高考冲刺：导数与函数的综合
编稿：辛文升审稿：孙永钊
【高考展望】函数在一点处导数的几何意义；基本导数公式两个函数和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则函数的单调性与其导数的关系；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)最大值最小值；【知识升华】在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：
求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
【高清课堂：导数的应用（理）394572知识要点】
考点二、判定函数的单调性
（1）y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x)在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：
①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数；
(3)在定义域内解不等式；
(4)确定f(x)的单调区间。
考点三、求函数的极值与最值
（1）。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。(最好通过列表法)
考点四、求函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
考点四、定积分计算、微积分基本定理
1.定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
2.微积分基本定理：.
【高清课堂：函数的概念、图象和性质368992【典型例题】y''x=2xy''|x=1=2k=2
又点M为切点，M在曲线上，
则过点贩C的切线方程为：y-1=2(x-1)即2x-y-1=0
(2)设切点为，则切线斜率为
又，则，
所求切线方程为：
【总结升华】
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线在点的切线，即上，且曲线在该点的切线的斜率函数在P点的导数.
（）关于曲线某一点的切线求曲线点的切线①切点为时，方法同（1）
②切点不为时，可以设切点为，然后列出方程及，解得切点为后方法同（1）；
举一反三：
【变式1】曲线在点处的切线方程是_________。
【答案】3x-4y+4=0.
【变式2】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。
【解析】∵，令，得x=4,
将x=4代入中得y=5
∴切点坐标是(4,5)，∴切线方程为：.
即：x-2y+6=0。
类型二：函数的单调区间
例2．是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，∞）上递增，若存在，求出这样的k值；
【解析】
由题意，当时，当时，
∴由函数的连续性可知，即
整理得，，解得或
验证：
（Ⅰ）当时，
∴若，则；若，则，符合题意；
（Ⅱ）当时，
，
显然不合题意。
综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，∞）上递增。
举一反三：
【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
【解析】
①若恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为(-∞，+∞)，不合题意；
②若
综上，a<0时有三个单调区间，
增区间为：
减区间为：。
【变式2】当x>0时，证明不等式：
【证明】设
上单调减函数
成立
类型三：函数的极值
例3．求函数的极值。
【解析】，令,得
列表：
x y＇ - 0 + y ↗ ∴y极小.
举一反三：
【变式】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。
【解析】
令，解得x1=-1，x2=3
由于x<-1时，；
-1
x>3时，，
∴f(x)极大值=f(-1)=10；f(x)极小值=f(3)=-22
例4（2015山东高考）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中aR，
（）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．
【解析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中aR，x（﹣1，+∞）．
=．
令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．
（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．
当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．
x1+x2=，
，．
由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．
当x（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此函数f（x）有两个极值点．
（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．
当x（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
因此函数f（x）有一个极值点．
综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；
当0≤a时，函数f（x）无极值点；
当a时，函数f（x）有两个极值点．
（II）由（I）可知：
（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
f（0）=0，
x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
又f（0）=0，
x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，
x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．
又f（0）=0，
x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；
（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x（0，+∞），h′（x）=＞0．
h（x）在（0，+∞）上单调递增．
因此x（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，
可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，
当x＞时，
ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．
综上所述，a的取值范围为[0，1]．
【变式1】（2015重庆高考）设函数f（x）=（aR）
（）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．
【解析】（I）f′（x）==，
f（x）在x=0处取得极值，f′（0）=0，解得a=0．
当a=0时，f（x）=，f′（x）=，
f（1）=，f′（1）=，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，
由g（x）=0，解得x1=，x2=．
当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．
由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．
因此a的取值范围为：．
解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，f′（x）≤0，
可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=，u′（x）=＜0，
u（x）在[3，+∞）上单调递减，
a≥u（3）=﹣．
因此a的取值范围为：．
，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.
（1）求常数的值；
（2）求的极值。
【解析】（1），令得方程
∵在处取得极值
∴或为方程的根，
故有
∴，即①
∴
又∵仅当时取得极值，
∴方程的根只有或，
∴方程无实根，
∴即
而当时，恒成立，
∴的正负情况只取决于的取值情况
当x变化时，与的变化情况如下表：
1 (1，+∞) + 0 — 0 + 极大值 极小值
∴在处取得极大值，在处取得极小值。
由题意得,整理得②
于是将①，②联立，解得
（2）由（1）知，
类型四：函数的最值
【高清课堂：导数的应用（理）394572例2】
例5．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对，，都有，求的取值范围。
(1)的定义域为
显然，由得
当时，，
在，上单调增，在上单调减
当时，，
在，上单调减，在上单调增.
(2)由（1）知，
当时，在上单调减，上单调增，
且时，所以没有最大值.
当时，在上单调增，上单调减，
解得
综上，的取值范围，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。
【解析】，令得
解得
当在上变化时，与的变化情况如下表：
-1 (-1,0) 0 1 + 0 — 0 + 极大值 极小值 ∴当时，取得极大值；当时，取得极小值。
由上述表格中展示的的单调性知
∴最大值在与之中，的最小值在和之中，
考察差式，
即，故的最大值为
由此得
考察差式
，，即，
∴的最小值为
由此得，解得
于是综合以上所述得到所求。
例6．已知的最大值为3，最小值为-29，求的值；
【解析】这里，不然与题设矛盾
令，解得或x=4（舍去）
（Ⅰ）若，则当时，，在内递增；
当时，，在内递减
又连续，故当时，取得最大值
∴由已知得
而
∴此时的最小值为
∴由得
（Ⅱ）若，则运用类似的方法可得
当时有最小值，故有；
又
∴当时，有最大值，
∴由已知得
于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求或
举一反三：
【变式1】设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12
(Ⅰ)求a,b,c的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。
【解析】(Ⅰ)∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，∴c=0
∵的最小值为-12，∴b=-12
又直线x-6y-7=0的斜率为
因此，∴a=2,
∴a=2,b=-12,c=0
(Ⅱ)f(x)=2x3-12x，，
列表如下：
x + 0 - 0 + ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以函数f(x)的单调增区间是
∵f(-1)=10，，f(3)=18
∴f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是
类型五：定积分计算、微积分基本定理
例7.求下列定积分
（1）；
（2），求函数在区间上的积分；
【思路点拨】利用定积分的性质求解
【解析】（1）∵是奇函数，∴，
∵是偶函数。∴
∴
（2）
.
【总结升华】
当被积式为分段函数时，应分段积分；利用函数的奇偶性等。
举一反三：
【变式1】求定积分：
【解析】
【变式2】求定积分：
【解析】∵是偶函数，
∴
.
例8．求直线与抛物线所围成的图形面积.
【思路点拨】先画出符合题意的图形，由图形可以看出所求的面积一个梯形与曲边梯形之差，进而可以用定积分求解。为了确定定积分的上下限，要求出两条曲线的交点的横坐标。
【解析】如图，由得，交点，，
所求面积：
.
【总结升华】
求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：
（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；
（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；
（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；
（5）计算各个定积分，求出所求的面积.
举一反三：
【变式1】求抛物线与直线所围成的图形的面积.
【解析】解方程组得或
即交点.
＝
＝
＝.
需要指出的是，积分变量不一定是，有时根据平面图形的特点，也可选作为积分变量，以简化计算.但要注意积分上限、下限的确定.
若选为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
＝.
【变式2】求由曲线围成的平面图形的面积.
【解析】由得；由得.
所求面积：
|
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