第第三讲二次函数本章思维导图学习要点与方法点拨：一、二次函数的概念、图像和性质，待定系数法，用二次函数解决问题；二、注意二次函数与一元
二次方程的内在联系，体会转化思想的应用；三、学会数形结合的思想，掌握二次函数的图像与三角形、四边形、圆等相关知识的综合应用。课前复
习：一元二次方程的性质，解的情况；一次函数和反比例函数的图像和性质。模块精讲二次函数的概念人们对二次函数的研究最早是从它的图像开始
的。在古希腊，人们发现，把圆锥按不同角度切开，会出现不同的形状，可以得到圆、椭圆和一种未知的曲线，统称为圆锥曲线。后来，大物理学家
伽利略发现，把一个物体斜着抛出去，物体运动的轨迹刚好就是圆锥曲线，因此，这条曲线也被称为抛物线。后来，数学家笛卡尔发明了平面直角坐
标系，诞生了解析几何，人们可以把平面图形用方程表示出来。一次函数在坐标系中是一条直线，而二次函数在坐标系中的图像就是这条圆锥曲线。
我们学过了一次函数和反比例函数，知道它们的图像和性质……一般地，形如y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数
叫做二次函数，其中x是自变量，y是x的函数。（1）通常把y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，且a≠0）叫做二次函数的一般形
式。也就是说，任何的二次函数都可以转化成这种形式。其中，ax2，bx，c分别是二次项，一次项和常数项，a、b分别是二次项系数，一次
项系数。（2）二次函数的几种特殊形式：①当c=0时，y=ax2＋bx（a≠0）；②当b=0时，y=ax2＋c（a≠0
）；③当b=0，c=0时，y=ax2（a≠0）.（3）二次函数必须具备三个特征：①函数表达式是整式（也就是自变量x不能在
分母中）；②自变量的最高次数是2次；③二次项系数不为0.例1、下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）A、y
=3x－1B、y=ax2＋bx＋cC、s=2t2－2t＋1D、y
=x2＋二次函数的三个特征必须同时满足。练习：1、下列关于二次函数y=ax2＋bx＋c的说法正确的是（）A、y
=0B、x可以取任何实数C、a、b、c都可以取任何实数2、下面哪个不是二次函数？（）A、
y=2x－x2B、y=－1C、y=－3x2D、y=x＋223、二次函数y=－－x2的
二次项系数是________，一次项系数是_______，常数项是________。4、下列函数是二次函数的是__________
______（填序号）（1）y=3(x－1)2－3x2（2）y=x-2（3）y=5x2＋4（4）y=
x2－2x（5）y=x2＋3（6）y=x(x－1)2（7）y=ax2＋bx＋c（其中a、b、c是常数）
5、已知y=(m－1)＋5x＋3是关于x的二次函数，则m的值为________。6、当m=________时，函数y=
mx2＋bx＋1＋是关于x的二次函数。下面讨论二次函数的自变量的取值范围。通常二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量
x可以是任意实数。但是，在一些实际应用问题中，自变量x的取值范围受到实际意义的限制，这时，自变量x的取值必须使实际问题有意义。这时
通常要求x≥0或者x＞0.例2、有一张长方形纸片，长和宽分别为8cm和6cm。现在在长边和短边上分别剪去宽为xcm的纸条，则剩
余部分的面积为y=(8－x)(6－x)，这个函数中自变量x的取值范围是___________。长方形的长和宽都必须为正数。需
要注意实际问题中x可以为0和不可以为0的情况。0＜x＜6。根据实际问题写出二次函数的表达式时，先要找出问题中的等量关系，再明确
哪些是常量，哪些是变量，最后由等量关系写出函数表达式。例3、某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，根据市场分析，若按50元/
kg销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，请回答：设销售单价定位x元/
kg时，月销售利润为y元，求y与x之间的函数表达式。首先，我们要找出这种问题中的等量关系：月销售利润=每千克的利润×月销售的千
克数。再看这个问题中，每千克的利润为(x－40)元，月销售量为[500－10(x－50)]kg。再根据等量关系，月销售利润y
=(x－40)·[500－10(x－50)]=－10x2＋1400x－40000.写二次函数表达式时，一般最后要化成二次函数
表达式的一般形式。在实际问题中，必须使自变量有实际意义，即一定要注意自变量的取值范围。练习：1、某汽车租赁公司有出租车120辆，
每辆汽车的日租金为160元。由于出租业务供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金。经市场调查发现，一辆汽车
