一模压轴1．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan∠ABC
＝（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB
的值为（）A．5+3B．2+2C．7D．3．关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k
，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动
D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大4．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC
，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；
③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④5．小轩从如图所示的二次函
数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞
0；⑤ab．你认为其中正确信息的个数有（）A．2B．3C．4D．56．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB
为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（）A．3B．4C．
4.8D．57．如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接
DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有（
）A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交
点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意
实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c＝n有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，△A
BC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线1，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E
点，则AE的最小值为（）A．B．7﹣4C．D．110．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到
达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（）A．6+2B．6C．10D．811．如图（
1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成
矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（）A．18cmB．8cmC．（26）cmD．（66）cm1
2．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛
物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（αx
+b）≤a+b；④a＞﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个13．如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点
A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA''B''C''，再作图形OA''B''C''关于点O的中心对称图形OA″B″
C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）14．一张直角三角形纸片
ABC，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当
△BDE是直角三角形时，则CD的长为．15．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是．16．如图，在
△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且四边形CDEF为正方形，若AE＝3，BE＝5，则S△AEF+S
△EDB＝．17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是
（用a、b的代数式表示）．18．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，P为线段AB上一动点，且不与点A重合，过点P
作PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在直线AB上点F处，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长是．
19．如图，已知P为等边△ABC形内一点，且PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝5cm，则图中△PBC的面积为cm2．20．如
图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，点B在反比例函数y图象上，则图中过点A的双曲线解析式是．21．
如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使
点B落在点E处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为．22．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点
D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．23．如图，15个形状大小完全相同的菱形组
成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且∠A
ED＝∠ACD，则cos∠AEC＝．24．如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及
原点上滑动，点E为AB的中点，AB＝24，BC＝5．给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π
；②△OAB的面积最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为（，）．其中正确的结论是．（填写序号）25．如图，半径为5的半
圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于
．26．如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，
与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，以
C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．27．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时
发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这
样的三角形均称为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6时，AC＝，BC＝；如图2，当s
in∠PAB，AB＝4时，AC＝，BC＝；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者
之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边
AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．28．在△ABC和△DBE
中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与
DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC时，求的值．29．已知一次
函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．
（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝
y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．30．已知函
数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函
数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误
的那个人是谁，并求出此函数表达式；（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交
点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取
值范围；（3）若c＝b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为5，求b的值．31．如图，△ABC中，∠ACB＝90
°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若
点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当
t为何值时，△BCP为等腰三角形．32．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，
且∠DBE＝∠BAD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：DF＝DG；（3）若∠ADG＝45°，DF＝1，则有两个结论：①A
D?BD的值不变；②AD﹣BD的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．33．如图，在平面直角坐标系中，
直线yx+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x
轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求
抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．34．如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延
长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．（1）
探究AE''与BF''的数量关系，并给予证明；（2）当α＝30°时，求证：△AOE''为直角三角形．35．某化工车间发生有害气体泄漏，自
泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min
）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数
关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是；（2）求反比例函数y的表达式，并确定
车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．36．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线
AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝
∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE
的数量关系，并说明理由．37．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD运动，动
点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设
运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ
的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为．38．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段
发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天
所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部
结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具
的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．39．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BC
D＝180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．（1）如图1，当∠ABC＝90°时，△
OEF的形状是；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶
点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD＝180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线
CD于点F，当BC＝4，且时，直接写出线段CE的长．40．人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学
思想，其中转化思想是中学数学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方
法．问题提出：求边长分别为、、的三角形的面积．问题解决：在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格
中画出边长分别为、、的格点三角形△ABC（如图1）．AB是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，BC是直角边分别为1和3的直角三角
形的斜边，AC是直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求△ABC的高，而借用
网格就能计算出它的面积．（1）请直接写出图1中△ABC的面积为．（2）类比迁移：求出边长分别为、2、的三角形的面积（请利用图
2的正方形网格画出相应的△ABC，并求出它的面积）．41．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3动点P从点A出发，沿AC以每秒
4个单位长度的速度向终点C运动．过点P（不与点A、C重合）作EF⊥AC，交AB或BC于点E，交AD或DC于点F，以EF为边向右作正
方形EFGH设点P的运动时间为t秒．（1）①AC＝．②当点F在AD上时，用含t的代数式直接表示线段PF的长．（2）当点
F与点D重合时，求t的值．（3）设方形EFGH的周长为l，求1与t之间的函数关系式．（4）直接写出对角线AC所在的直线将正方形EF
GH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值．42．某竹制品加工厂根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型竹制品玩具未来两年的销售进行
预测，并建立如下模型：设第t个月，竹制品销售量为P（单位：箱），P与t之间存在如图所示函数关系，其图象是线段AB（不含点A）和线段
BC的组合．设第t个月销售每箱的毛利润为Q（百元），且Q与t满足如下关系Q＝2t+8（0≤t≤24）（1）求P与t的函数关系式（6
≤t≤24）．（2）该厂在第几个月能够获得最大毛利润？最大毛利润是多少？（3）经调查发现，当月毛利润不低于40000且不高于432
