江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．5第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70
分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M＝，N＝，则M与N的并集MN＝．2．设复数(a＞0)，若，则正实数a的值
为．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、
1000?人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为．4．某校志愿者小组有2名男
生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是．5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．
6．若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为．第5题7．设三棱锥P—ABC的体积为V1，点M，N
分别满足，，记三棱锥A—BMN的体积为V2，则＝．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则cosA＝
．9．已知数列、满足，且数列是等差数列，若，，则数列的前n项和＝．10．若函数关于直线对称，则的最小正值为．11．若存在
实数x(0，4)，使不等式成立，则实数a的取值范围是．12．在锐角△ABC中，已知AH是BC边上的高，且满足，则的取值范围是
．13．设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a的取值范围是．14．若圆C1：与圆C2：相交，点P为其在
x轴下方的交点，且mn＝﹣8，则点P到直线x＋y﹣1＝0距离的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定
区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）若＝(，)，＝(，)，设．（1）求函数在[0，π
]上的单调减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求sinB的值．16．（本小题满分14分）如图，
在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点．求证：（1）OP∥平面
ABB1A1；（2）平面ACC1⊥平面OCP．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一
角是一?个与正方形两邻边相切的圆的圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S平方米，周长为l米（周长是指图2中实
线部分），圆的半径为r米．设计的理想要求是面积S尽可能大，周长l尽可能小，但显然S、l都是关于r的减函数，于是设，当的值越大，满意
度就越高．试问r为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）18．（本小题满分16分）如图，A、B为椭圆C：短轴的
上、下顶点，P为直线l：y＝2上一动点，连接PA并延长交椭圆于点M，连接PB交椭圆于点N，已知直线MA，MB的斜率之积恒为．（1）
求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN与x轴平行，求直线MN的方程；（3）求四边形AMBN面积的最大值，并求对应的点P的坐标．19．
（本小题满分16分）已知数列满足．（1）若数列的首项为，其中，且，，构成公比小于0的等比数列，求的值；（2）若是公差为d(d＞0)
的等差数列的前n项和，求的值；（3）若，，且数列单调递增，数列单调递减，求数列的通项公式．20．（本小题满分16分）设函数，，其中
恒不为0．（1）设，求函数在x＝1处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，是否存在实数a，b，使得
在(0，)上恒成立?若存在，请求出实数a，b满足的条件；若不存在，请说明理由．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括
A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换
直线l经矩阵M＝(其中(0，))作用变换后得到直线l′：y＝2x，若直线l与l′垂直，求的值．B．选修4—4：坐标系与参数方程已知
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，
求直线l被曲线C截得的弦长．C．选修4—5：不等式选讲若正数a，b，c满足，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，
共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料
初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A，B，
C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，．（1）求A，B两
位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与
数学期望．23．（本小题满分10分）设集合＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n)，将的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最
