云南师大附中2020届高考适应性月考卷（八）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C 【解析】
1．解不等式，得，所以因此，故选B．
．因为所以，故选C．
．细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，设高为则，，故选B．
．，故选．
．，故选D．．
，故选B．
．由可知为奇函数，所以图关于原点对称，排除AB；令可知可知图与轴只有一个交点，故选C．
8．由三视图还原原几何体如图由图可知，该几何体是组合体，上半部分是半径为2的球的四分之一，下半部分是棱长为4的正方体，则该的体积为，故选．
．的图象向左平移个单位后得到，由于为偶函数，所以，由于，所以所以．当时，，所以，通过图象可知方程有两个不同的实根时，，故选D．10．因为，所以取为中点，则，又因为，在中有，所以，故选．11．通过观察，平面平面，所以平面，正确；设棱长为，用向量法，则，错误2，则由余弦定理得，所以②错误）；因为故四点共面，正确；体对角线平面，垂足三等分体对角线，正确；所有正确的是，故选C．
12．由函数图象：令，得，即有或，要使有个零点，则应有一个方程有个解，一个方程有个解，由图象应有，中有一个为，有一个小于，故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16 答案 或 或 【解析】
13．由题设得，因为，所以，解得14．易知的斜率存在，设直线的方程为，过圆心作易得当位于的延长线上时距离最大，即，所以，由点到直线的距离公式可得，所以，直线的方程为或
1．由得，，所以，由余弦定理得，所以16．，为的中点，，即，直线的倾斜角为或
图5
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）茎叶图如图所示
……………………………………（4分）
（其中左右两边各2分，如有一边对一部分给1分）
城市中学的平均分高于县城中学平均分
城市中学学生成绩比较集中，县城中学学生成绩比较分散分以上学生共有名，分以上的学生共有名，
由题可知7分）
…………………………………………………………（9分）
的分布列
………………………………………………………………………………………（10分）
．12分）
18．（本小题满分12分）
（1）：如图7，连，为中点，故且，故为平行四边形，2分）
，易知为等边三角形，为的中点故，即4分）
又，且，故又，故面面6分）
（2）取中点，连，，，
，易证为等边三角形，
故以为坐标原点，为轴，为轴为轴建立空间直角坐标系8分）
，，
，
设平面的法向量为
故解得．10分）
设平面的法向量为则，为锐二面角，故二面角的余弦值为
12分）
另解
如图9，取中点，连，，，，
，
过点作交延长线于，连
故，故
为二面角的平面角，，故，故
即二面角的余弦值为12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）当时，有解得1分）
当时，由得2分）
所以即3分）
故4分）
（2）由（1）得
即又5分）
数列是以1为首项，为公差的等差数列6分）
故又7分）
所以8分）
…………………………………………（9分）
…………………………（10分）
………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）令，得或．1分）
若，则当时，；当时，，故在，单调递增，在单调递减此时的极大值点为3分）
若，则当时，；当时，，故在，单调递增，在单调递减此时的极大值点为5分）
若，在单调递增，无极值6分）
（2）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率，所以切线方程为，因此，整理得，7分）
构造函数，则“若过点存在条直线与曲线相切”等价于“有三个不同零点”，，与的关系如下表：8分）
+ 0 ? 0 + 极大值 极小值 10分）
所以极大值为，极小值为，要使有三个解，即且，解得．11分）
因此，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是．
12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）设过点直线， 直线代入椭圆得，，过点与椭圆相切的直线方程……………………………（5分）
（2）焦点设直线与椭圆联立消去得
点到直线的距离，
以为直径的圆过点，得
，令，，求导在递增，12分）
22．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】
解：（1）由题意得曲线的普通方程为1分）
由伸缩变换得2分）
代入得3分）
的普通方程为4分）
（2）直线的极坐标方程为
直线的普通方程为5分）
设点的坐标为6分）
则点到直线距离7分）
………………………………………………………………（8分）
当时，9分）
所以点到直线距离的最大值为10分）
23．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】
解：（1）当时，1分）
等价于解得2分）
或解得3分）
或解得4分）
的解集为5分）
（2）若对恒成立，
有6分）
…………………………………………………（7分）
………………………………………………………（8分）
…………………………………………………………………………（9分）
……………………………………………………………………（10分）
理科数学参考答案·第8页（共10页）
图8
图7
图6
图4
图3
图2
图1
图9
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