00元时，该月产品原材料供给和市场售最和谐，此时称这个月为“和谐月”，那么，在未来两年中第几个月为和谐月？43．两列火车分别行驶在
两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这
一点）所用的时间为5秒．（1）求两车的速度之和及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口（慢车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的
时间；（2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车
的车头所需时间至少为多少秒？44．如图，等边△ABC的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是的中点．（1）试判断过点C所作⊙O的切线与
直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△BD
E的面积．45．如图，已知AB是⊙O的直径，点D在弦AC上，DE⊥AB于E．求证：AD?AC＝AE?AB．46．如图，将一块直角三
角形纸板的直角顶点放在C（1，）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y＝kx与双曲线y（m＞0）的交点
．（1）求m和k的值；（2）设双曲线y（m＞0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平
行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MNAB，写出你的探究过程和结论．47．对于一个函数给出如下定义：对于函数y
，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当
1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．（1）①一次函数
y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k属和合函数”，则k的值为．②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1属和合函数”，求a的值
．（2）反比例函数y（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b，请求出a2+b2的值；（3）已知二次函数y＝
﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．48．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m
x2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；（2
）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx+b经过点D和点E（﹣1，﹣2），求直线DE的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点
P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围
．49．如图，已知平面直角坐标系中，点C（3，4），以OC为边作菱形OABC，且点A落在x轴的正半轴上，点D为y轴上的一个动点，设
D（0，m），连结DB，交直线OC于点E．（1）填空：B的坐标为（），sin∠AOC＝；（2）当点D在y轴正半轴时，记
△DEO的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2时，求m的值．（3）过点D，O，A作⊙M，交线段OC于点F．①当⊙M与菱形
OABC一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．②当OD＝DE时，直接写出OE：EF的值．50．某果农在销瓯柑时，经市场调査
发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且
为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w
关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；（3）市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政
府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．一模压轴参考答案与试题解
析一．选择题（共13小题）1．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，A、B、
C都是格点，则tan∠ABC＝（）A．B．C．D．【解答】解：连接DC，交AB于点E，由题意可得：∠AFC＝30°，DC⊥AF
，设EC＝x，则EFx，故BF＝2EF＝2x，则tan∠ABC．故选：A．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，
∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB的值为（）A．5+3B．2+2C．7D．【解答】解：如图，延长CB到E，使得B
E＝BA．设BE＝AB＝a．∵BE＝BA，∴∠E＝∠BAE，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝2∠E+∠BAD＝3∠BAD，∴∠BA
D＝∠E，∵∠ADB＝∠EDA，∴△ADB∽△EDA，∴，∴AD2＝4（4+a）＝16+4a，∵AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣B
C2，∴16+4a﹣32＝a2﹣72，解得a＝2+2或2﹣2（舍弃）．∴AB＝2+2，故选：B．3．关于x的二次函数y＝x2+2k
x+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实
数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大【解答】解：A
、△＝4k2﹣4（k﹣1）＝（2k﹣1）2+3＞0，抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、k（2x+1）＝y+1﹣x2，k为
任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣x2＝0，所以抛物线经过定点（，），所以B选项错误；C、y＝（x+k）2﹣k2+k﹣1，抛物线的
顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动，所以C选项正确；D、抛物线的对称轴为直线xk，
抛物线开口向上，则x＞﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，所以D选项错误．故选：C．4．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的
角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE
+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【解
答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝
∠BDA，∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，…②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠B
DA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴
AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．…③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG
（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵
在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+
BG＝2BF．…④正确．故选：D．5．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①a
bc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤ab．你认为其中正确信息的个数有（）A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x，∴3b＝2a，则ab，∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞
0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故选项②正确；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞
0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故选项③正确；④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，故选项④错误
．故正确的有3个．故选：B．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，
分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（）A．3B．4C．4.8D．5【解答】解：延长EF，过点B作
直线平行AC和EF相交于P，∵AE＝5，EC＝3，∴AC＝AE+CE＝8，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OCAC＝4，AC⊥BD
，∴OE＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线，∵DN是⊙M的切线，∴EN＝OE＝1，MN⊥AN，∴∠
DNM＝∠DOE＝90°，∵∠MDN＝∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN＝DE：OE，∵MN＝BM＝OMOB，∴DM＝O
D+OM＝3MN，∴DE＝3OE＝3，∵OE∥BP，∴OD：OB＝DE：EP，∵OD＝OB，∴DE＝EP＝3，∴BP＝2OE＝2，
∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF＝EC：BP＝3：2，∴EF：EP＝3：5，∴EF＝EP1.8，∴DF＝DE+EF
＝3+1.8＝4.8．故选：C．7．如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延
长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝H
F，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝4
5°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AEAB，∵ADAB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴∠ADE＝∠AED（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.
5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正确；∵AB＝AH，∵∠AHB（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对
顶角相等），∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45
°＝22.5°，∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故②正确；∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠
EBH＝∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；∵HE＝AE﹣AH
＝BC﹣CD，∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；∵AB
＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：C．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）
之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax
2+bx+c＝n有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x＝1，∴1，∴b＝﹣2a＞0，∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤
c≤4，∴abc＜0，故①错误，3a+b＝3a+（﹣2a）＝a＜0，故②正确，∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a
﹣（﹣2a）+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3≤﹣3a≤4，∴a≤﹣1，故③正确，∵顶点坐标为（1，n），∴当x＝1时，函数有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确，一元二次方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根x1＝x2＝1
，故⑤错误，综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选：B．9．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的
平行线1，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．B．7﹣4C．D．1【解答
】解：如图，连接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴点E在以O
''为圆心，O''B为半径的上运动，连接OA交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O''交点为E''．∵∠BE''C＝120°∴所对圆周
角为60°，∴BOC＝2×60°＝120°，∵△BOC是等腰三角形，BC＝4，OB＝OC＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO''＝30
°，∴∠ACO；＝90°∴O''A5，∴AE′＝O''A﹣O''E′＝5﹣4＝1．故选：D．10．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观
测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（）A．6+
2B．6C．10D．8【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x米；∵∠
PBE＝60°∴∠BPE＝30°在直角△BPE中，BEPEx米，∵AB＝AE﹣BE＝6米，则xx＝6，解得：x＝9+3．则BE＝（
33）米．在直角△BEQ中，QEBE（33）＝（3）米．∴PQ＝PE﹣QE＝9+3（3）＝6+2（米）．答：电线杆PQ的高度是6+
2米．故选：A．11．如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2
）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（）A．18cmB．8cmC．（
26）cmD．（66）cm【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，∴设AE＝xcm
，则AD＝3x，∵∠AEB＝120°，∴∠EAB＝30°，∴AB＝2AF＝2xcos30°，∵六角星纸板的面积为9cm2，∴AB?