小元素的和记为．（1）求，，的值；（2）试求的表达式．江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题解析第I卷（必做题，共1
60分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M＝，N＝，则M与N的
并集MN＝．答案：(﹣1，2)考点：集合并集运算解析：∵集合M＝，∴M＝(0，2)，又∵N＝，∴MN＝(﹣1，2)2．设复
数(a＞0)，若，则正实数a的值为．答案：1考点：复数解析：∵，∴，又∵a＞0，∴a＝1．3．某电视台对一节目的喜爱程
度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000?人，为进一步了解被调查人的
具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为．答案：5考点：分层抽样解析：．4．某校志愿者小组有2名男生和1
名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是．答案：考点：随机事件的概率解析：3人中任选两人有三种情况，其中女生入选的情
况有2种，故女生入选的概率是．5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．答案：13考点：伪代码解析：第一步
：I＝3，S＝5；第一步：I＝5，S＝9；第一步：I＝7，S＝13；此时I＞6，输出S的值为13．6．若双曲线(a＞0，b＞0
)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为．答案：考点：双曲线的简单性质解析：∵，∴，故，，∴两条渐近线方程为：，∴两条
渐近线所成的锐角为．7．设三棱锥P—ABC的体积为V1，点M，N分别满足，，记三棱锥A—BMN的体积为V2，则＝．答案：考点：
三棱锥的体积解析：首先得S△BMN＝S△PBC，且点A到平面BMN与点A到平面PBC的距离相等，故＝．8．在△ABC中，角A，
B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则cosA＝．答案：考点：正余弦定理解析：∵，∴，把代入得，，∴．9．已知数列、满足
，且数列是等差数列，若，，则数列的前n项和＝．答案：考点：等差数列的通项公式，等比数列的前n项和解析：∵是等差数列，且，，∴，
∴，故是的前n项和．10．若函数关于直线对称，则的最小正值为．答案：考点：三角函数的对称性解析：由题意得，，kZ，则，k
Z，所以的最小正值为．11．若存在实数x(0，4)，使不等式成立，则实数a的取值范围是．答案：(6，)考点：函数与不等式（存在
性问题）解析：∵x(0，4)，是不等式成立，∴，令，则，当x(0，2)，，单调递减，当x(2，4)，，单调递增，故，，故．12．
在锐角△ABC中，已知AH是BC边上的高，且满足，则的取值范围是．答案：(，1)考点：平面向量与解三角形解析：由题意知AH⊥B
C，且CH＝BC，在Rt△ACH中，，在△ABC中，，所以，化简得，得，∵△ABC是锐角三角形，∴，得，∴，即的取值
范围是(，1)．13．设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a的取值范围是．答案：(﹣2，0]考点：函数与
方程解析：假设既是的零点，也是的零点，则，，即，则b＝0，∴，令，解得，，∴，解得或，①当a＝0时，符合题意；②当a≠0时，方程
无解，即方程无解，∴，解得，综上所述，﹣2＜a≤0．14．若圆C1：与圆C2：相交，点P为其在x轴下方的交点，且mn＝﹣8，则点P
到直线x＋y﹣1＝0距离的最大值为．答案：考点：直线与圆综合解析：由题意可知，代入圆C1得，∵mn＝﹣8，∴，所以点P在圆上，
其中，求得圆心O到直线x＋y﹣1＝0的距离是，故点P到直线x＋y﹣1＝0的距离的最大值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，
请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）若＝(，)，＝(，)，设．（1）求
函数在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求sinB的值．解：（1）∵＝(，
)，＝(，)，∴由，kZ，解得，kZ，又∵x[0，π]，∴解得，∴函数在[0，π]的单调减区间为[，
π]，（2）由（1）知，其对称轴为，kZ，当x[0，π]，对称轴方程为，∵，，即，∴，，∴，∴，即，∵，且B为锐角，sinB
＞0解得．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点
，点P为BC的中点．求证：（1）OP∥平面ABB1A1；（2）平面ACC1⊥平面OCP．解：（1）∵在三棱柱中，平面ACC1A1是
平行四边形，∴O为A1C的中点，又∵P为BC的中点，∴OP∥A1B，∵A1B平面ABB1A1，OP平面ABB1A1，
∴OP∥平面ABB1A1，（2）∵平面ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，∴平面ACC1A1是菱形，∴AC1⊥A
1C，即AC1⊥OC，∵A1B⊥AC1，且OP∥A1B，∴AC1⊥OP，又AC1⊥OC，OPOC＝O，∴AC1⊥平面OCP，∵A
C1平面ACC1，∴平面ACC1⊥平面OCP．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一
角是一?个与正方形两邻边相切的圆的圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S平方米，周长为l米（周长是指图2中实
线部分），圆的半径为r米．设计的理想要求是面积S尽可能大，周长l尽可能小，但显然S、l都是关于r的减函数，于是设，当的值越大，满意