日租金每增加10元，每天出租汽车就会减少5辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高10x元时，公司日租金收入为y元。求y关
于x的函数表达式。y=(160＋10x)(120－5x)，其中0＜x＜24.2、某公司今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每
月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是x，则该公司今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数表达式为____________
_____________。3、已知长方形的周长为C，则面积S与其中一边长x的函数表达式是____________________
_。4、已知两个正方形的周长的和是10，若设其中一个正方形的边长为x，两个正方形的面积的和为y，请写出y与x的函数表达式，并指出自
变量x的取值范围。二次函数的图像我们可以用描点法作出二次函数在直角坐标系中的图像，我们发现，不管y=ax2＋bx＋c（a≠0）
的系数a、b、c取什么值，它的图像都是一条平滑的曲线。二次函数的图像是一条抛物线。下面我们来研究二次函数y=ax2＋bx＋c（
a≠0）在平面直角坐标系中的图像。它的图像主要分为两个方面：（1）长什么样；（2）长在哪里。1、抛物线长什么样抛物线的形状分为两个
方面：①开口方向；②开口大小。抛物线的形状有二次项系数a来决定，与b和c无关。a的正负决定抛物线开口的方向，当a＞0时，开口
向上；当a＜0时，开口向下。a的绝对值的大小决定抛物线开口的大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。2、抛物线长
在哪里抛物线在坐标系上的位置变化可以通过平移来实现。我们学习一次函数时，对于函数y=kx＋b，它的图像的位置由b来决定，可以通
过增大和减小b来实现图像在坐标系上的位置变化。并且总结出平移时函数表达式变化的规律：上加下减，左加右减。以y=6x2为例，向上
移动5个单位，就是y=6x2＋5；如果向右平移3个单位，就变成y=6(x－3)2抛物线在坐标系上的位置由a、b、c三个参数
共同决定。如果转化成顶点式y=a(x＋h)2＋k，只由h和k决定，与a无关，顶点坐标就是（－h，k）。顶点位置确定了，抛物线的
位置就确定了。（后面会学习）例4、把抛物线y=2x2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线对于的函数表达
式是_________________，顶点坐标是___________，对称轴是___________。练习：1、通过描点法画出
二次函数y=x2－5的图像，可以得到（）A、函数有最小值B、抛物线的对称轴是x轴C、
抛物线的顶点是(0,5)D、在y轴左侧，y随x的增大而增大2、下列关于二次函数y=ax2＋bx＋c中二次项系
数a的说法，正确的是（）A、当a＞0时，抛物线开口向上B、|a|越大，抛物线的开口越大C、a越大，抛物线的
开口越小3、将抛物线y=x2＋2向下平移5个单位，新图像的顶点坐标是___________。4、把抛物线y=－x2＋6向上
平移3个单位，得到的图像的解析式是_________________；如果向左平移4个单位，得到的解析式是____________
________。二次函数的性质对于二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），我们可以通过观察它的图像，来分析它的性质，主要从抛
物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性以及函数的最值（最大值或最小值）这几个方面来研究。注意：在这几个性质中，顶点坐标最为
重要。它能够决定对称轴（顶点横坐标）、增减性（顶点横坐标为分界点）和最值（顶点纵坐标），知道了顶点坐标，其他几个就确定了。1、我们
首先以y=ax2（a≠0）为例，通过它的图像研究它的性质。y=ax2（a≠0）a＞0a＜0开口方向向上向下开口大小由|a
|决定，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大顶点坐标（0，0）对称轴y轴（直线x=0）当x＜0时，y随x的增大而
减小增大当x＞0时，y随x的增大而增大减小最值当x=0时，y有最小值0当x=0时，y有最大值02、（上下平移）如果y=ax2（
a≠0）进行上下平移，变成y=ax2＋k（a≠0），这时：（1）首先，顶点坐标发生变化，这时是（0，k）；（2）最值发生变化
，开口向上时，y有最小值k；开口向下时，y有最大值k；（3）抛物线上的每一个点都上下移动了k个单位，按照“上加下减”，每个点的纵坐
标都变化了k个单位。3、（左右平移）如果y=ax2（a≠0）进行左右平移，就变成y=a(x＋h)2（a≠0），这时：（1）
