第一章导数及其应用1.1导数的概念1．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a的值是()A.B．C.D
.解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(－1)＝＝＝(aΔx2－3aΔx＋3a＋3Δx－6)＝3a－6＝4，解得a＝
，故选D.答案：D2．(2019·杭州二中月考)设函数f(x)可导，则等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.f
′(1)D.f′(3)解析：＝＝f′(1)．答案：C3．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×1
05m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为()A．1000m/s
B．500m/sC．1600m/sD.800m/s解析：设运动方程为s＝at2，∴＝＝at0＋aΔt，∴瞬时速度v＝
＝at0＝5×105×1.6×10－3＝800m/s，故选D.答案：D4．设f(x)在R上可导，已知f(－x)在x＝a处的导数
为A，则f(x)在x＝－a处的导数为________．解析：∵f(－x)在x＝a处的导数为A，∴A＝，∴f(x)在x＝－a处的导
数f′(－a)＝＝－A.答案：－A5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t＋1，求速度为零的时
刻．解：∵Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)3－(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋1－＝t2Δt＋tΔt2＋Δt3－3tΔ
t－Δt2＋2Δt，∴＝t2＋tΔt＋Δt2－3t－Δt＋2，∴＝t2－3t＋2，由t2－3t＋2＝0，得t＝1或t＝2.所以速
度为零的时刻为1秒末和2秒末．6．用定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝＝＝，∴＝，
∴＝＝－.即函数f(x)在x＝1处的导数为－.1.1.2导数的几何意义1．(2019·鄂东南九校期中)设P0为曲线f(x)＝
x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,
0)或(－1，－4)D.(2,8)或(－1，－4)解析：f′(x)＝＝＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处
的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝
±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．故选C.答案：C2．下列曲线中，在x＝1处切线的倾斜角为的是()A．y＝x2－
B．y＝xlnxC．y＝sinπxD.y＝x3－2x2解析：∵曲线在x＝1处切线的倾斜角为π，∴切线的斜率k＝－1，在y＝
x3－2x2中，k＝＝(－1＋Δx＋Δx2)＝－1，故选D.答案：D3.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－
x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()A．2B．1C.D.0解析：由题可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，∴f(5)＋
f′(5)＝2，故选A.答案：A4．曲线y＝x3＋2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A．(－2，－8)B．(1,
3)或(－1,1)C．(2,8)D.解析：设P(x0，y0)．则f′(x0)＝＝＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3
x＝3，∴x0＝±1，∴P(1,3)或P(－1,1)．故选B.答案：B5．设曲线y＝x2＋x＋在点(1,3)处的切线与直线ax＋y
＋1＝0垂直，则实数a＝()A．2B．－2C．－D.解析：f′(1)＝＝2，∴曲线y＝x2＋x＋在点(1,3)处的切
线的斜率为2，又因为它与直线ax＋y＋1＝0垂直，∴a＝，故选D.答案：D6．(2019·陵川高二月考)已知函数y＝ax2＋b在点
(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.解析：∵f′(1)＝2，又＝＝(aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝
1.又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴＝2.答案：27．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角的余弦值为________．解析：
依题意k＝＝＝－1，∴曲线在处的切线的倾斜角为π，其余弦值为cosπ＝－.答案：－※（选做题）8．已知直线l：y＝4x＋a和曲
线y＝x3－2x2＋3相切．求a的值及切点的坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵f′(x)＝＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2.∴切点的坐标为或(2,3)，当切点为时，有＝4×＋a，∴a＝.当切点
为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.∴所求a的值为a＝，切点为；a＝－5，切点为(2,3)．1．2.2基本初等函数的导
数公式及导数的运算法则1．若f(x)＝cos，则f′(x)等于()A.B．0C.D.－答案：B2．给出下列结论：①若y
＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝2x，则y′＝2x；④若f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，则f′(x)＝.其中正
确的有()A．①②B．①②③C．②③④D.①②④答案：D3．正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l
，则直线l的倾斜角的范围是()A.B．C.∪D.∪解析：设P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0，∴直线
l的斜率k＝cosx0∈[－1,1]．又直线l的倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α≤或≤α＜π.故选C.答案：C4．(2019·山大
附中高二检测)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)
，则点A的坐标是________．解析：∵y＝lnx，∴y′＝(x>0)，设A(x0，lnx0)则在点A处的切线方程为y－ln
x0＝(x－x0)，化简为y＝x＋lnx0－1，过点(－e，－1)，∴－1＝(－e)＋lnx0－1，∴lnx0－＝0，∴x
0＝e时方程成立，又∵y＝lnx0－递减，∴方程有唯一解x0＝e，A(e,1)．答案：(e,1)5．(2019·武威一中阶段测试
)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．解析：设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，所以k＝
3x0ln3，所以y＝(3x0ln3)·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，所以x0＝
＝log3e.所以k＝eln3.答案：eln36．(2019·自贡富顺一中高二期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f
′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：因为f
(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以
