2020年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．m4
+m3＝m7B．（m4）3＝m7C．2m5÷m3＝m2D．m（m﹣1）＝m2﹣m3．（3分）如图，P为⊙O外一点，PC切⊙O于
C，PB与⊙O交于A、B两点．若PA＝1，PB＝5，则PC＝（）A．3B．C．4D．无法确定4．（3分）为了解某班学生每天使用
零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：每天用零花钱（单位：元）12345人数24531则这15名同学每天使用零花钱的众
数和中位数分别是（）A．3，3B．5，2C．3，2D．3，55．（3分）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单
独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（）A．1B．1C．1D．16．（3分）如图，已知一组平行
线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2B
．6.4C．3.6D．2.47．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则
∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°8．（3分）直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝bx+k在同一坐
标系中的大致位置是（）A．B．C．D．9．（3分）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意
实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1
上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上
一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB的值为（）A．5+3B．2+2C．7D．二、填空题：本题有6个小题，每小
题4分，共24分11．（4分）分解因式：3x2+6xy+3y2＝．12．（4分）一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色
外都相同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为．13．（4分）分式方程的解是．14．（4分）已知一个扇形的面积为12
πcm2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为．15．（4分）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是
．16．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使
直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为．三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）先化简再求值：（）?，其中a＝1，b＝2．18．（8分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛
”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成统计图（不
完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有人，男生最喜欢“乒乓球“项目
的有人．（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．1
9．（8分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）
若⊙O的半径为12，sin∠ADE，求AE的长．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接D
E，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．21．
（10分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（2，6）在反比例函数y1的图象上，且sin∠BAC（1）求k的
值和边AC的长；（2）求点B的坐标；（3）有一直线y2＝kx+10与y1交于M与N点，求出x为何值时，y2≥y1．22．（12分）
已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0
，1）．（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3
）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．23
．（12分）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠EC
B＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠
DEC时，求的值．2020年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每
小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．D
．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2，故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常
见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．2．（3分）下列计算正确的是（）A．m4+m3＝m7B．（m4）3＝m7C．
2m5÷m3＝m2D．m（m﹣1）＝m2﹣m【分析】直接利用整式的混合运算法则分别计算判断即可．【解答】解：A、m4与m3，无法
合并，故此选项错误；B、（m4）3＝m12，故此选项错误；C、2m5÷m3＝2m2，故此选项错误；D、m（m﹣1）＝m2﹣m，
正确．故选：D．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）如图，P为⊙O外一点，PC切⊙O
于C，PB与⊙O交于A、B两点．若PA＝1，PB＝5，则PC＝（）A．3B．C．4D．无法确定【分析】求出半径的长，求出PO长
，根据切线的性质求出∠PCO＝90°，再根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵PA＝1，PB＝5，∴AB＝PB﹣PA＝4，∴OC＝O
A＝OB＝2，∴PO＝1+2＝3，∵PC切⊙O于C，∴∠PCO＝90°，在Rt△PCO中，由勾股定理得：PC，故选：B．【点评】本
题考查了勾股定理和切线的性质，能熟记切线的性质的内容是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．4．（3分）为了解某班学生每
天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：每天用零花钱（单位：元）12345人数24531则这15名同学每天使用零花
钱的众数和中位数分别是（）A．3，3B．5，2C．3，2D．3，5【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：
这15名同学每天使用零花钱的众数为3元，中位数为3元，故选：A．【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．5．（3分）某工
程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（）A．
1B．1C．1D．1【分析】根据题意列出方程求出答案．【解答】解：设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为：1．故选：D．【点评】本题
考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型．6．（3分）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m
、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2B．6.4C．3.6D．
2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，即，解得，DE＝3.6，故选：
C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线
，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【分析
】根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝
180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BFA＝90°，∴∠BAF＝
90°﹣18°＝72°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理，角平
分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝bx+k在同一
坐标系中的大致位置是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．【
解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0
，k＜0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＞0，b的取