首先，顶点坐标发生变化，变成（－h，0）；（2）抛物线的对称轴发生变化，从直线x=0变为直线x=－h；（3）抛物线增减性的分界
点发生变化，从“x＞0、x＜0”变为“x＞－h、x＜－h”；（4）抛物线上的每一个点都左右移动了h个单位，按照“左加右减”，每个点
的横坐标都变化了h个单位。4、（任意平移）我们通过上下平移改变顶点的纵坐标，此时顶点在y轴上；通过左右平移改变顶点的横坐标，顶点在
x轴上。那如果把顶点挪到四个象限内的某一个点呢？这时，顶点的横纵坐标都不是0了。这时解析式会怎么变呢？这时，我们只要把“上加下减”
和“左加右减”同时用上就行了。而且是不分顺序的，可以先上下移动，再左右移动，也可以先左右移动，再上下移动。函数的解析式从y=a
x2（a≠0）变成y=a(x＋h)2＋k（a≠0）。这时：（1）顶点坐标发生变化，这时是（－h，k）；（2）抛物线的最值、对
称轴和增减性的分界点都发生了变化…………（3）抛物线上的每一个点的横纵坐标都发生了变化……总结：从以上分析可知，上下平移影响纵坐标
，左右平移影响横坐标。而与顶点的纵坐标有关的是抛物线最值，因此上下平移影响最值；与顶点的横坐标有关的是抛物线的对称轴和增减性的分界
点，所以左右平移影响这两项。y=a(x＋h)2＋k（a≠0）是二次函数解析式的另一种表示形式，它比一般式更方便，可以一眼看出顶
点坐标、对称轴、最值等，称为顶点式。我们可以与前面讲的y=ax2（a≠0）类似，做出一个表格，来研究顶点式的各项性质…………例
5、请指出下面几个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，并说明它们是如果从y=ax2平移得来的：（1）y=(x－1
)2＋7（2）y=－(x＋2)2－1（3）y=－3(2－x)2－4（4）y=2x2
－4（5）y=－(x＋7)2练习：1、抛物线y=2x2＋3是由抛物线y=2x2向____
_平移3个单位长度得来的；2、抛物线y=x2－6是抛物线y=x2＋1平移得来的，则下列说法不正确的是（）A、图像
向下平移了7个单位长度B、顶点坐标由（0,1）变为（0，－6）C、函数最小值从1变为－6
D、函数的对称轴从y轴变成x轴3、将y=2x2向右平移一个单位，解析式变成（）A、y=2x
2－xB、y=(2x－1)2C、y=2(x－1)24、要得到抛物线y=m(x＋5)2，可将抛物
线y=m(x－3)2向_____平移_____个单位长度，新函数的对称轴是______。5、将抛物线y=(2－x)2－5如
何平移，可得到抛物线y=x2＋1？6、要得到抛物线y=－(x＋3)2－6，需要将抛物线y=－x2＋1如何平移？我们前
面讨论的解析式都是特殊形式——顶点式y=a(x＋h)2＋k，它使用起来特别方便，很容易看出顶点坐标、对称轴、最值等二次函数的性
质。但是，我们平常接触的二次函数解析式很多是用一般式y=ax2＋bx＋c表示的。这时怎么办呢？很自然我们想到，把一般式转化成顶
点式，怎么转化呢？可以用配方…………y=ax2＋bx＋c=a(x＋)2＋对应于顶点式y=a(x＋h)2＋k，可以得到h
=，k=.由此，我们得到了用一般式y=ax2＋bx＋c表示的二次函数的顶点坐标公式：（，）.通过这个公式，我们拿到
任意一个二次函数，把系数a、b、c代入，就可以得到顶点坐标了。有了顶点坐标，对称轴、最值、增减性等性质就确定了。思路：求指定二次函
数的顶点坐标时，可以记住公式，把a、b、c代入得到横纵坐标。另外也可以先只把a和b代入求出横坐标x=，再把横坐标x代入解析式
，得到对应的y的值，就是顶点的纵坐标。另外，请您同样做出一个表格，整理出用一般式y=ax2＋bx＋c表示的二次函数的各项性质…
………练习：1、指出下列二次函数图像的顶点坐标、对称轴和最大值或最小值：（1）y=3x2－9x＋2；（2）y=－
x2－x－6；（3）y=－5x2＋10x－32、已知抛物线y=－x2＋x－，下列结论不正确的是（）A、图像的
对称轴是x=B、二次函数的最大值是－1C、函数与y轴的交点在x轴的上方D、x＜时，y随x的增大而增大
3、已知二次函数y=mx2＋(m－1)x＋m－1有最小值0，求m的值。我们再来讨论二次函数的图像特征与a、b、c符号之间的关系
，可以整理成下表：系数系数的符号图像的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bb＝0对称轴为y轴与a同号（即ab＞0）对称轴在y轴左侧
与a异号（即ab＜0）对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c＞0图像与y轴正半轴相交（图像与y轴的交点在x轴的上方）c＜0图像与y轴负
半轴相交（图像与y轴的交点在x轴的下方）例6、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则下列条件不正确的是（
）A、a＜0，b＞0B、c＜0yC、a＋b＋c＜0
D、a－b＋c＞0Ox二次函数的图像及性质的常见题型1、求二次函数的顶点坐标和对称轴（配方法）例7、求抛物线y=