3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－
.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×－＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线
方程为y－－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.※（选做题）7．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－都相
切，求实数a的值．解：由y＝x3，得y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则在点(x0，x)处的
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，∵点(1,0)在切线上，∴－x＝3x(1－x0)，解得x0＝0或x0＝.当x0＝0时，切线方程
为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－相切，联立Δ＝0可得a＝－；当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－相切，
同理可得a＝.综上所述，a的值为－或.1.3.1函数的单调性与导数1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f(x)的单调递增区
间为()A．(－1,0)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(1，＋∞)D.(2，＋∞)解析：f(x)＝x2－2x－4ln
x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)>0，得x>2，∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，故
选D.答案：D2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－
)∪(，＋∞)B．(－，)C．(－∞，－]∪[，＋∞)D．[－，]解析：∵f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单
调，∴f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－≤a≤，
即实数a的取值范围是[－，]故选D.答案：D3．(2019·南阳一中高二开学)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈
R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D.(－∞，＋
∞)解析：构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)
－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，∴x>－1.答案：B4．(2019·
仲元中学高二期中)若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则实数b的取值范围是________．解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单
调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.答案：(0，＋∞)5．若函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋
∞)上有f′(x)＞0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式x·f(x)＜0的解集为______________．解析：∵f(x
)在(0，＋∞)上满足f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，
又f(－1)＝0，∴f(1)＝0，∴x·f(x)＜0的解集为0＜x＜1或x＜－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)6．若函数f(x
)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是________．解析：由f′(x)＝＝≥0，解得－1≤x≤1.即
f(x)的单调递增区间为[－1,1]由题意得解得－1nx；(2)f(x)＝.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x＞0，所以＞0，由f′(
x)＞0得x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0得x＜，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex＞0，(x－
2)2＞0.由f′(x)＞0得x＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0得x＜3，又定义域为(－∞
，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)．8．(2019·龙岩一中高二月考)已知函数f(x)
＝x＋－2lnx，a∈R，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－－＝.①当Δ＝4＋
4a≤0，即a≤－1时，得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0.∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝4＋4a>0，即a
>－1时，令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋>0.(ⅰ)若－10，＋∞)，∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，在(1－，1＋)上单调递减．(ⅱ)若a>0，则x1<0，当x∈(0
,1＋)时，f′(x)<0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，在区间(1＋，＋∞
)上单调递增．综上所述：①a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②－1∞)上递增，在(1－，1＋)上递减；③a>0时，f(x)在(0,1＋)上递减，(1＋，＋∞)上递增．※（选做题）9．试求函数f(x
)＝kx－lnx的单调区间．解：函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.当k≤0时，kx－1＜0
，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，即＜0，解得0＜x＜；由f′(x)＞0，即＞
0，解得x＞.∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，
无单调递增区间；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.1.3.2函数的极值与导数1．函数f(x)＝x3＋ax2＋
3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则实数a＝()A．2B．3C．4D．5解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋3x－
9，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝27－6a＋3＝0，解得a＝5，故选D.答案
：D2．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(－∞，3)C．(0，
＋∞)D.解析：y′＝3x2－2a.∵有极值，∴a>0.令3x2－2a＝0，解得x＝±.∵函数在(0,1)内有极小值．∴0＜＜1
，解得0＜a＜.答案：D3．设a∈R，若函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，则()A．a>－3B．a<－3C．a>－D