AD＝9，即2x?cos30°?3x＝9，解得x，∴AD＝3，AB＝3，∴矩形ABCD的周长＝2（33）＝（66）cm．故选：D．
12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与
抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（α
x+b）≤a+b；④a＞﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①由图象可知：抛物线的对称轴为x＝1
时，∴点（3，y）关于直线x＝1对称的点为（﹣1，y），∵x＝3时，y＜0，∴x＝﹣1，y＜0∴a﹣b+c＜0，故①正确；②令y＝
0代入y＝﹣x+c，∴x＝c，由图象可知：1＜c＜2，由图象可知：1，∴2a+b＝0，∴2a+b+c＝c＞0，故②正确；③由图象可
知：x＝1时，y的最大值为a+b+c，∴当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故③正确；④联立
，化简得：ax2+（b+1）x＝0，∴x＝0或x，即D的横坐标为，由于b＝﹣2a，a＜0，且3，∴﹣b﹣1＞3a，∴a＜﹣1，故④
错误，故选：B．13．如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA
''B''C''，再作图形OA''B''C''关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1
，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：∵点C的坐标为（2，1），∴点C′的坐标为（﹣2，1），∴点C″的坐标的坐标
为（2，﹣1），故选：A．二．填空题（共13小题）14．一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D为B
C边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为或．【解答】解：
∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，∴BC12，根据题意，分两种情况：①如图，若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，
CD＝ED，连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝5，BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，设CD＝DE＝x，则
BD＝BC﹣CD＝12﹣x，在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+82＝（12﹣x）2解得x，∴CD；②如图，若∠ED
B＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B
，∴△AEF∽△EBD，∴，设CD＝x，则EF＝CF＝x，AF＝5﹣x，BD＝12﹣x，∴，解得x．∴CD．综上所述，CD的长为或
．15．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．【解答】解：，∵解不等式①得：x
，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为x≤4，∵关于x的不等式组的所有整数解的和为7，∴当时，这两个整数解一定是3和4，∴，∴
7≤a＜9，当时，﹣3，∴﹣3≤a＜﹣1，∴a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．故答案为：7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．16．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且四边形CDEF为正方形，若AE＝3，BE＝5，则S△A
EF+S△EDB＝．【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，则RF＝DE＝x，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∵∠AFE＝∠E
DB＝90°，∴△AEF∽△EBD，∴，即，∴AFx，BDx，在Rt△BDE中，x2+（x）2＝52，∴x2，∴S△AEF+S△E
DB?x?x?x?xx2．故答案为．17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆
盖部分的面积是ab（用a、b的代数式表示）．【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab．故答案为：ab．18．如图，在菱形ABCD中，∠DA
B＝45°，AB＝2，P为线段AB上一动点，且不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在直线AB上点
F处，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长是或1或．．【解答】解：如图1，当DF＝CD时，点F与A重合或在点F′
处．∵在菱形ABCD中，AB＝2，∴CD＝AD＝2，作DN⊥AB于N，由折叠的性质得：此时点P与N重合，在Rt△ADN中，∵AD＝
2，∠DAN＝45°，DN＝AN＝NF′，∴AP；如图2，当CF＝CD＝2时，点F与B重合或在F′处，∵点F与B重合，∴PE是AB
的垂直平分线，∴APAB＝1；点F落在F''处时，AF''＝2+2，∴APAF''＝1；∵P在AB上，∴AP＜2，AP＝1，舍去如图3中
，当FD＝FC时，AF1，∴APAF．综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为或1或．故答案为：或1或．19．如图，已知P为
等边△ABC形内一点，且PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝5cm，则图中△PBC的面积为43cm2．【解答】解：如图，将△BP
C绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，则PB＝BK＝4，AK＝PC＝5，∠PBK＝60°，∴△KBP为等边三角形，∴∠KPB＝60
°，KP＝4，∵AP＝3，∴AP2+KP2＝AK2，∴∠APK＝90°，∴∠APB＝150°，作BH⊥AP于H，则∠BPH＝30°
，∴BHBP＝2，∴△PBC的面积＝△AKB的面积＝S△APK+S△BPK﹣S△APB．故答案为：．20．如图所示，Rt△AOB中
，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，点B在反比例函数y图象上，则图中过点A的双曲线解析式是y．【解答】解：设点B的坐标是（
m，n），因为点B在函数y的图象上，则mn＝2，则BD＝n，OD＝m，则AC＝2m，OC＝2n，设过点A的双曲线解析式是y，A点的
坐标是（﹣2n，2m），把它代入得到：2m，则k＝﹣4mn＝﹣8，则图中过点A的双曲线解析式是y．故答案为：y．21．如图，在菱形
ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E
处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为或2．【解答】解：分两种情况：①当DE＝DC时，连接DM，作DG⊥BC
于G，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG＝∠B＝60°，∠A＝120°
，∴DE＝AD＝2，∵DG⊥BC，∴∠CDG＝90°﹣60°＝30°，∴CGCD＝1，∴DGCG，BG＝BC+CG＝3，∵M为AB
的中点，∴AM＝BM＝1，由折叠的性质得：EN＝BN，EM＝BM＝AM，∠MEN＝∠B＝60°，在△ADM和△EDM中，，∴△AD
M≌△EDM（SSS），∴∠A＝∠DEM＝120°，∴∠MEN+∠DEM＝180°，∴D、E、N三点共线，设BN＝EN＝x，则GN
＝3﹣x，DN＝x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3﹣x）2+（）2＝（x+2）2，解得：x，即BN；②当CE＝CD时，C
E＝CD＝AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：CE＝CD＝DE＝DA，△CDE是等边三角形，BN＝BC＝2（含CE＝
DE这种情况）；综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；故答案为：或2．22．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一
条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．【解答】解：∵圆内接四边形
ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116
