
如果,,,(当且仅当时取等号“=”).
要点三、用基本不等式求最大(小)值
在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。
①一正:函数的解析式中,各项均为正数;
②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;
③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。
要点四、几个常见的不等式
1),当且仅当a=b时取“=”号。
2),当且仅当a=b时取“=”号。
3);特别地:;
4)
5);
【典型例题】的理解
例1.,,给出下列推导,其中正确的有(填序号).
(1)的最小值为;
(2)的最小值为;
(3)的最小值为.
【解析】(1);(2)
(1)∵,,∴(当且仅当时取等号).
(2)∵,,∴(当且仅当时取等号).
(3)∵,∴,
(当且仅当即时取等号)
∵,与矛盾,∴上式不能取等号,即
【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时,必须同时具备三个条件:一正二定三取等,缺一不可.
举一反三:
【变式1】给出下面四个推导过程:
①∵,∴;
②∵,∴;
③∵,,∴;
④∵,,∴.
其中正确的推导为()
A.①②B.②③C.③④D.①④
【解析】①∵,∴,符合基本不等式的条件,故①推导正确.
②虽然,但当或时,是负数,∴②的推导是错误的.
③由不符合基本不等式的条件,∴是错误的.
④由得均为负数,但在推导过程中,将整体提出负号后,均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.选D.
【变式2】下列命题正确的是()
A.函数的最小值为2.B.函数的最小值为2
C.函数最大值为D.函数的最小值为2
【答案】C
【解析】A选项中,∵,∴当时由基本不等式;
当时.∴选项A错误.
B选项中,∵的最小值为2
(当且仅当时,成立)
但是,∴这是不可能的.∴选项B错误.
C选项中,∵,∴,故选项C正确。
类型二:利用基本不等式求最值
【高清课堂:基本不等式394847基础练习二】
例2.设,则的最小值是
A.1 B.2 C.3 D.4
当且仅当即时取等号.
【答案】D
举一反三:
【变式1】若,求的最大值.
【解析】因为,所以,由基本不等式得:
,
(当且仅当即时,取等号)
故当时,取得最大值.
【变式2】已知,求的最大值.
【解析】∵,∴,
∴(当且仅当,即时,等号成立)
∴(当且仅当,即时,等号成立)
故当时,的最大值为4.
例3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是
A. B.4 C. D.5
【解析】∵,,
∴
答案选C
举一反三:
【变式1】若,,且,求的最小值.
【解析】∵,,
∴
(当且仅当即,时,等号成立)
∴(当且仅当,时,等号成立)
故当,时,的最小值为64.
【变式2】已知x>0,y>0,且,求x+y的最小值。
【解析】∵,∴
∵x>0,y>0,∴
(当且仅当,即y=3x时,取等号)
又,∴x=4,y=12
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16。
类型三:基本不等式应用
例4.设,,求证:
【证明】
成立
举一反三:
【变式1】已知,求证:
【解析】
(当且仅当即,等号成立).
【例5】(2015春东城区期末)已知,且.
(1)若则的值为.
(2)求证:
【解析】(1)由题意可得带入计算可得
(2)由题意和基本不等式可得,,
举一反三:
【变式】(2015石家庄一模)已知函数的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围.
(2)若m的最大值为n,当正数a、b满足时,求7a+4b的最小值.
【解析】(1)因为函数的定义域为R,
恒成立
设函数则m不大于的最小值
即的最小值为4,
(2)由(1)知n=4
当且仅当时,即时取等号.
的最小值为
类型四:基本不等式在实际问题中的应用
例6.某农场有废弃的猪圈,留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈,平面图为矩形,面积为,预计(1)修复旧墙的费用是建造新墙费用的,(2)拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的,(3)为安装圈门,要在围墙的适当处留出的空缺。试问:这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙,才能使所需的总费用最小?
【解析】显然,使旧墙全部得到利用,并把圈门留在新墙处为好。
设修复成新墙的旧墙为,则拆改成新墙的旧墙为,
于是还需要建造新墙的长为
设建造新墙需用元,建造围墙的总造价为元,
则
(当且仅当即时,等号成立)
故拆除改造旧墙约为米时,总造价最小.
举一反三:
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张卡240元.并规定不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名学生,教师准备组织学生集体冬泳,除需要购买若干张游泳卡外,每次去游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少学生,每次的包车费为40元.要使每个学生游8次,每人最少交多少钱?
【解析】设购买x张游泳卡,活动开支为y元,
则(当且仅当x=8时取“=”)
此时每人最少交80元.
基本不等式
重要不等式
最大(小)值问题
基本不等式
基本不等式的应用
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