4.2相交线和平行线典型例题及强化训练
课标要求
①了解对顶角，知道对项角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质
⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
典型例题
1.判定与性质
例1判断题：
1)不相交的两条直线叫做平行线。()
2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。()
3)两直线平行，同旁内角相等。()
4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。()
答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。
(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。
(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。
例2已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。
分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证
EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。
证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。
变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。
∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。
变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。
证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BED=∠FED-∠FEB，
∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。
变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。
分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。
证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠1+∠2+∠D=180°。
∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。
∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。
即∠BED=∠B-∠D。
例3已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
证法一：过F点作FG∥AB，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。
过E点作EH∥CD，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。
∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），
∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
又∵EH∥CD（已知），
∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）
即∠BFE=∠FEC。
证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。
∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠1=∠DCE（等量代换）。
∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。
如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。
证法三：（如图12）连结BC。
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE（等式的性质）。
即∠FBC=∠BCE。
∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。
强化训练
一.填空
1.完成下列推理过程
①∵∠3=∠4（已知），
__∥___（）
②∵∠5=∠DAB（已知），
∴____∥______（）
③∵∠CDA+=180°（已知），
∴AD∥BC（）
2.如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线，∠EDC＝109°，
∠ABC＝50°则∠A度，∠BDC＝度。
3.如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC，∠BCD,
则∠AEB＋∠CED=。
4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________。
5、已知：如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC，
且∠AOC=68°，则∠BOE=
二.选择题
1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）
A南偏西50度方向；B南偏西40度方向；
C北偏东50度方向；D北偏东40度方向
2.如图,AB∥EF∥DC，EG∥BD,则图中与∠1相等的角共有()个
A6个B.5个C.4个D.2个
3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是（）
A、a∥dB、b⊥dC、a⊥dD、b∥c
4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是()
A.50°B.60°C.70°D.80°
5.已知：AB∥CD，且∠ABC=20°，∠CFE=30°,
则∠BCF的度数是()
160°B.150°C.70°D.50°
6（2003南通市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（）
（A）∠1＝∠3（B）∠2＝∠3
（C）∠4＝∠5（D）∠2＋∠4＝180°
7.（北京市海淀区2003年）.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)；(2)；(3)中正确的个数为（）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.（2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（）
A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B、两线与第三线相交，内错角相等；
C、两直线平行，内错角相等；D、两直线平行，同旁内角相等。
9.（2003年安徽省）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有……（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.(日照市2004年)如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是（）
A∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE;
B∠BED＝∠ABE－∠CDE
C∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE;
D∠BED＝∠CDE－∠ABE
三.解下列各题：
1.如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。
2、已知AD∥BC，∠A=∠C，求证：AB∥CD。
3.如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.
4.已知,如图AC⊥BC,HF⊥AB,CD⊥AB,∠EDC与∠CHF互补,求证：DE⊥AC.
5.如图，已知AB∥ED，∠ABC=135°,∠BCD=80°，求∠CDE的度数。
6.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AE=AF.求证：AD平分∠BAC。
四、如图A、B是两块麦地，P是一个水库，A、B之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A、B两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由。
相交线与平行线
1略；121°，84°；3.90°；4.-10；5。56°
二.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A D B D C B C 三.1.解：∵OA⊥OC，OB⊥OD
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3=26°
∴∠2=64°
2证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°
∴AB∥CD.
解：连结AC.
∵AB∥DC
∴∠CAB+∠ACD=180°
∵∠CAE+∠ACF+∠E+∠F=360°
∴∠CAB+∠ACD=180°
∴∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD=540°
4.证明：∵HF⊥AB，AB⊥CD
∴CD∥HF，
∴∠CHF+∠HCD=180°
∵∠EDC与∠CHF互补,
∴∠EDC=∠HCD，
∴ED∥CB
∴∠AED=∠ACB
∵∠ACB=90°
∴∠AED=90°
∴DE⊥AC.
5.解：延长BC交DE于F.
由∠ABC=135°易得∠BFD=45°,
又∠BCD=80°，得∠CDE=35°
6.证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G
∴AD∥EG，
∴∠2=∠3,∠1=∠E,
∵AE=AF
∴∠E=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC。
四.略
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C
A
B
E
D
第3题
第1题
第2题
3
2
1
F
D
E
A
B
C
G
第4题
第5题
第6题
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