°﹣64°＝52°．故答案为：52°．23．如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60
°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且∠AED＝∠ACD，则cos∠AEC＝．【解答】解
：在图中标上点M、E，连接BM，∵四边形AMCB为菱形，∴BM⊥AC，BM平分AC．∵∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形，∴
BM＝AM，∴点M为圆弧的圆心．∵MC＝ME，∴以点M为圆心AM长度为半径补充完整圆，点E即是所求，如图所示．∵所对的圆周角为∠A
CD、∠AEC，∴图中所标点E符合题意．∵四边形∠CMEN为菱形，且∠CME＝60°，∴△CME为等边三角形，∴cos∠AEC＝c
os60°．故答案为：．24．如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点E为
AB的中点，AB＝24，BC＝5．给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积
最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为（，）．其中正确的结论是②③．（填写序号）【解答】解：∵点E为AB的中点，AB＝2
4，∴OE，∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，∵∠AOB＝90°，∴点E经过的路径长为，故①错误；当△
OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，∵E为AB的中点，∴OE⊥AB，OE，∴144，故
②正确；如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，∵AD＝BC＝5，AE，∴13，∴OD＝DE+OE＝13
+12＝25，设DF＝x，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DFA＝∠AOB，∴∠DAF＝∠ABO，∴△DFA∽
△AOB∴，∴，∴，∵E为AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝OE，∴∠AOE＝∠OAE，∴△DFO∽△BOA，∴，∴，解得x，
x舍去，∴，∴．故③正确．故答案为：②③．25．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无
滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于5π．【解答】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O
到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：2π×52π×5＝5π，故答
案为：5π．26．如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运
动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，
以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，此时，CF＝1
.5，∵AC＝2t，BDt，∴OC＝8﹣2t，OD＝6t，∵点E是OC的中点，∴CEOC＝4﹣t，∵∠EFC＝∠O＝90°，∠FC
E＝∠DCO∴△EFC∽△DCO∴∴EF由勾股定理可知：CE2＝CF2+EF2，∴（4﹣t）2，解得：t或t，∵0≤t≤4，∴t．
故答案为：三．解答题（共24小题）27．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线
互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称
为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6时，AC＝6，BC＝6；如图2，当sin∠PAB，
AB＝4时，AC＝2，BC＝2；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用
等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边AB、AC、B
C的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．【解答】（1）解：如图1，∵AF⊥BE，
∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵∠PAB＝45°，AB＝6，∴AP＝PB＝6，如图1，连接EF，∵AF，BE是△ABC的
中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EFAB，∴，∴PE＝PF＝3，由勾股定理得：AE＝BF3，∴AC＝BC＝2AE
＝6，如图2，∵sin∠PAB，AB＝4，AF⊥BE，∴∠PAB＝30°，∴BPAB＝2，AP＝2，∵AF、BE是△ABC的中线，
∴PEPB＝1，PFAP，由勾股定理得：AE，BF，∴AC＝2AE＝2，BC＝2BF＝2，故答案为：6，6，2，2；（2）解：猜想
：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC2＝5AB2，证明：如图3，设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n
，在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2①，在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（）2②，在Rt△BPF中，m2+（2n
）2＝（）2③，由①得：m2+n2，由②+③得：5（m2+n2），∴AC2+BC2＝5AB2；（3）解：如图4，连接CG，EF，
过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，∵FN∥BG，BG⊥AC，∴FN⊥AC，∵F是BC的中点，∴N是CG的中点，∵
D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝FC，DE∥FC，∵ED＝EG，∴EG＝FC，EG∥FC，∴四边形EFCG是平行四边形，∴Q
是FG的中点，∴△FCG是中垂三角形，∵AB＝4，BC＝2，∴CG＝EF＝BD＝2，FC，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+F
G2，即5×5＝（2）2+FG2，∴GF．28．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠A
BC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB
；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC时，求的值．【解答】（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴
△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△
ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DB
E都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠
BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交C
B于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，
∴a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DNDC＝2a，∵tan∠DEC，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，
∴△CEF∽△DNF，∴．29．已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象
交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当
y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大
，求m的最小值和n的最大值．【解答】解：（1）把A（0，1）代入y1＝2x+b得b＝1，把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+1
）得，a＝1，∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1；（2）作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下：由函数图象可知，y1＝2