－x2－6x＋5的顶点坐标和对称轴。用配方法转化为顶点式。2、求二次函数的最值例8、求下列的最大值或最小值：（1）y=7－
4x－2x2（2）y=x2－2x－3（2≤x≤3）（3）y=－x2＋4x＋1（0≤x≤3）y特别注意当自变
量x给定了取值范围时，我们必须先判断对称轴是否在该范围。如果对称轴不在取值范围，则两个端点处分别取最大值和最小值。如果对称轴在取值
范围，在顶点和离对称轴较远的端点处分别取最大或最小值。13、二次函数图像和系数符号的关系例9、1Ox已知二次函数y=ax2＋
bx＋c的图像如图所示，则下列五个代数式：①ac；②a＋b＋c；③4a－2b＋c；④2a＋b；⑤2a－b其中值大于
0的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个这类题目，首先确定a、b、c的符
号。由图像有a＜0，c＜0.再由对称轴＞0，可得b＞0.a＋b＋c是x=1时y的值；a－b＋c是x=－1时y的值；4a－2b＋
c是x=－2时y的值；2a＋b可以由对称轴与1的大小关系以及a的正负来确定。4、二次函数图像及性质的应用例10、设点A(－2，y
1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（
）A、y1＞y2＞y3B、y1＞y3＞y2C、y3＞y2＞y1D、y3＞y1＞y2这题考察函数的增减性，首先应该找到对称
轴，对称轴是抛物线增减性的分界点。可以画出抛物线的草图，分别找到三个点的位置，根据图像判断对应点y值的大小。5、抛物线的平移问题例
11、已知一个二次函数的图像是由抛物线y=x2上下平移得到的，并且当x=－1时，y=。求这个二次函数的解析式。根据
“上加下减”，上下平移影响y，可以设一个未知数k，再根据已知求出k的值。6、抛物线顶点的应用例12、已知抛物线y=4x2＋(
b－1)x＋3的顶点在直线y=－x上，求b的值。本题可以根据顶点坐标公式先求出顶点坐标，再代入y=－x求出b的值。但比较繁
琐。这时，可以利用直线y=－x上的点坐标的特征，设顶点坐标为(t，－t)。根据顶点式解析式y=4(x－t)2－t，化简得y=4
x2－8tx＋4t2－t=4x2＋(b－1)x＋3，根据系数对应关系可以求出t和b（有两组值）。练习：1、抛物线y=x2－
6x＋5的顶点坐标是___________；抛物线y=x2＋2x＋3的对称轴是____________；2、在二次函数y=
ax2＋bx＋c中，b2=ac，且当x=0时，y=－4，则（）A、y有最大值－4B、y有最小值
－4C、y有最大值－3D、y有最小值－33、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图像经过点A（1,2
），B（3,2），C（5,7）。若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在此二次函数的图像上，则下列结论中正确的是
（）A、y1＜y2＜y3B、y2＜y1＜y3C、y3＜y2＜y1D、y1＜y3＜y24、已知二次函数y=a(
x＋h)2＋k的图像是由抛物线y=x2先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的。（1）求a、h、k的值；（2）
观察的图像，它的对称轴是__________；增减性如何？（3）对于一切x的值，y的取值范围是多少？用待定系数法确定二次函数表达式
我们前面学的都是已知二次函数的解析式，研究它的图像和性质。现在我们可以把这个问题反过来，如果我们知道一个二次函数图像的一些特性，能
够算出这个二次函数的解析式吗？或者说，怎样才能求出解析式中待定字母，比如a、b、c或者a、h、k的值呢？我们在学一次函数时，解决过
类似问题：如果知道一次函数图像上两个点的坐标：①设解析式为y=kx＋b（k≠0）；②代入两个点的坐标，得到二元一次方程组；
③解出k和b的值；④得到一次函数的解析式。求二次函数解析式的方法类似，但是二次函数解析式有多种形式，因此要灵活运用……例13、
已知抛物线经过（1,5），（-2，-1），（0,1）三个点，求抛物线的解析式。这时可以使用①一般式y=ax2＋bx＋c，得到
一个三元一次方程组……例14、已知抛物线经过A（-9,0），B（-19，0），C（1,100）三个点，求抛物线的解析式。这个题目
如果使用一般式，会得到一个计算很复杂的方程组……再观察一下三个点，发现A、B都在x轴上，这时可以使用②交点式：y=a(x－x1
)(x－x2)，很容易得出x1=－9，x2=－19，解析式即为y=a(x＋9)(x＋19)，再代入C点坐标得出a……例
15、已知一个二次函数的图像的顶点坐标为（-3,-2），且经过点（-1,2），求这个函数的解析式。已知顶点坐标，千万不要使用顶点
坐标公式（，）……而应该使用③顶点式：y=a(x＋h)2＋k，由于顶点坐标（－h，k）是（－3，－2），所以h=3，k=