值相矛盾，故本选项错误；C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，k的取值相一致，故本选项
正确；D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，k的取值相矛盾，故本选项错误；故选：C．【
点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有
直接的关系．9．（3分）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交
点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥
﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大【分析】利用△＝（2k﹣1）2+3＞0可对A进行判断；利用点（，）满足抛物线解析式可对B进
行判断；先求出抛物线顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则根据二次函数图象上点的坐标特征可对C进行判断；先表示出抛物线的对称轴方程
，然后利用二次函数的性质可对D进行判断．【解答】解：A、△＝4k2﹣4（k﹣1）＝（2k﹣1）2+3＞0，抛物线与x轴有两个交点，
所以A选项错误；B、k（2x+1）＝y+1﹣x2，k为任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣x2＝0，所以抛物线经过定点（，），所以B
选项错误；C、y＝（x+k）2﹣k2+k﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1
上运动，所以C选项正确；D、抛物线的对称轴为直线xk，抛物线开口向上，则x＞﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，所以D选项错误．
故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转
化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3
∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB的值为（）A．5+3B．2+2C．7D．【分析】延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB
＝a．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．∵BE
＝BA，∴∠E＝∠BAE，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝2∠E+∠BAD＝3∠BAD，∴∠BAD＝∠E，∵∠ADB＝∠EDA，∴
△ADB∽△EDA，∴，∴AD2＝4（4+a）＝16+4a，∵AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2，∴16+4a﹣32＝a2﹣7
2，解得a＝2+2或2﹣2（舍弃）．∴AB＝2+2，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是
熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）分解因式：3x2+6xy+3y2
＝3（x+y）2．【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．【解答】解：3x2+6xy+3y2，＝
3（x2+2xy+y2），＝3（x+y）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然
后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．（4分）一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相
同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为．【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可
得．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中2个球颜色不同的有4种结果，∴2个球颜色不同的概率为，故答案为：
．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事
件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（4分）分式方程的解是x＝﹣1
．【分析】观察分式方程得最简公分母为x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同
乘x（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得x＝﹣1．检验：把x＝﹣1代入x（x﹣1）＝2≠0．∴原方程的解为：x＝﹣1．故答案为：x＝﹣
1．【点评】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意
要验根．14．（4分）已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为πcm．【分析】先根据扇形的面积公
式求出扇形的半径，再根据弧长公式求出弧长即可．【解答】解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°
，∴12π，解得：R＝2，∴弧长为π（cm），故答案为：πcm．【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的
关键．15．（4分）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．【分析】先求出求出不
等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x，解不等式②得：x≤4，∴不
等式组的解集为x≤4，∵关于x的不等式组的所有整数解的和为7，∴当时，这两个整数解一定是3和4，∴，∴7≤a＜9，当时，﹣3，∴﹣
3≤a＜﹣1，∴a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．故答案为：7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式
组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．16．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝13，
AC＝5，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为
或．【分析】根据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB＝90
°或∠BDE＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5
，∴BC12，根据题意，分两种情况：①如图，若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，连接AD，则Rt△ACD≌R
t△AED（HL），∴AE＝AC＝5，BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，设CD＝DE＝x，则BD＝BC﹣CD＝12﹣x，在Rt△BD
E中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+82＝（12﹣x）2解得x，∴CD；②如图，若∠EDB＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝
90°，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，∴△AEF∽△EBD，∴，设CD＝x，
则EF＝CF＝x，AF＝5﹣x，BD＝12﹣x，∴，解得x．∴CD．综上所述，CD的长为或．【点评】本题考查了翻折变换，综合运用勾
股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质解答，解题关键是根据题意分两种情况讨论．三、解答题：本大题有7个小题，共66分解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）先化简再求值：（）?，其中a＝1，b＝2．【分析】先把分式化简后，再把a、b的
值代入求出分式的值．【解答】解：原式?＝a﹣b，当a＝1，b＝2时，原式＝1﹣2＝﹣1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练化
简分式是解题的关键．18．（8分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”
的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成统计图（不完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查
中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，男生最喜欢“乒乓球“项目的有20人．（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男
生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出
女生最喜欢“踢毽子”项目的人数，然后根据扇形统计图中的数据，可以计算出男生最喜欢“乒乓球“项目的人数；（2）根据（1）中的结果，可
以得到女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据和该校有男生450人，女生400人