x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤3，∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤3；（3）∵u＝y1+y2＝2x+1+x2
+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25，∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大；v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x2
+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大，∴当﹣15≤x≤0.5时，u随着x的增
大而增大，且v也随着x的增大而增大，∵若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∴m的最小值为﹣1.5，n的
最大值为0.5．30．已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发
现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的
结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x
轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包
括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若c＝b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为5，求b的值．【解答】解
：（1）甲发现当x＝0时，y＝5，则c＝5；乙发现函数的最大值为9，即c9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2，则4，即b＝4；丁
发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根，则c+4b＝16，假设甲和丙正确，即c＝5，b＝4，则即c9，故乙正确，而丁错误，故错误
的是丁，函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）y＝﹣x2+4x+5，则点A（2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m），y＝
﹣x2+4x+5，令y＝0，则x＝5或﹣1，故点B（5，0），而点C（0，5），过点A作y轴的平行线交BC于点H，设直线BC解析式
为：y＝kx+5，把点B的坐标代入，得5k+5＝0．解得k＝﹣1．故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，当x＝2时，y＝3，故点H（
2，3），函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9，解得：0＜m＜6；（3）c＝b2，则抛物线的表达式为：y＝x2+bx
+b2，函数的对称轴为：xb，①当b≥0时，即b≥0，则x＝0时，y取得最大值，即b2＝5，解得：b（舍去负值）；②当﹣2b＜0时
，即﹣4＜b＜0，当xb时，y取得最大值，即﹣（b）2b2+b2＝5，解得：b＝±2（舍去2）；③当b≤﹣4时，同理可得：b＝1（
舍去）；综上，b或﹣2．31．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度
沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在
∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．【解答】解：（1）设存在点P，使得
PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t，∴当t时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝P
C＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t，当t
＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴A
C＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t，当P在AB上时，△B
CP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BEBC，∴PBAB，即2t﹣3﹣4，解
得：t，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BFBP，∵∠ACB＝90°
，由射影定理得；BC2＝BF?AB，即325，解得：t，∴当时，△BCP为等腰三角形．32．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G
，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：DF＝DG；（
3）若∠ADG＝45°，DF＝1，则有两个结论：①AD?BD的值不变；②AD﹣BD的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的
结论，证明并求其值．【解答】（1）证明：∵D为△BCE内心，∴∠DBC＝∠DBE，∵∠DBE＝∠BAD．∴∠DBC＝∠BAD，∵A
B是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠DBC+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°，∴AB⊥BC
，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：如图1，连接DE，∵∠DBC＝∠BAD，∠DBC＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BAD，∴∠ABF+
∠BAD＝∠ABF+∠DBE，∴∠BFD＝∠ABD，∵∠DGC＝∠ABD，∴∠BFD＝∠DGC，∴∠DFE＝∠DGE，∵D为△BC
E内心，∴∠DEG＝∠DEB，在△DEF和△DEG中，∴△DEF≌△DEG（AAS），∴DF＝DG；（3）解：AD﹣BD的值不变；
如图2，在AD上截取DH＝BD，连接BH、BG，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠AGB＝90°，∵∠ADG＝45°，∴∠ABG＝∠AD
G＝45°，∴，∵∠BDH＝90°，BD＝DH，∴∠BHD＝45°，∴∠AHB＝180°﹣45°＝135°，∵∠BDG＝∠ADB+
∠ADG＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠BDG，∵∠BAD＝∠BGD，∴△ABH∽△GBD，∴，∵DG＝1，∴，∵AD﹣
BD＝AD﹣DH＝AH，∴．33．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物
线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ
，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，
求m的值．【解答】解：（1）令yx+2＝0，解得：x＝4，y＝0，则x＝2，即：点A坐标为：（4，0），B点坐标为：（0，2）；（
2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，解得：b，c＝﹣2，故：二次函数表达式为：yx2x﹣2；（3）设点M（m，m+2），则Q（m
，m2m﹣2），以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，则：|MQ|＝±（m2﹣m﹣4）＝BD＝4，当m2﹣m﹣4＝4，解得
：m＝1；当m2﹣m﹣4＝﹣4，解得：m＝2，m＝0（舍去）；故：m＝2或1或1．34．如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别
延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．（1
）探究AE''与BF''的数量关系，并给予证明；（2）当α＝30°时，求证：△AOE''为直角三角形．【解答】（1）证明：∵O为正方形A
BCD的中心，∴OA＝OD，∵OF＝2OA，OE＝2OD，∴OE＝OF，∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E′OF′，∴OE′
＝OF′，∵∠F′OB＝∠E′OA，OA＝OB，在△E′AO和△F′BO中，，∴△E′AO≌△F′BO（SAS），∴AE′＝BF′
；（2）证明：∵取OE′中点G，连接AG，∵∠AOD＝90°，α＝30°，∴∠E′OA＝90°﹣α＝60°，∵OE′＝2OA，∴
OA＝OG，∴∠E′OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°，∴AG＝GE′，∴∠GAE′＝∠GE′A＝30°，∴∠E′AO＝90°，∴△