－2。因此，解析式为y=a(x＋3)2－2。再代入另一个点……同样，④如果知道抛物线的顶点在原点，可以设解析式为：y=a
x2（a≠0）；⑤如果知道抛物线的对称轴是y轴（或者顶点在y轴上），可以设解析式为：y=ax2＋k（a≠0）；⑥如果知道抛物线
的顶点在x轴上，可以设解析式为：y=a(x＋h)2（a≠0）。练习：1、已知二次函数的图像经过A（-1，-1），B（1,5），
C（3,3）三点，求二次函数的解析式；2、已知二次函数的图像经过A（2，0），B（4,0），C（3,2）三点，求二次函数的解析式；
3、已知二次函数的图像的顶点坐标是（2，-2），且经过点（3,1），求二次函数的解析式；下面我们讨论“根据对称轴、最值、在坐标轴上
所截线段长等条件求解析式”：例16、已知二次函数的图像在x轴上所截线段的长为4，顶点坐标为（2,4），求这个函数的解析式。解决此
题可以先画一个草图……（1）由于抛物线的顶点坐标为（2,4），且与x轴有交点，必然开口向下；（2）顶点坐标为（2,4），可得对称轴
为x=2，又抛物线在x轴上所截线段的长为4，根据图像的对称性，可得抛物线与x轴的两个交点为：（0,0），（4,0）…………思路
：如果抛物线与x轴的两个交点为（x1，0）和（x2，0），对称轴为x=m，根据对称性，有m－x1=x2－m.例17、（经
典例题）已知二次函数y=ax2－2ax＋c（2≤x≤3）的最小值是4，最大值是7，求这个函数的解析式。题目没有说明a的正负，因
此需要分两种情况讨论。由于给定了x的取值范围，首先必须求出对称轴为x=1.（1）当a＞0时，开口向上。由于2≤x≤3，取值范围
在对称轴右侧，是增函数，∴x=2时，y最小；x=3时，y最大。即：4a－4a＋c=4，9a－6a＋c=7，解得：a
=1，c=4.∴y=x2－2x＋4；（2）当a＜0时，开口向下。由于2≤x≤3，取值范围在对称轴右侧，是减函数，
∴x=2时，y最大；x=3时，y最小。即：4a－4a＋c=7，9a－6a＋c=4，解得：a=－1，c=7.
∴y=－x2＋2x＋7。因此，这个二次函数的解析式为y=x2－2x＋4或y=－x2＋2x＋7。思路：当给定了x的
取值范围时，要求y的最大或最小值，首先要确定对称轴是否在取值范围内，y的最值需考虑取值范围的两个端点和抛物线的顶点。例18、（经
典例题）已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）过点A（0,2）、B（4,3）和点C，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物
线对称轴的距离等于1，求这个抛物线对应的函数解析式。根据题意，对称轴可能是x=1或者x=3，需分情况讨论：（1）当对称轴为
直线x=1时，=1，再由经过A、B两点，可得方程组，解得：y=x2－x＋2；（2）当对称轴为直线x=3时，=
3，再由经过A、B两点，可得方程组，解得：y=x2＋x＋2.练习：1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）图像的对
称轴是直线x=2，且过点（1,4）和（5,0），求这个函数的解析式。2、已知二次函数的解析式为y=－x2＋x＋2，且x的取
值范围是2≤x≤3，求y的最大值和最小值；已知二次函数的解析式为y=－x2＋x＋2，且x的取值范围是－2≤x≤2，求y的最大
值和最小值.3、有这样一个问题：已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图像经过点A（0，a），B（1,2），，求证
：这个二次函数图像的对称轴是直线x=2.题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。（可将对称轴为x=2看做已知条件）
（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的表达式？若能，写出求解过程；若不能，请说明理由；（2）请你根据已知信息，在原题中的
矩形框内添加一个适当的条件，把原题补充完整。二次函数与一元二次方程关于函数与方程的关系，我们一点也不陌生，在学一次函数的时候接触过
。求函数图像与坐标轴的交点时，要把函数解析式变身为方程。例如，要求函数y=2x－1的图像与x轴的交点，你还记得怎么做吗？首先，
函数图像与x轴的交点肯定在x轴上，它的纵坐标为0；而函数中用来表示纵坐标的字母是y，所以我们得把解析式中的y换成0，这样一次函数就
变成一元一次方程了，即2x－1=0，而这个方程的解x=就是直线与x轴的交点的横坐标。因此，交点坐标就是（，0）。整个过程
最关键的步骤就是把一次函数变成一元一次方程。那如果是求抛物线与x在的交点，还是用同样的方法吗？例如，抛物线的解析式为y=x2＋
2x－3，可以令x2＋2x－3=0，得到一个一元二次方程，解得x1=1，x2=－3，方程有两个根，对应的函数图像与x轴就
有两个交点，分别为（1,0）和（－3,0）。再看函数y=x2－4x＋4，令x2－4x＋4=0，解得x1=x2=