度就越高．试问r为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）解：，，所以，，，令，解得r(0，)(，1)＋0－递增
极大值递减故时，取得最大值．答：当时，该淋浴房底座的满意度最高．18．（本小题满分16分）如图，A、B为椭圆C：短轴的上、下顶点，
P为直线l：y＝2上一动点，连接PA并延长交椭圆于点M，连接PB交椭圆于点N，已知直线MA，MB的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的标
准方程；（2）若直线MN与x轴平行，求直线MN的方程；（3）求四边形AMBN面积的最大值，并求对应的点P的坐标．解：（1）A(0，
1)，B(0，﹣1)，设M(x，y)，则，因此，椭圆C的标准方程为：；（2）设M(m，n)，则N(﹣m，n)，，故直线M
N的方程为：；（3）设P(t，2)，t≠0或或令，则，，故在上递减，故，即，即时，，即的最大值为因此，
四边形AMBN面积的最大值为，对应的点P的坐标为(，2)．19．（本小题满分16分）已知数列满足．（1）若数列的首项为，其中，且，
，构成公比小于0的等比数列，求的值；（2）若是公差为d(d＞0)的等差数列的前n项和，求的值；（3）若，，且数列单调递增，数列单调
递减，求数列的通项公式．解：（1）由题意知：；（2）由题意知：，对任意均成立，其中d＞0，此时，对任意均成立，故；
（3）由题意知：，故时，时，则：，故即n为奇数时，，又n为奇数时，即n为偶数时，综上，．20．（本小题满
分16分）设函数，，其中恒不为0．（1）设，求函数在x＝1处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，
是否存在实数a，b，使得在(0，)上恒成立?若存在，请求出实数a，b满足的条件；若不存在，请说明理由．解：（1），，，故在x＝
1处的切线方程为：；（2），由题意知：令，x＞0，时，；时，故在递减，递增又时，，故在(0，1)上无零点，
，故又在递增，因此，在(1，e)上存在唯一零点∴存在且唯一；（3）由题意知：在上无零点当a＝0时，则b≠0，，符合题意；
又，则b(a＋b)＞0，故b≠0当a≠0时，要使在上无零点，显然ab＞0在上恒成立即在上恒成立令，，，时，时
，时，，，故因此，时，与题意不符，舍去；时，时，时，，，故因此，时，与题意不符，舍去；综上，存在a
＝0，b≠0符合题意．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计2
0分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换直线l经矩阵M＝(其中(0，))作用变换后得到直线l′：
y＝2x，若直线l与l′垂直，求的值．解：在l上任取一点P(x，y)，设P经矩阵M变换后得到点P′(x′，y′)故，又P′在直
线l′：y＝2x上，即y′＝2x′则即直线l：因为l与l′垂直，故又，故．B．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系
xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，求直线l被曲
线C截得的弦长．解：直线l的直角坐标方程为：，曲线C的直角坐标方程为：，圆心为C(0，0)，半径r＝，圆心C到直线l的距离所以直线
l被曲线C截得的弦长为．C．选修4—5：不等式选讲若正数a，b，c满足，求的最小值．解：因为正数a，b，c满足，所以，所以，当
且仅当，，时，取最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本
小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面
试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初
审合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，．（1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X为A
，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与数学期望．解：（1）记“A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资
格”为事件MA考生获得录取资格的概率为；B考生获得录取资格的概率为；所以答：A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为；（
2）随机变量X可能的取值为：0，1，2，3C考生获得录取资格的概率为，由（1）得A，B两位考生获得录取资格的概率均为，所以A，B，C三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X?~?B(3，)，则，，，，随机变量X的概率分布表如下：数学期望为：（人）答：X的数学期望为人．23．（本小题满分10分）设集合＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n)，将的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为．（1）求，，的值；（2）试求的表达式．解：（1），其所有三元子集为，故；，其所有三元子集为，，，，故；，，其所有三元子集为，，，，，，，，，，故；（2）的所有三元子集中：最小元素为1的三元子集个数为最小元素为2的三元子集个数为最小元素为3的三元子集个数为……最小元素为n﹣2的三元子集个数为……．江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试1 |
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