AOE′为直角三角形．35．某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段D
E表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y对应曲线EF表示气体泄漏控
制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之
初显示的数据是20；（2）求反比例函数y的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．【解答】解：（1）
当0≤x≤40时，y与x之间的函数关系式为y＝ax+b，，得，∴y＝1.5x+20，当x＝0时，y＝1.5×0+20＝20，故答案
为：20；（2）将x＝40代入y＝1.5x+20，得y＝80，∴点E（40，80），∵点E在反比例函数y的图象上，∴80，得k＝3
200，即反比例函数y，当y＝20时，20，得x＝160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160．36．如图
，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝3
5°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当
点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°
，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°
﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠A
DC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x
°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②
如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠AD
C＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．37．如
图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长
度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒
时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直
接写出点M运动路径的长度为．【解答】解：（1）如图1中，作QK⊥AD于K．∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠BAD＝
90°，∴tan∠BDA，∴∠BDA＝30°，当t＝1时，DQ＝2，QKDQ＝1，DK，∵PA，∴PK＝4，∴PQ7．（2）①如图
1中，当0＜t≤3时，QK＝t，PK＝62t，∵PQ＝4，∴t2+（62t）2＝42，解得t＝2或（舍弃）②如图2中，当3＜t≤6
时，作QH⊥AD于H，OK⊥AD于K，OF⊥OH于F．由题意：AQ＝2t，AHt，∵APt，∴AH＝AP，∴P与H重合，当PQ＝4
时，AQ＝8，∴2t＝8，∴t＝2，综上所述，t＝2或4s时，PQ＝4．（3）如图3中，作OK⊥AD于K．QH⊥AD于H．∵四边形
ABCD是矩形，∴OD＝OA，∵OK⊥AD，∴DK＝AK，∵DH＝PAt，∴KH＝PK，∵MK∥HQ，MQ＝MP，∴点M在线段OK
上，当点Q从D到O时，点M的运动距离OK．如图4中，当点Q在线段OC上时，取CD的中点M′，OK的中点M，连接MM′，则点M的运动
轨迹是线段MM′．在Rt△OMM′中，MM′，∴在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为．故答案为．38．某商场要经营一种新
上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少
10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文
具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方
案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得，销
售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）
w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x＝35时，
w最大＝2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x＝30时
，w有最大值，此时wA＝2000；B方案中：，故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为
直线x＝35，∴当x＝45时，w有最大值，此时wB＝1250，∵wA＞wB，∴A方案利润更高．39．菱形ABCD中，两条对角线AC
，BD相交于点O，∠MON+∠BCD＝180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．（1
）如图1，当∠ABC＝90°时，△OEF的形状是等腰直角三角形；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF的形状，并说
明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD＝180°
，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC＝4，且时，直接写出线段CE的长．【解答】（1）△OEF是等腰直角
三角形；证明：如图1，∵菱形ABCD中，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠BCD＝90
°，∠EBO＝∠FCO＝45°，∴∠BOE+∠COE＝90°，∵∠MON+∠BCD＝180°，∴∠MON＝90°，∴∠COF+∠C
OE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE与△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三
角形；故答案为等腰直角三角形；（2）△OEF是等边三角形；证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，∴∠OGE＝∠O
GC＝∠OHC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD＝180°，∴OG＝OH，∠BCD＝180°﹣
60°＝120°，∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC＝360°，∴∠GOH+∠BCD＝180°，∴∠MON+∠BCD＝180
°，∴∠GOH＝∠EOF＝60°，∵∠GOH＝∠GOF+∠FOH，∠EOF＝∠GOF+∠EOG，∴∠EOG＝∠FOH，在△EOG与
△FOH中，，∴△EOG≌△FOH（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等边三角形；（3）证明：如图3，∵菱形ABCD中，∠ABC
＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴，过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，∴∠O′GC＝∠O′HC＝∠BCD＝90°，
∴四边形O′GCH是矩形，∴O′G∥AB，O′H∥AD，∴，∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴O′G＝O′H＝3，∴四边形O′GCH
是正方形，∴GC＝O′G＝3，∠GO′H＝90°∵∠MO′N+∠BCD＝180°，∴∠EO′F＝90°，∴∠EO′F＝∠GO′H＝
90°，∵∠GO′H＝∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F＝∠GO′F+∠EO′G，∴∠EO′G＝∠FO′H，在△EO′G与△FO′
H中，，∴△EO′G≌△FO′H（ASA），∴O′E＝O′F，∴△O′EF是等腰直角三角形；∵S正方形ABCD＝4×4＝16，，∴
S△O′EF＝18，∵S△O′EFO′E2，∴O′E＝6，在RT△O′EG中，EG3，∴CE＝CG+EG＝3+3．根据对称性可知，
当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，CE′＝E′G﹣CG＝33．综上可得，线段CE的长为3+3或33．40．人们在长期的数学实践中
总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，其中转化思想是中学数学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则