.a<－解析：∵y＝eax＋3x，∴y′＝eax·a＋3，当a≥0时，y′>0，不符合题意；当a<0时，由y′＝0，得x＝ln.∵
函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，∴ln>0，解得a<－3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的
极大值为()A．－eB．－1C．1－eD.0解析：∵f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1，又∵当0＜x＜1时
，f′(x)＞0，当1＜x＜e时，f′(x)＜0，∴f(x)在x＝1处取得极大值，f(1)＝ln1－1＝－1.故选B.答案
：B5．(2019·东厦中学高二质量检测)若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为______
__．解析：f′(x)＝3x2－3a.当a≤0时，在区间(0,1)上无极值．当a>0时，令f′(x)>0，解得x>或x<－.令
f′(x)<0，解得－cosx＋x在(0，π)上的极大值为________．解析：f′(x)＝－2sinx＋1，令f′(x)＝0，得x＝或x＝π.x
，f′(x)，f(x)取值情况如下表：xπf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)极大值＝f＝2cos＋＝2×＋＝
＋.答案：＋7．已知函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的极小值点是x＝－1，则a＝________.解析：∵f(x)＝x3－2a
x2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝(3x－a)(x－a)．由f′(x)＝0，得x＝或x＝a.∵f(x)的极小值点是
x＝－1，∴a<0，∴>a，∴为极小值点，即＝－1，∴a＝－3.答案：－38．已知函数f(x)＝x3－2x2＋x＋1.(1)求曲线
y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)f(2)＝23－2×22＋2＋1＝3，∵f′(
x)＝3x2－4x＋1，∴f′(2)＝3×22－4×2＋1＝5，∴所求切线方程为y－3＝5(x－2)，即y＝5x－7.(2)由(1
)知f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化
情况如下表：x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值1由上表知，f(x)的极大值为f＝，f(x)的极小值为f
(1)＝1.9．设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0
,6)．(1)试确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，所以f′
(x)＝2a(x－5)＋(x>0)．令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处
的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)
＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2或x2＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f
′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由
此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.10．(2019·郑州一中
高二期中)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴
仅有一个交点？解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情
况如下表：x－∞，－－－，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f－＝＋a，极小值是
f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)
>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f－＝＋a，f(x)
极小值＝f(1)＝a－1.因为曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，所以f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即＋a<0或a－1>
0，所以a<－或a>1，所以当a∈－∞，－∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．11．已知f(x)＝(x2－a)e
x，x∈R.(1)若a＝3，求f(x)的单调区间和极值；(2)已知x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且|x1＋x2|≥|x1
x2|，求实数a的取值的集合M.解：(1)∵a＝3，∴f(x)＝(x2－3)ex，∴f′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f′
(x)＝0，解得x＝－3或1.当x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－3,1)时，f′(x)<0.∴f(x
)的增区间为(－∞，－3][1，＋∞)；减区间为[－3,1]．f(x)的极大值为f(－3)＝6e－3；极小值为f(1)＝－2e.(
2)f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，令f′(x)＝0.即x2＋2x－a＝0.由题意两根为x1，x2，∴x1＋x2＝－2，x
1x2＝－a，故－2≤a≤2.又Δ＝4＋4a>0，∴－1y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D.解析：y′＝＝.由y′>0得，1－lnx>0，解得0得，1－lnx<0，解得x>e.∴y＝在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减．f(e)为极大值，也是最大值，且f(e)＝＝e－
1.答案：A2．函数f(x)＝x3－3x2＋m在区间[－1,1]上的最大值是2，则常数m＝()A．－2B．0C．2D.4
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0；当0
期中)已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若?x0∈[－1,4]使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是()A.B．
C．[2,16]D.解析：f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，可化为x－x＋6x0＝a，设g(x)＝x3－x2＋6x
，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2，∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4
)＝16.由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.故选D.答案：D4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x
)＝lnx的图象分别交于M，N，则当|MN|最小时t的值为()A．1B．C.D.解析：|MN|＝f(t)－g(t)
＝t2－lnt，令h(t)＝t2－lnt(t>0)，∴h′(t)＝2t－＝＝.当0当t>时，h′(t)>0，h(t)为增函数，∴h(t)min＝h＝－ln，故|MN|最小时t＝，故选D.答案：D5．已知函数f(
x)＝x＋xlnx，若m∈Z且f(x)－m(x－1)>0对任意的x>1恒成立，则m的最大值是()A．2B．3C．4D.