2，有两个相等的根，根相等，对应的两个点就重合了，所以，这时函数图像与x轴只有一个交点。综上所述，二次函数的图像与x轴的交点个数与
一元二次方程有几个根一一对应。Δ=b2－4ac一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的情况二次函数y=ax2＋bx＋c的
图像与x轴的交点个数Δ＞0两个不相等的实数根2个交点Δ＝0两个相等的实数根1个交点Δ＜0没有实数根没有交点例19、请判断下列二次
函数的图像与x轴有几个交点：（1）y=x2（2）y=x2＋4（3）y=3x2－2x＋5（4）y=3x2＋5x－
1（5）y=x2－12x＋36（6）y=x2＋x＋666例20、已知二次函数y=mx2－2x－1的图像与x轴有两个
交点，求m的取值范围。特别注意不要遗漏了m是二次项系数……练习：1、若二次函数y=－2ax2－(3a＋5)x＋a－3的图像与x
轴有两个交点，求a的取值范围。2、已知抛物线y=2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3，当k为何值时，抛物线与x轴相交于两点，相交
于一点，不相交？下面讨论二次函数与一元二次方程相结合的综合题：例21、已知二次函数y=x2＋x－12.（1）求这个二次函数的
图像与x轴的交点的坐标；（2）求以这个二次函数的图像与x轴的两个交点即与y轴的交点为顶点的三角形的面积。解方程易得交点（-4,0）
和（3,0）。求出图像与y轴的交点，x=0时的y的值，画出坐标系和抛物线，构成三角形，求面积。例22、已知一元二次方程7x2
－(k＋13)x－k＋2=0的两个实数根x1，x2满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，求k的取值范围。首先转化成抛物线。令y=
7x2－(k＋13)x－k＋2，有题意，次抛物线与x轴有两个交点（x1，0）和（x2，0），并且满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，且
抛物线开口向上。据此可以画出抛物线的大致图像。观察图像可得：当x=0时，y＞0；当x=1时，y＜0；当x=2时，y
＞0.代入抛物线解析式可得关于k的不等式组，解不等式组可得：－2＜k＜。例23、已知函数表达式为y=x2－4x＋3.（1）
该函数的图像与x轴有几个交点？并求出交点坐标。（2）画出函数的y=x2－4x＋3图像，观察图像，直接写出当y＞0和y＜0时相应
的x的取值范围；y（3）试问：当x为何值时，函数值y为15？此题可以先画出图像，根据图像确定x的取值范围。同时，y＞0也可以理解为
不等式x2－4x＋3＞0，解不等式，求出x的取值范围。xOBA例24、（难度）如图，抛物线y=－x2＋2(m＋1)x＋m＋3
与x轴交于A、B两点，且线段长OA=3OB，求m的值。设B点的坐标为（k，0），有题意，A点的坐标为（－3k，0），因此，k和
－3k是方程－x2＋2(m＋1)x＋m＋3=0的两根。由一元二次方程的根与系数的关系：k＋(－3k)=2(m＋1)，k·(
－3k)=－m－3.两方程连立，消去k得：3m2＋5m=0.解得m1=0，m2=.再判断m的取值是否有限制，
由题意，k＜0，因此k＋(－3k)=2(m＋1)＞0，k·(－3k)=－m－3＜0.解得：m＞－1和m＞－3.因此，
把m2=舍去，最终得：m=0.例25、当m取何值时，二次函数y=(2m－1)x2＋(m＋1)x＋(m－4)的值恒为
正数？由题意，由2m－1＞0，且Δ＜0，解得：m＞5.思路：①如果函数的值恒为正，必须满足“开口向上”且“Δ＜0（即没有交点）”
；②如果函数的值恒为负，必须满足“开口向下”且“Δ＜0（即没有交点）”。例26、已知关于x的函数y=(m＋6)x2＋2(
m－1)x＋m＋1的图像与x轴总有公共点，求m的取值范围。当m＋6=0时，y成为一次函数，始终与x轴有交点。当m＋6≠0时
，y为二次函数，需满足Δ＞0，即m≤.（注意不要遗漏一次函数的情况）。练习：1、已知抛物线y=x2－x－1与x轴的一个交点为
（m，0），则代数式m2－m＋2016=_________；2、已知二次函数y=x2－2mx＋m2＋3（m是常数）.求证
：不论m为何值，该函数的图像与x轴都没有公共点。3、已知二次函数y=kx2＋x＋4不论x取什么数，y总是正数，求k的取值范围。
y4、请判断，当a＞1时，二次函数y=ax2－2ax＋1的图像与x轴是否有交点。C5、如果函数y=ax2－ax＋3x＋1的
图像与x轴有且只有一个公共点，求a的值和公共点的坐标。xBAO6、如图，二次函数y=x2－4x＋3的图像与x轴交于A、B两点，
与y轴交于C点。求△ABC的面积。7、（综合）已知抛物线y=x2＋(k－4)x＋3－3k.（1）试说明，对于每一个实数k，抛物
线都经过x轴上的一个定点；（2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）和B（x2，0），且x1＜x2，yx并且A、B两点分别在原