图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法．问题提出：求边长分别为、、的三角形的面积．问题解决：在解答这个问题时，先建立
一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为、、的格点三角形△ABC（如图1）．AB是直角边分别为1和2的直
角三角形的斜边，BC是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，AC是直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三
个直角三角形的面积，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请直接写出图1中△ABC的面积为．（2）类比迁
移：求出边长分别为、2、的三角形的面积（请利用图2的正方形网格画出相应的△ABC，并求出它的面积）．【解答】解：（1）S△ABC＝
3×31×21×32×3；故答案为：；（2）如图2所示：△ABC即为所求，S△ABC＝2×41×22×21×4＝3．41．如图，在
矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3动点P从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动．过点P（不与点A、C重合）作EF⊥
AC，交AB或BC于点E，交AD或DC于点F，以EF为边向右作正方形EFGH设点P的运动时间为t秒．（1）①AC＝15．②当点
F在AD上时，用含t的代数式直接表示线段PF的长8t．（2）当点F与点D重合时，求t的值．（3）设方形EFGH的周长为l，求1
与t之间的函数关系式．（4）直接写出对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值．【解答】解：（1）
①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC15；故答案为：15；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，C
D＝AB＝6，∵EF⊥AC，∴∠APF＝90°＝∠D，∵∠PAF＝∠DAC，∴△APF∽△ADC，∴，即，解得：PF＝8t；故答案
为：8t；（2）当点F与点D重合时，如图1所示：∵∠APD＝∠ADC＝90°，∠PAD＝∠DAC，∴△APD∽△ADC，∴，即，解
得：t；（3）分情况讨论：①当0＜t时，如图2所示：由（1）②得：PF＝8t，同理：PE＝2t，∴EF＝10t，∴l＝4（8t+2
t）＝40t；②当t≤3时，如图3所示：EF＝10t，l＝430．③当3＜t时，如图4所示：同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△E
PC，∴，，即，，解得：PF（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），∴EF＝PF+PE（15﹣4t），∴l＝4（15﹣4t）＝﹣4
0t+150；（4）如图3所示：对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时，则PE：PF＝1：2，或PF
：PE＝1：2，①PE：PF＝1：2时，∵EF，∴PFEF＝5，同理可证：△CPF∽△CDA，∴，即，解得：PF（15﹣4t），∴
（15﹣4t）＝5，解得：t；②PF：PE＝1：2时，PFEF，则（15﹣4t），解得：t；综上所述，对角线AC所在的直线将正方形
EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值为或．42．某竹制品加工厂根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型竹制品玩具未来两年的
销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月，竹制品销售量为P（单位：箱），P与t之间存在如图所示函数关系，其图象是线段AB（不含点A
）和线段BC的组合．设第t个月销售每箱的毛利润为Q（百元），且Q与t满足如下关系Q＝2t+8（0≤t≤24）（1）求P与t的函数关
系式（6≤t≤24）．（2）该厂在第几个月能够获得最大毛利润？最大毛利润是多少？（3）经调查发现，当月毛利润不低于40000且不高
于43200元时，该月产品原材料供给和市场售最和谐，此时称这个月为“和谐月”，那么，在未来两年中第几个月为和谐月？【解答】解：（1
）当6≤t≤24时，设P与t的函数关系式为P＝kt+b∵该图象过点B（6，20）和C（24，2）∴∴∴P与t的函数关系式为P＝﹣t
+26（6≤t≤24）．（2）设直线AB的函数解析式为P＝mt+n，将A（0，14），B（6，20）代入得：∴∴直线AB的函数
解析式为P＝t+14∴当0＜t＜6时，利润L＝QP＝（2t+8）（t+14）＝2t2+36t+112＝2（t+9）2﹣50当t＝5
时，利润L取最大值为2（5+9）2﹣50＝342（百元）＝34200（元）；当6≤t≤24时，利润L＝QP＝（2t+8）（﹣t+2
6）＝﹣2t2+44t+208＝﹣2（t﹣11）2+450450百元＝45000元∴当t＝11时，利润L有最大值，最大值为4500
0元．综上，该厂在第11个月能够获得最大毛利润，最大毛利润是45000元．（3）∵40000元＝400元，43200元＝432百元
∴或第一个不等式无解，第二个不等式的解为6≤t≤8或14≤t≤16∴未来两年中的和谐月有：6，7，8，14，15，16这六个月．4
3．两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达
窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒．（1）求两车的速度之和及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口（慢车车头到达窗口某一点至
车尾离开这一点）所用的时间；（2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开
始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少为多少秒？【解答】解：（1）设快，慢车的速度分别为x米/秒，y米/秒．根据题意得x+y20
，即两车的速度之和为20米/秒；设慢车驶过快车某个窗口需用t1秒，根据题意得x+y，∴t1．即两车相向而行时，慢车驶过快车某个窗口
所用时间为7.5秒．答：两车的速度之和为20米/秒，两车相向而行时，慢车驶过快车某个窗口所用时间为7.5秒；（2）所求的时间t2，
∴，依题意，当慢车的速度为8米/秒时，t2的值最小，t2，∴t2的最小值为62.5秒．答：从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车
尾离开慢车的车头所需时间至少为62.5秒．44．如图，等边△ABC的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是的中点．（1）试判断过点C所
作⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足为E，证明BE是⊙O的切
线，并求△BDE的面积．【解答】解：（1）CF是⊙O的切线，（如图）CF与直线AB不相交．（1分）证明：∵CF是⊙O的切线，∴∠B
CF＝∠A，（3分）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A，∴∠BCF＝∠ABC，∴CF∥AB，∴CF与直线AB不相交．（4分）
（2）连接BO并延长交AC于H．∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BHC＝90°，（5分）∵点P是BC的中点，∴∠BCE＝30°．
（6分）又∵∠ACB＝60°，∴∠HCE＝90°．∵∠BEC＝90°，∴∠HBE＝90°．∴BE是⊙O的切线．（8分）在△ACD
中，∵∠ACD＝90°，∠A＝60°，∴∠D＝30°，（9分）∴BD＝BC，∴DE＝CE，∴S△BDE＝S△BCE，（10分）在矩
形BHCE中，S△BCE＝S△BCHS，（11分）∴S△BCES，∴S△BDES．（12分）45．如图，已知AB是⊙O的直径，点D
在弦AC上，DE⊥AB于E．求证：AD?AC＝AE?AB．【解答】证明：连接BC，（2分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
（4分）∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC，（8分）∴，（9分）∴AD?AC＝AE?A
B．（10分）46．如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是
直线y＝kx与双曲线y（m＞0）的交点．（1）求m和k的值；（2）设双曲线y（m＞0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶
