几何最值系列之胡不归几何最值之胡不归知识精讲从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间
线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告
诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那
么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的
时间最少，就要使得最小，如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB，再过点B作BH
⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为，少年想要尽快回家，
应沿着驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.解决此类问题的一般方法：第一步：将所求的线段和改写成的形式；第
二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算.例1：如图，P为正
方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.【解答】【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30o，交AC于点
E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：在Rt△PBF中，∵∠PBF＝30o，，∴的最小值即为线段AF的长。在△ABF中，∵∠
BAE＝45o，∠ABE＝75o，∴∠AEB＝60o，解得，通过面积法可得，求得，∴AP＋BP＋CP的最小值是.例2：如图，矩形A
BCD的两条对角线相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB＝6，
.①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连结OP，一动点Q从点O出发，以1个单位每秒的速度沿线段OP
匀速运动到点P，再以1.5个单位每秒的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短
时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.【解答】（1）见解析；（2）①，②【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD
，∵AC与BD交于点O，且△COD、△CED关于CD对称，∴DO＝OC，DO＝ED，OC＝CE，∴DO＝OC＝CE＝ED，∴四边形
OCED是菱形；（2）①设AE交CD于点K，∵四边形OCED是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，∴，又∵AB＝CD＝6，∴DK
＝2，CK＝4，在Rt△ADK中，，；②作PF⊥AD于点F，易得，∵点Q的运动时间，∴当O、P、F三点共线且OF⊥AD时，OP＋P
F的值最小，此时OF是△ACD的中位线，，∴，.综上，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短，AP的长为，点Q走完全程需要的时
间为3s.几何最值之胡不归巩固练习（基础）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点
P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，
）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【解答】D【解析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则，，∴设
，等式变形为：，则t的最小值时考虑y的取值即可，∴，∴，，∴t的最小值为，∴，∴点D的坐标为（0，），故选D．解法二：假设P在AD
的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间，要使t最小，就要＋CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于
D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H
三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以，即，所以，所以点D的坐标应为.2．如图，一条笔直的公路穿过草原，公路边有一消防站A，
距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度
是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的
任意位置进入草地行驶．）【解答】【解析】如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，由已知条件
AB＝10千米，BC＝5千米，BC⊥AC，知AC＝＝15千米．则CD＝AC﹣AD＝（15﹣x）千米，，设走的行驶时间为y，则．整理
为关于x的一元二次方程得3x2＋（160y﹣120）x﹣6400y2＋1200＝0．因为x必定存在，所以△≥0．即（160y﹣12
0）2﹣4×3×（1200﹣6400y2）≥0．化简得102400y2﹣38400y≥0．解得y≥，即消防车在出发后最快经过小时可
到达居民点B．3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是.
【解答】【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a
2＋4a2，∴a2＝20，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴∴CD＋DH≥CM，.
3.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．【解答
】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP＝∠DAB＝60°，∴当点B、P、Q三点共
线时，有最小值，的最小值为.5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点，C（2，0），其对称轴与x轴交
于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为；（3）M（x，t）为
抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AM
B不小于60°，求t的取值范围．【解答】（1），；（2）；（3）①5个，②t的取值范围≤t≤【解析】（1）由题意解得，∴抛物线解析
式为，∵，∴顶点坐标．（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB＋PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠
ABO＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB＋PD＝PH＋PD＝DH，∴此时PB＋PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，
∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB＋PD的最小值为；（3）①以A为圆心AB为半径画弧
与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个
，即满足条件的点N也有5个，②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝，∴∠ABO＝30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA
，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满
足题意，∵，∴OE＝OB﹣EB＝，∵，EF2＝EB2，∴，解得或，故，G，∴t的取值范围≤t≤.几何最值之胡不归巩固练习（提优）1
．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/
s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】【解析】
过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠
EBA＝，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂
蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度
爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/
s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，∴OC
＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，解方程组得
或，则E点坐标为，∴，∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为．2．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝
30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数
式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【
解答】（1）见解析；（2）；（3）AB＝8【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，
∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．
在Rt△OHC中，CH＝OC?sin∠COH，∴h＝OC?sin60°＝OC，∴OC＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平
分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF
＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作D
H⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC?sin∠DCH＝DC?sin30°＝DC，∴CD＋OD＝
DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，此时FH＝OF?sin∠FOH＝O
F＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．3.抛物线与轴交于点A、B（A在B的左
边），与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对
应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标.【解答】【解析】在抛物线中，令，即，解得，，令，解得，，设直线
AC的解析式为，将A、C两个点坐标代入得，解得，∴直线AC的解析式为，设，∵PF⊥轴，且点E在直线AC上，点P在直线AB上方的抛物
线上，，，，，，∴∠CAO＝30o，过点E作EH∥AB交y轴于点H，则EH⊥y轴且∠CEH＝∠CAO＝30o，，∵PF⊥x轴，FO
⊥OH，EH⊥y轴，∴四边形EFOH为矩形，，∴当时，取得最大值，此时，，∴PC∥轴，∵PF⊥轴，CO⊥轴，，∴四边形PFOC为矩
形，，作C关于轴的对称点D，连接DB1，则B1C=B1D，过O1作OQ∥B1D且O1Q=B1D，连接DQ、PQ,PQ交轴于点G.则
四边形O1B1DQ为平行四边形.当最小时，四边形的周长最小，而，∴当点与G重合时，的值最小为PQ的长，∵点C、D关于轴对称，且，，
的最小值为，即四边形的周长的最小值为，设直线PQ的解析式为，将P、Q坐标代入得，解得，，令，解得，，即.4．如图，已知抛物线y＝（
x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一
交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与
△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1
个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】
（1）；（2）或；（3）当点F坐标为（﹣2，）时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y＝（x＋2）（x﹣4），令y
＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线经过点B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式
为：．当x＝﹣5时，y＝，∴D（﹣5，）．∵点D（﹣5，）在抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴
．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点
P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽
△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC
＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得
：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：．②若△
ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan
∠ABC＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x＋），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝x＋，整理
得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，，∴，解得，∵k＞0
，∴，综上所述，或．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝，ON＝5，
BN＝4＋5＝9，∴tan∠DBA＝，∴∠DBA＝30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．过点F作FG⊥DK于点
G，则FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF＋DF，运动时间：t＝AF＋DF，∴t＝AF＋FG，即运动的时间值等于折线AF
＋FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF＋FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，
AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：，∴，∴F（﹣2，）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，）
时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，
∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，点M在整个运动中用时为：，∵lBD：，∴FX＝AX＝﹣2，∴
F（﹣2，）．5．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD＋PC的最小值和PD﹣
PC的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为，PD
﹣PC的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC
的最小值为，PD﹣PC的最大值为．【解答】（1）5，5；（2），；（3），【解析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝
1．∵，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，∴PD＋PC＝DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴当D、
G、P共线时，PD＋PC的值最小，最小值为．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2
中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴
，∴PD＋＝DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD＋的值最小，最小值为．∵PD﹣＝PD﹣PG≤DG，当点P在
DG的延长线上时，PD﹣的值最大，最大值为．（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．∵，∴，∵∠PBG＝
∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝，∴PD＋＝DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD＋的值最小，最小
值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?sin60°＝，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝，∵PD﹣
＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣的值最大（如图2中），最大值为DG＝．6．如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）
x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB
于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周
长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．【解答】（1）a＝﹣，；（2）m＝2；（3）【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB解析式为．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴，∵NE∥OB，∴，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为，∴，∴，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′?OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′?OB，∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴M′E′＝BE′，∴AE′＋BE′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝．1 |
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