附录
若实数x，y，满足
z
xy+?0，yz+?0，xz+?0，xy+xz+yz?0，a，b，c分别为三角形ABC三边长，则
222
xa+yb+zc?4Sxy+xz+yz，当且仅当a:b:c=y+z:x+z:x+y时，等号成立.
2222222
证明：xa++ybzc=xa+yb+za+b?2abcosC
()
22
=x+za+y+zb?2abzcosC
()()
?2ab(x+z)(y+z)?2abzcosC（均值不等式）
222
=2abxy+xz+yz+zsinC+cosC?2abzcosC
()()
（柯西不等式）
?2abxy+xz+yzsinC+zcosC?2abzcosC
()
=4Sxy+xz+yz
ab
?
22
=
?
x+za=y+zb
()()?
y++zxz?
a=+tyz
???
取等条件为，即，不妨令，
?sinCCcos??
z
=
b=+txz
??
??
cosC=
z
xy++xzyz
?
?
y++zxz
()()
?
2222
则c=a+b?2abcosC=tx+ya+?b2abcosC.
所以a:b:c=y+z:x+z:x+y时，等号成立.
证明提供：四川自贡贺政刚
另外，此问题还有证明方法详见此网址https://zhaowanlong.github.io/20180509/triangle/
网址提供：湖北武汉李彬
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