点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MNAB，写出你的探究过程和结论．【解
答】解：（1）∵A，B在双曲线y（m＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，∴A，B的坐标分别（1，m），（2m，）．又点A，B在直线y
＝kx上，∴解得或当k＝﹣4且m时，点A，B的坐标都是（1，，不合题意，应舍去；当k且m＝4时，点A，B的坐标分别为（1，4），（
8，，符合题意．∴k且m＝4．（2）假设存在点P使得MNAB．∵AC∥y轴，MP∥y轴，∴AC∥MP，∴∠PMN＝∠CAB，∴Rt
△ACB∽Rt△MPN，∴，设点P坐标为P（x，）（1＜x＜8），∴M点坐标为M（x，x），∴MP．又∵AC＝4，∴，即2x2﹣1
1x+16＝0（※）∵△＝（﹣11）2﹣4×2×16＝﹣7＜0．∴方程（※）无实数根．∴不存在点P使得MNAB．47．对于一个函数
给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”．例如：
正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合
函数”．（1）①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k属和合函数”，则k的值为2．②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“
1属和合函数”，求a的值．（2）反比例函数y（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b，请求出a2+b2的值
；（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．【解答】解：（1）①
一次函数y＝2x﹣1，当1≤x≤5时，1≤y≤9，∴9﹣1＝k（5﹣1），∴k＝2，故答案为：2；②当α＞0时，∵1≤x≤5，∴a
﹣1≤y≤5a﹣1，∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1属和合函数”，∴（5a﹣1）﹣（a﹣1）＝5﹣1，∴a＝1；当a＜0时，
（a﹣1）﹣（5a﹣1）＝5﹣1，∴a＝﹣1，（2）∵反比例函数y，∵k＞0，∴y随x的增大而减小，当a≤x≤b且1＜a＜b是“1
属和合函数”，∴k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2020﹣2×1＝2018；（3）∵二次函
数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣
3，当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，当x＝a时，y＝4a2+2a，①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有ymax＝a2﹣4a﹣3
，当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，∴k＝﹣6a，∴k≥6，②如图2，当﹣1＜
a≤0时，当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k
，∴k（a﹣1）2，∴k＜6，③如图3，当0＜a≤1时，当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a
﹣3∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，∴k（a+1）2，∴k≤6，④如图4，当a＞1时，当x＝1时，有ymax＝a2+
8a﹣3，当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，∴k＝﹣6a，∴k＞6，即：k的
取值范围为k．48．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx+b经过点D和点E（﹣1，﹣2），求直线DE的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），∴m+4＝3．∴m＝﹣1．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点B，C，∴令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3．又∵点B在点C左侧，∴点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（3，0）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，∴点D的坐标为（1，0）．∵直线y＝kx+b经过点D（1，0）和点E（﹣1，﹣2），∴解得∴直线DE的表达式为y＝x﹣1；（3）如图，当P点在D、B两点之间时，M、N都在x轴上方，∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为：t＜1或t＞3．49．如图，已知平面直角坐标系中，点C（3，4），以OC为边作菱形OABC，且点A落在x轴的正半轴上，点D为y轴上的一个动点，设D（0，m），连结DB，交直线OC于点E．（1）填空：B的坐标为（8，4），sin∠AOC＝；（2）当点D在y轴正半轴时，记△DEO的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2时，求m的值．（3）过点D，O，A作⊙M，交线段OC于点F．①当⊙M与菱形OABC一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．②当OD＝DE时，直接写出OE：EF的值．【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥OA于H．∵C（3，4），CH⊥OA，∴OH＝3，CH＝4，∴OC5，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AB＝OC＝BC＝5，BC∥OA，∴B（8，4），∴sin∠AOC．故答案为（8，4），．（2）如图1中，延长BC交OD于F．∵S1＝S2，∴S△OCF＝S△BDF，∴3×4（4﹣m）×8，解得m．（3）①如图2中，延长BC交OD于P，作MQ⊥OD于Q．当⊙M与BC相切时，PQ＝DM．则有4，解得m．如图3中，当⊙M与AB相切时，AD⊥AB，设AD交OC于Q．∵OC∥AB，∴OC⊥AD，∴∠AQD＝90°，∴∠DOQ+∠AOQ＝9°，∠AOQ+∠OAQ＝90°，∴∠DOQ＝∠OAQ，∴tam∠OAD＝tan∠DOC，∴，∴，∴m．综上所述，满足条件的m的值为或．②如图4中，作BG⊥BC交OC的延长线于G，连接DF，AF，作FP⊥OA于P．∵BC∥OA，∴tan∠GCB＝tan∠COA，∴BG，∵OD∥BG，∴∠G＝∠DOE，∵DO＝ED，∴∠DOE＝∠DEO＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BE＝BG，∵DE+BE＝BD，∴（m）2＝82+（4﹣m）2，解得m，设OF＝5k，则FP＝4k，OP＝3k，∵∠ODF＝∠DAF，∴tan∠DAF，∵AD，∴AF，在Rt△APF中，∵AF2＝PF2+PA2，∴（m2+25）＝（4k）2+（5﹣3k）2，把m代入，整理得：45k2﹣54k+13＝0，解得k（舍弃）或，∴OF，∵OE＝2?OD?2，∴EF＝OF﹣OE，∴．50．某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；（3）市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．【解答】解：（1）根据题意得：34﹣2（x﹣5）＝24，x＝10，答：该日瓯柑的单价是10元/千克；（2）根据题意得：w＝x[34﹣2（x﹣5）]＝﹣2x2+44x＝﹣2（x2﹣22x+121﹣121）＝﹣2（x﹣11）2+242，由题意得：5≤x≤15，且x为正整数，∵﹣2＜0，∴x＝11时，w有最大值是242元，x＝5时，w有最小值是﹣2（5﹣11）2+242＝170元；则w关于x的函数表达式为：w＝x[34﹣2（x﹣5）]＝﹣2x2+44x（5≤x≤15，且x为正整数）；（3）由题意得：340≤﹣2x2+44x+a≤350∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数∴由二次函数的对称性可知，x的取值为9，10，11，12，13当x＝9或13时，﹣2x2+44x＝234，；当x＝10或12时，﹣2x2+44x＝240，当x＝11时，﹣2x2+44x＝242∵补贴后不超过350元，234+106＝340，242+108＝350∴当a＝106，或107，或108时符合题意．答：所有符合题意的a值为：106，107，108．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/4/169:54:23；用户：一脸坏笑；邮箱：9827982@xyh.com；学号：24607895第1页（共68页） |
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