第2讲三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019正、余弦定理的应用·T17倍角公式、同角三角函数基本
关系式·T10正、余弦定理的应用、三角形的面积公式·T182018正、余弦定理的应用·T17二倍角公式及余弦定理·T6二倍角公式·
T4同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15三角形的面积公式及余弦定理·T92017正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦
公式·T17余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17余弦定理、三角形的面积公式·T17(1)高考对此部分的考查一般以“二小
”或“一大”的命题形式出现．(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第
4～9或第13～15题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18
题)位置上，难度中等．考点一三角恒等变换1.＝()A．－B．－1C．D．12.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin
2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.B．C.D．3.已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β
等于()A.B．C.D．4.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．1.(201
9·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为()A．－7B．－C．7D．－7或－2.已知t
an2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则
sin的值为()A．－B．－C．－D．－3.设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tan＝___
_____.考点二利用正、余弦定理解三角形题型一利用正、余弦定理进行边、角计算[例1](2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角
A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若a＋b＝2
c，求sinC.题型二利用正、余弦定理进行面积计算[例2](2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b
，c，已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．题型三正、余弦定
理的实际应用[例3]如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角
为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，则塔的高度CD＝________m.
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cos
A＝－，则＝()A．6B．5C．4D．32．(2019·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b
＋c＝2a,3csinB＝4asinC.(1)求cosB的值；(2)求sin的值．3．(2019·广东六校第一次联考)在△A
BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA.(1)求A；(2)若△ABC
的面积S△ABC＝，且a＝5，求sinB＋sinC.考点三解三角形的综合问题题型一与平面几何的综合问题[例4](20
19·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△B
CD的面积S＝.(1)求CD；(2)求∠ABC.题型二与三角函数的交汇问题[例5]如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等
差数列，且AC＝10，BC＝15.(1)求△ABC的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)＝Msi
n(ωx＋φ)的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．1．(2019·福州模拟
)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－.(1)求B；(2)若AM＝，求△AMC的面积．2．已
知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△A
BC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积．3.为了应
对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A，B，C
三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地
晚s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(1)求A，C两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传
播速度为340m/s)【课后通关练习】A组一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2B．－2＋C．
2－D．2＋2．(2019·重庆市学业质量调研)已知sinθ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝()A．－B．C．－D．
3．(2019·湖北省5月冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)＝(
)A．－B．C．－D．4．(2019·湖南省湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则
△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能5．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC中，内
角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acosC＋c，则角A等于()A．60°B．120°C．45°D．135°6．已知
台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)
的200千米处，若cosα＝cosβ，则v＝()A．60B．80C．100D．125二、填空题7．(2019·浙江高考)在
△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝
________.8．(2019·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bc
osA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为________．9.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形ABCD中，
AD＝2，sin∠CAD＝，ACsin∠BAC＋BCcosB＝2BC，且B＋D＝π，则△ABC的面积的最大值为________．
三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C
)的值．11．(2019·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcosA＋a2co
sB.(1)求B；(2)若b＝2，tanC＝，求△ABC的面积．12．(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角
A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－sinAsinC.(1)求B；(2)求sinA＋cos
C的取值范围．B组1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE.CB＝2，
BE＝1，∠B＝∠CED＝.(1)求sin∠AED的值；(2)若AB∥CD，求CD的长．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且sinAsinB＝cos2，(c－b)sinC＝(a＋b)(sinA－sinB)．(1)求A和B；(2)若
△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长．3．(2019·昆明市质量检测)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acosB)＝b.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．4．(2019·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取值范围． |
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