点两侧，它们之间的距离小于4.求k的取值范围。二次函数图像辨析图像辨析题就是根据给定的函数图像来判断参数的取值范围或者函数的性质
。例如，抛物线y=ax2＋bx＋c的图像如右图所示，你能判断下列几个代数式1-1O的正负：①a；②b；③c；④b2－4
ac；⑤a－b＋c；⑥2a＋b；⑦2a－b.例27、（1）判断：已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点C的纵坐标为－2
，y且c=－1，则有b2=4a.（）P(-1,2)·2-1Ox（2）判断：如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c的一
点P的坐标为（－1，2），则有：b2＋8a＞4ac；（）y-1看到4ac、b2，要联想到顶点坐标。-3Ox（3）判断：如图，抛物
线y=ax2＋bx＋c的对称轴为Ax=-1，且经过点A（-3,0），则有a+b+c=0.（）总结：我们要逐渐熟悉4
a－2b＋c、9a＋3b＋c、4a＋2b＜－c等式子，知道是当x取某值时y的值。例28、已知抛物线y=ax2＋bx＋c的开口
向下，顶点坐标y是（-1,2），请判断结论c－a=2是否成立。利用顶点坐标公式，=－1，=2。将b=2a代入可得。
方法2：也可以把顶点（-1,2）代入抛物线，得a－b＋c=2，再代入b=2a可得。例29、已知抛物线y=ax2＋bx
＋c的图像如图所示，直线x=1为对称轴，Ox321请判断结论3a＋c＞0是否正确。这个题目要判断的结论是一个不等式，因此，我们
要在图中找出不等关系。首先，根据对称轴是x=1，可得b=－2a。图中的不等关系很多，到底使用哪一个，可以逐步尝试。最明显：
抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，因此，有4a＋2b＋c＞0，9a＋3b＋c＜0。将b=－2a代入第二个不等式可得题目的结论
错误。y练习：1、已知抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是直线x=-1，且经过点（2,0），判断结论a－b＋c=－9a
是否正确。xO2、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A、b＜0，c＞0，b2－4
ac＞0B、b＞0，c＞0，b2－4ac＞0C、b＜0，c＞0，b2－4ac＜0D、
b＞0，c＞0，b2－4ac＜0-121yxO3、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数是（
）①a＋b＋c＞0②a－b＋c＜0③4a＋2b＋c=0④b＜0⑤
2a＋b＜0⑥9a＋c＜3bA、3个B、4个C、5个D、6个4、已知
二次函数y=ax2＋bx＋c的图像开口向上，对称轴为x=-1，并且图像与x轴的一个交点在0和1之间。则4a－2b＋c___
___0，9a－3b＋c______0.（填＞、＜或＝）5、已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点的纵坐标为4，且经
过点（1,3），则下列结论中正确的是_______（填序号）。y①4ac－b2＞12a②4ac－b2＜12a③若c=
－1，则b2=－22a④若c=－1，则b2=－20a46、已知二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如右图
所示，下列结论正确的是（）①abc＞0②2a－b＜0③2a＋b＜0④a－b＋c＜0
⑤若c=1，则b2=－10ax-11OA、②④B、①③C、②④⑤D、①③⑤7
、已知抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，顶点坐标为（-1，-2），则c－a=_______。8、（难点）已知抛物线y
=ax2＋bx＋c的图像开口向下，经过点（0,3），与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2，且－1＜x1＜0,1＜x2＜2，则
下列结论正确的是（）A、a＜B、a＞C、a＞3D、a＜3取x=－1和x=2得到两个＜的不等式……
用二次函数解决问题二次函数的应用非常广泛，无论是在实际生活中求最大利润、最大销售量，还是几何中求最大面积、最大周长，还是……12m
其中的核心就是利用二次函数的最值。我们从两个简单的例子中找到一般的方法：例30、有一堵12m长的墙，以墙为一边，用20m长的栅栏
围成一块长方形的花园，面积为yx其面积y和一边的长度x有什么样的函数关系，面积最大能达到多少？A、y=x(20－2x)B、
y=x(20－2x)，0＜x＜10C、y=x(20－2x)，4≤x＜10函数关系式很好列，但是，牵涉到实际问题，我们要注
