专题二数列第1讲等差数列、等比数列[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019等差数列的基本运算·T9等差(比)数列的证
明及通项公式的求法·T19等比数列的基本运算·T5等比数列的证明·T21(2)①等差数列的基本运算·T142018等差数列基本量的
计算·T4等差数列基本量的计算、和的最值问题·T17等比数列基本量的计算·T172017等差数列的通项公式、前n项和公式·T4等比
数列的概念、前n项和公式、数学文化·T3等差数列的前n项和公式、通项公式·T9等比数列的通项公式·T14等差数列、等比数列的判定及
其通项公式在考查基本概念、基本运算的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差、等比数列性质的考查主要是
求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，属中低档题．[例1](1)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn
为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．S
n＝n2－2n(2)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.(3)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.①若a3＋b3＝7，
求{bn}的通项公式；②若T3＝13，求Sn.1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5
＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．22．(2019·沈阳市质量监测(一))已知等差数列{an}的前n项和为
Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝()A．2B．C．3D．43．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差
数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围
．[例2](1)(2019·贵阳模拟)等差数列{an}中，a2与a4是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a1＋a2＋a3＋a4
＋a5＝()A．6B．8C．10D．12(2)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为()
A．－B．－C.D．－或(3)在等差数列{an}中，已知a1＝13，3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为___
_____．1．(2019·蓉城名校第一次联考)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝20，a4＝6，则a2的值为()A
．0B．1C．2D．32．(2019·江西八所重点中学联考)已知数列{an}是等比数列，若ma6·a7＝a－2a4·a9，且公比q
∈(，2)，则实数m的取值范围是()A．(2，6)B．(2，5)C．(3，6)D．(3，5)3．已知函数f(x)是R上的单调递
增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值()A．恒为正数B．恒为负数C．恒
为0D．可以为正数也可以为负数4．已知数列{an}满足an＝若对于任意的n∈N都有an>an＋1，则实数λ的取值范围是_____
___．等差(比)数列的判断与证明[例3](2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝
3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和
{bn}的通项公式．1．(2019·广州市调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥
2)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)求数列{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？2．设Sn为数列
{an}的前n项和，对任意的n∈N，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N)．(1)求证：数
列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．【课后通关练习】
A组一、选择题1．(2019·成都高三摸底考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝，S10＝15，则a7＝()A.
B．1C.D．22．(2019·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列为等差数列，则a9＝()A.
B．C.D．－3．等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝()A．32B．
31C．64D．634．若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为()A
．10B．11C．12D．135．(2019·江西临川期末)已知正项等比数列{an}满足a5·a6·a7＝1，且f(x)＝若f(
a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝a1，则a1的值为()A.B．eC．2eD．1＋e6．(2019·石家庄市模拟(一))
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＋Sn＝(n∈N)，若a10C．11D．12二、填空题7．(2019·长春市质量监测(二))等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝
54，则该数列的公差d为________．8．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝
3a4＋2，则a1＝________．9．(2019·山西太原期中改编)已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N}，Q＝{x|x＝2
n－1，n∈N}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则a29＝______
__，使得Sn<1000成立的n的最大值为________．三、解答题10．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝
－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)设bn＝an＋3，
证明：数列{bn}为等比数列，并求通项公式an.12．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}前三项的和为－9，前三项的积为－1
5.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.B组1．(2019·湖南省湘
东六校联考)已知数列{an}满足an＋1－3an＝3n(n∈N)且a1＝1.(1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列；(2)
设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.2．(2019·昆明检测)已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2＝
2，S3＝7.(1)求{an}的通项公式；(2)设m∈Z，若Sn知{an}是等差数列，且lga1＝0，lga4＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}
的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和．4．已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝13，数列{bn}的前n项和
是Tn，且Tn＋bn＝3.(1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式；(2)设cn＝an·bn，求数列{cn}中的最大项．第2讲
数列通项与求和[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019等比数列的求和·T14递推公式的应用·T19等差数列的前
n项和·T142018an与Sn关系的应用·T14等差数列前n项和的最值问题·T172017等差数列的基本运算、数列求和·T17等
比数列的通项公式、an与Sn的关系·T17等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点．若以解答题的形式考查，常与解三角形问题交替
考查且多出现在第17(或18)题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较
多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大．考点一an与Sn关系的应用[例1](1)(2019·成都第一次诊断性检测)
设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N，则a5＝________．(2)(2019·武汉市调研测试)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________．1．已知数列{an}
满足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N)，则数列{an}的通项公式an＝________．2．已知数列{an}中，a1＝1
，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N)．设bn＝an＋1－an.(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)设
cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.考点二数列求和题型一裂项相消求和[例2](2019·安徽五校联盟第二次质检)已知数
列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.题
型二错位相减求和[例3](2019·福建五校第二次联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且a
n＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.题型三分组转化求和[例4]已
知等差数列{an}的首项为a，公差为d，n∈N，且不等式ax2－3x＋2<0的解集为(1，d)．(1)求数列{an}的通项公式a
n；(2)若bn＝3＋an－1，n∈N，求数列{bn}的前n项和Tn.1．(2019·福建五校第二次联考)在数列{an}中，a1
＝，＝，n∈N，且bn＝.记Pn＝b1×b2×…×bn，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，则3n＋1Pn＋Sn＝________．2．
已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋.(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.3
.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，已知S3＝7，a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}
的通项公式；(2)令bn＝an＋lnan，求数列{bn}的前n项和Tn.【课后专项练习】A组一、选择题1．已知数列{an}满足＝
，且a2＝2，则a4等于()A．－B．23C．12D．112．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(
n≥2，n∈N)，那么a2019＝()A．1B．－2C．3D．－33．(2019·广东省六校第一次联考)数列{an}的前n
项和为Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)nan(n∈N)，则数列{bn}的前50项和为()A．49B．50C．99D．100
4．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和是Sn，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，且a4＋a5＝－20，则的最大值为(
)A.B．1C.D．25．若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N都有an＋1＝an＋n＋1，则＋＋…＋＋＝()A
.B．C.D．6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N)，若bn＋1＝(n－λ)(n∈N)，b1＝－λ，且数列{
bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(3，＋∞)D．(－∞，3)二、填空题7．(20
19·安徽合肥一模改编)设等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则an＝________，数列的前n项和为_______
_．8．设数列{an}满足a1＝5，且对任意正整数n，总有(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4成立，则数列{an}的前202
0项的和为________．9．(2019·蓉城名校第一次联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，若an＋Sn＝2，则a12＝__
______．三、解答题10．(2019·江西七校第一次联考)数列{an}满足a1＝1，＝an＋1(n∈N)．(1)求证：数列{
a}是等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和．11．(2019·唐山模拟)已知数列{an}的
前n项和为Sn，Sn＝.(1)求an；(2)若bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.12．(2019·河北
省九校第二次联考)已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12.(1)求
数列{an}的通项公式；(2)令cn＝＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.B组1．(2019·江西八所重点中学联考)设数列{an
}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N)．(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.2．(2019·
福建省质量检查)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并求an；(2)若数列{b
n}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项和．3．(2019·郑州市第二次质量预测)数列{an}满足：＋
＋…＋＝n2＋n，n∈N.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn>的最小正整数n.4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝16.数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且{bn－an}是等差数列．(1)分别求{an}，{bn}的通项公式；(2)记数列的前n项和为Sn，求证：Sn<.5.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．(2019·郑州市第二次质量预测)已知数列{an}中，a1＝1，an>0，前n项和为Sn，若an＝＋(n∈N，且n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记cn＝an·2，求数列{cn}的前n项和Tn. |
|