，可以计算出该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【解答】解：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣
9﹣7＝10（人），男生最喜欢“乒乓球“项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）＝50×40%＝20（人），故答案为：
10，20；（2）由（1）知，女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，补全完整的条形统计图如右图所示；（3）450×28%+400＝1
26+72198（人），答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生一共有198人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解
答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．（8分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．（1）过
点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE，求AE的长．【分析】（1）连接OD，根据圆周
角定理求出∠AOD，根据平行线的性质求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）连接BE，根据圆周角定理求出∠B＝∠ADE
，解直角三角形求出即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵∠AED＝45°，∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠AED＝90°，∵CD∥
AB，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，∵OD过O，∴直线CD与⊙O相切；（2）解：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠A
EB＝90°，∵由圆周角定理得：∠B＝∠ADE，sin∠ADE，∴sin∠ADE＝sinB，∵sinB，∵⊙O的半径为12，∴，解
得：AE＝18．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，平行线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关
键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（
1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质得出
∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；由∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，得出∠AFD＝∠C，即可得出结论；（2）
根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出，求出DE＝12．证出AE⊥AD，由勾股定理即可得出答案．【解
答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠
AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝8
．∵△ADF∽△DEC，∴，即，∴DE＝12．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD．在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝1
2，AD＝6，∴AE6．【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键判定三角形相
似．21．（10分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（2，6）在反比例函数y1的图象上，且sin∠BAC（
1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标；（3）有一直线y2＝kx+10与y1交于M与N点，求出x为何值时，y2≥y1．【分析
】（1）本题需先根据C点的坐标在反比例函数y1的图象上，从而得出k的值，再根据且sin∠BAC，得出AC的长；（2）本题需先根据已
知条件，得出∠DAC＝∠DCB，从而得出CD的长，根据点B的位置即可求出正确答案；（3）解方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵
点C（2，6）在反比例函数y的图象上，∴6，解得k＝12，∵sin∠BAC∴sin∠BAC，∴AC＝10；∴k的值和边AC的长分别
是：12，10；（2）①当点B在点A右边时，如图，作CD⊥x轴于D．∵△ABC是直角三角形，∴∠DAC＝∠DCB，又∵sin∠BA
C，∴tan∠DAC，∴，又∵CD＝6，∴BD，∴OB＝2，∴B（，0）；②当点B在点A左边时，如图，作CD⊥x轴于D．∵△ABC
是直角三角形，∴∠B+∠A＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，又∵sin∠BAC，∴tan∠DAC，∴，又∵C
D＝6，∴BD，BO＝BD﹣2，∴B（，0）∴点B的坐标是（，0），（，0）；（3）∵k＝12，∴y2＝12x+10与y1，解得，
，，∴M（，18），N点（，﹣8），∴x＜0或x时，y2≥y1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，正
确的理解题意是解题的关键．22．（12分）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常
数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3）
，并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的
增大而增大，求m的最小值和n的最大值．【分析】（1）把A点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a与b的值；（2）画出函数图象，
根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大”时x的取值范围，
进而得m的最小值和n的最大值．【解答】解：（1）把A（0，1）代入y1＝2x+b得b＝1，把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+
1）得，a＝1，∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1；（2）作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下：由函数图象可知，y1＝
2x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤3，∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤3；（3）∵u＝y1+y2＝2x+1+x
2+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25，∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大；v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x
2+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大，∴当﹣15≤x≤0.5时，u随着x的
增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∵若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∴m的最小值为﹣1.5，n
的最大值为0.5．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌
握二次函数的性质，灵活运用性质解题．23．（12分）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若
∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥
AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC时，求的值．【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△CBE．得出∠A＝∠ECB；（
2）得出△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，证明△ABD∽△CBE，则∠BAD＝∠BCE＝45°，可得出结论；（3）过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，设DM＝MC＝a，得出DN＝2a，CE＝a，证明△CEF∽△DNF，可得出答案．【解答】（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DNDC＝2a，∵tan∠DEC，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，∴△CEF∽△DNF，∴．【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/4/1617:38:01；用户：一脸坏笑；邮箱：9827982@xyh.com；学号：24607895第1页（共17页） |
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