意研究自变量x的取值范围。x=5y花园的边长必须大于0，就有x＞0且20－2x＞0.那么选项B为什么不对呢？因为这里还有一个坑，
这里的墙不是万里长城，它的长度是12m……所以，还有20－2x≤12，综合起来就是选项C。xO函数解析式为y=－2x2＋20
x（4≤x＜10），画出其图像：你能看出当x5104取何值时，y的值最大吗？①根据二次函数的特性，顶点的纵坐标就是函数的最大值。
即，代入参数，得到50.因此，最大面积就是50m2。②也可以把解析式转化成顶点式y=a(x＋h)2＋k，得到的k就是
最大值。y=－2(x－5)2＋50.顶点式一目了然，可以看出当邻边x=5时，花园的面积最大，并且中最大面积为50m
2。练习：1、从地面垂直向上抛出一个小球，小球的高度y和时间x满足函数式y=－5x2＋10x，过了多少秒后小球离地最高？求小
球离地最高时x的值，其实是顶点的横坐标，……小球最高的高度就是顶点的纵坐标。也可以把横坐标代入解析式……总结一下，我们从这个问题中
提炼出一般的方法。解决最大值问题，可以分为两大步骤：（1）首先，把问题中的数量关系转化成函数关系，并保证自变量的取值范围符合题意；
（2）然后，把求最大值转化成求抛物线顶点的坐标，利用函数的性质和图像解决问题。在计算顶点坐标时，可以直接用顶点坐标公式，也可以把解
析式变身成顶点式。两种方法各有利弊。1、最大利润问题：利润问题牵涉到的数量关系有：利润=收入－成本；总收入=销售单价×销量
；总成本=进货单价×销量。综合起来：总利润=总收入－总成本=销售单价×销量－进货单价×销量=(销售单价－进货单价)
×销量.这个数量关系就是解决最大利润问题的核心：总利润=(销售单价－进货单价)×销量。例31、（1）某商品每件进价30元，
每天销售数量70件，设每件售价x（元），每天销售利润y（元）。求y和x之间的函数关系。各数量对号入座，易得：y=(x－30)×
70=70x－2100.注意要加上x的取值范围：x＞30.（2）如果进价不变，每天销售数量m随售价x而变化，满足m=180－3x（x为正整数），此时y和x的关系？这时销量不是固定为70，把70换成180－3x，有y=(x－30)(180－3x)。特别注意这里x又多了一个限制条件：销量m=180－3x＞0，即x＜60.这时，30＜x＜60.练习：1、某种商品售价是13元，平均每天销量是50件，售价每降低1元，平均每天可以多售出10件。设降价后售价是x元，销量是m件，则m与x之间的函数关系是___________________；2、某商品售价每件为60元，每月可卖出200件。如果每件商品的售价每下调1元，每月可多卖20件。设每件商品降价x元（x是自然数），每月总利润为y元，每件商品进价40元。（1）求y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）每件的售价定为多少元时，每月利润最大？最大月利润是多少元？2、最大(小)面积问题：在实际问题中，二次函数的最值有时并不是在顶点处取到，因为顶点的横坐标可能不在自变量的取值范围之内。P·ADCB例32、某学校想要借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边）。设AB=xm。（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树，与墙CD、AD的距离分别为15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界），求花园面积S的最大值。（1）由题意x(28－x)=192，解得x=12或x=16.（2）S=x(28－x)=－(x－14)2＋196.现在最重要的是求出自变量x的取值范围。要使P点在花园内，x≥6且28－x≥15，所以6≤x≤13.注意这里顶点的横坐标并不在x的取值范围内。由a＜0开口向下，x取值在对称轴左边，此时S随x的增大而增大。所以，当x=13时，S有最大值195m2.练习：1、已知矩形周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y.（1）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时矩形的面积最大？并求出最大值。A3、动点问题中的最值：QPCB例33、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=22cm，BC=20cm.点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以1cm/s的速度运动，P、Q同时出发。（1）求四边形APQC的面积y（cm2）与P、Q的运动时间x（s）之间的函数表达式及自变量x的取值范围。（2）四边形APQC的面积有最小值吗？如果有，求出这个最小值；若没有，请说明理由。1〖初三数学二次函数吴老师〗 |
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