函数知识点总结
(掌握函数的定义、性质和图像)
（一）平面直角坐标系
1、点P（x,y）到坐标原点的距离为
3、两点之间的距离：A、BAB|=
3、中点坐标公式：已知A、BM为AB的中点则：M=(,)
（二）正比例函数和一次函数
1、正比例函数及性质
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
必过点：（0，0）、（1，k）
走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
2、一次函数及性质
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
（2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
注：y＝kx+b中的k，b的作用：
1、k决定着直线的变化趋势
①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的
2、b决定着直线与y轴的交点位置
①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交
（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
3、一次函数y=kx＋b的图象.
1、对于y＝kx+b而言，图象共有以下四种情况：
1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>0
2、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．
(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；
(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为与y轴交点坐标为(0，b)．
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
3、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两条直线平行：k=1k2且b1b2
（2）两直线相交：k1k2
（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2
平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线
(三)反比例函数的性质：
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0和x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0和x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=|K|
5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4k·m≥（不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）
8.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.(第5点的同义不同表述)
9.反比例上一点m向x、y轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|
10.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
11.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
（五）二次函数
1.y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
1.顶点
抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
2.开口
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
3.决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。（左同右异）
c的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
4.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0,).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
第四讲函数
【例题精讲】
选择题
1．下列函数中，不是二次函数的是（）．
（A）（B）
（C）（D）
2．若与成反比例，与成正比例，则是的（）
（A）正比例函数（B）反比例函数（C）一次函数（D）二次函数
3．若点都在反比例函数的图象上，
并且，则下列各式中正确的是（）
（A）（B）（C）（D）
4．直线经过点和，其中，则（）
（A）（B）（C）（D）
5．给出4个函数：，其中随的增大而减小的函数有（）
（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个
二、填空题
5．抛物线的顶点坐标是__________.
6．已知函数的图象是以点（2，3）为顶点，并且经过点（3，1），求这个函数的解析式_________________.
7．已知二次函数的图象与的图象形状相同，开口方向也相同，又经过（－1，0），（0，6）两点，求这个二次函数的解析式_________________.
8．已知正比例函数的图象上两点，当，有，那么的取值范围是______________.
9．若k、b是一元二次方程的两个实数根，在一次函数中，随的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第______________象限.
10．二次函数的图象经过（2，3）点，并且其顶点在直线上，则．
三、解答题
11．已知一个二次函数的图象经过（0，0），（1，－2），（2，3）三点，求这个函数的解析式．并用配方法求函数图象的顶点坐标．
12．已知关于的二次函数的图象的对称轴是，且顶点在反比例函数的图象上，求此二次函数的解析式．
13．已知抛物线与轴相交于A、B（B在A的右边），与轴的交点为C．当点B原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点A、B，点C在经过A、B的二次函数的图象上，CD⊥x轴,垂足为D,且△ABC∽△OBA．
求：二次函数的解析式.
15．已知二次函数的图象经过.
（1）求的值；
（2）设此二次函数的图象与轴的交点是A、B，图象上的点C使△ABC的面积等于1，求点C的坐标.
【试题精选】
选择题
1、在下列函数中，随的增大而增大的是（）
（A）（B）（C）（D）
2、若，则下列函数①；②；③；④中，随的增大而增大的是（）
（A）①②（B）②③（C）①③（D）③④
3、已知，其中与成反比例且比例系数是，而与成正比例且比例系数是若时，，则的关系是（）
（A）（B）（C）（D）
4、已知反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
5、关于二次函数的图象有下列命题：①当时，函数的图象经过原点；②当且函数图象开口向下时，方程必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是；④当时，函数的图象关于轴对称其中正确命题的个数是（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
二、填空题
6、抛物线可由抛物线向_______平移2个单位，再向____平移______个单位得到.
7、函数中，自变量的取值范围是，则函数值的取值范围是_____.
8、已知函数在每一象限内，随的减小而减小，那么的取值范围是______.
9、二次函数的图象顶点是__________.
10、函数绕顶点旋转180°后的解析式是_____________________.
11、已知反比例函数的图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值随的增大而__________（填增大或减小）.
12、若抛物线的顶点在轴上，则的值是__________.
13、已知抛物线过和点，与轴交于点，且，则这条抛物线的解析式为_________________.
14、已知M、N两点关于轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，设点M坐标为，则抛物线的顶点坐标为___________.
15、已知一次函数的图象经过抛物线与轴的交点和抛物线的顶点，求这个一次函数的解析式__________________.
三、解答题
16、已知：二次函数，其中为实数求证：不论取何实数，这个二次函数的图象与轴必有两个交点．
17、二次函数的图象过点（2，3），且顶点在直线上，求此函数的解析式．
18、已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与轴、轴的交点坐标．
20、已知反比例函数与一次函数的图象交于点，且，求的值以及点的坐标．
21、已知：抛物线与经过纵坐标相同的两点A、B，分别交轴于C、D两点，点C、D在原点同侧，又知，且
①求抛物线和的解析式；②求经过点C和抛物线的顶点E的直线的解析式．
22、如图5－13，一次函数图象与轴、轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．如果A点的坐标为（2，0），点C、D分别在第一、三象限，且试求一次函数和反比例函数的解析式．
23、在平面直角坐标系XOY中，P是第三象限角平分线上的点，，二次函数的图象经过点P．①求这个二次函数的解析式；②问是否存在与抛物线只交于一点P的直线，若存在，求出符合条件的直线解析式；若不存在，请说明理由．
D
y
O
CO
AO
BO
x
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