5解析：依题意可得，m1)，则g′(x)＝，令φ(x)＝x－2－lnx，(x>1)，则φ′(x)＝
1－>0，所以φ(x)＝x－2－lnx在(1，＋∞)上单调递增，又φ(3)＝1－ln3<0，φ(4)＝2－2ln2>0，故存
在x0∈(3,4)，使φ(x0)＝x0－2－lnx0＝0，从而g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，即g
(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，故m已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________．解析：设f(x)＝4x3＋4x2＋1
，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.又f(－1)＝1，f－＝，f(0)＝1，f(1
)＝9，故f(x)在[－1,1]上的最小值为1.故a≤1.答案：(－∞，1]7．(2019·承德高三模拟)定义在R上的函数f(x)
满足f′(x)>1－f(x)，f(0)＝6，其中f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex＋5(其中e为自然对数的
底数)的解集为________．解析：不等式exf(x)>ex＋5可化为exf(x)－ex－5>0.设g(x)＝exf(x)－ex
－5，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，所以函数g(x)在定义域R上单调递增
．又g(0)＝0，所以g(x)>0的解集为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)8．已知函数f(x)＝2lnx＋(a>0)．若当x∈(
0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.令g(x)
＝2x2－2x2lnx(x>0)，则g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0得x＝e，且00
；当x>e时，g′(x)<0，∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e，即实数a的取值范围是[e，＋∞)．答案：[e，＋
∞)9．已知函数f(x)＝x·(lnx＋ax＋1)－ax＋1.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围；(2
)若f(x)的最大值为2，求实数a的值．解：(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，则f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即f
′(x)＝lnx＋2ax＋2－a≤0，∴a≤－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，∵x≥1，∴g′(x)>0，∴g(x)单调递增，
∴g(x)≥g(1)，又g(1)＝－2，∴a≤－2.故实数a的取值范围为(－∞，－2]．(2)由f(1)＝2，要使f(x)max＝
2，故f(x)的递减区间是[1，＋∞)，递增区间是(0,1)，∴f′(1)＝0，即ln1＋2a＋2－a＝0，∴a＝－2.10．(
2019·镇海中学高二期末)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小
值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x
(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递
增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小
值为f(0)＝－k；当0以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．f(
x)min＝f(1)＝(1－k)·e；综上，当k≤1时，f(x)min＝－k，当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1，当k≥2
时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)·e.11．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1
)求a、b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]都有f(x)，因为函数f(x)在x＝1及x＝2取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0.即解得a＝－3，b＝4.经检验，符合题意．(2)由
(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，当x∈(0,1)时，
f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1
)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈
[0,3]有f(x)9，因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．12．
(2019·北京卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[－2,4]时，求
证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．
当M(a)最小时，求a的值．解：(1)由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝
1，得x＝0或x＝.又f(0)＝0，f＝，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与y－＝x－，即y＝x与y＝x－.(2)
证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x.令g′(x)＝0，得x＝0或x＝
.当x变化时，g′(x)，g(x)的情况如下：x－2(－2,0)00，，44g′(x)＋－＋g(x)－60－0所以g(x)的
最小值为－6，最大值为0.故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)由(2)知，当a<－3时，M(a)≥F(0)＝|g(
0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)≥F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(
a)最小时，a＝－3.1.4生活中的优化问题举例1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为
y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D.7万件解析：
∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍)．又当0＜x＜9时，y′＞0，当x＞9时，
y′＜0，∴x＝9时，y取得最大值．故选C.答案：C2．(2019·清水六中高二月考)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，
要使其体积最大，则高为()A.cmB．cmC.cmD.cm解析：设圆锥的高为xcm，则底面半径为cm.其体积
为V＝πx(202－x2)(0′>0；当箱的底面边长为()A．5cmB．6cmC．7cmD.8cm解析：设水箱的底面边长为xcm，∵容积为256，∴水
箱的高为，∴水箱的表面积f(x)＝4x·＋x2＝x2＋，f′(x)＝2x－.令f′(x)＝0，得x＝8，又当0＜x＜8时，f′(x)＜0，当x＞8时，f′(x)＞0，∴当x＝8时，f(x)取得最小值．答案：D4．某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1m，且AC比AB长0.5m．为节省材料，要求AC的长度越短越好．(1)设BC＝xm，AC＝ym，将y写成关于x的函数，并写出定义域；(2)当BC的长度为多少时，AC最短，求出最短长度．解：(1)由题设知BC＝xm(x>1)，AC＝ym，则AB＝y－.在△ABC中，由余弦定理，得2＝y2＋x2－2xycos60°.所以y＝，定义域为{x|x>1}．(2)y′＝＝.由y′＝0，得x＝1＋.因为当11＋时，y′>0，所以当x＝1＋时，y有最小值2＋.故AC的最短长度为(2＋)m，此时BC的长度为m.5．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)∵x＝5时，y＝11，∴＋10＝11，∴a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，∴商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，(3＜x＜6)．从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．第1页共2页 |
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