二次函数-提优

第第二讲二次函数（提优）模块精讲二次函数增减性的应用二次函数的增加性是以对称轴为分界点，如果开口向上，对称轴左边……1、给出几个点的横坐标
x的值，比较函数值y的大小。可能你会觉得，很简单，把x的值代入解析式，y的值就出来了，研究增减性……看题吧①如果抛物线开口向上，
与对称轴距离越大，函数值越大。具体到图像上，如果两个点都在对称轴左边……右边……一左一右……②如果抛物线开口向下，与对称轴距离越
小，函数值越大。…………Dx=100例1、若A（91，y1），B（102，y2），C（97，y3），D（110，y4）是抛物线y
=x2－200x＋65536上的四个点。则y1，y2，y3，y4按由小到大的顺序排列为____________________
_。A这个题目如果将x的值代入解析式，计算量很大……x1101029791CB我们画一个图像，做出对称轴。很容易看出A点和C点函数
值的大小，B点和D点……那如果在对称轴的两侧呢？还是要看里对称轴的距离：A：|100－91|=9；B：|100－102|=
2；C：|100－97|=3；D：|100－110|=10.根据该点里对称轴的距离，很容易得出：y2＜y3＜y1＜y4
.总结：比较函数值大小的问题，先画出函数图像就对称轴，图像中那边增那边减一目了然，在对称轴同侧大小就出来了；如果两个点在对称轴的两
侧，就要计算该点与对称轴的距离。例2、已知0＜m＜3，且点A（0，a），B（m＋1，b），C（3,c）都在二次函数y=－x
2－2x＋－2的图像上，则a、b、c按由小到大的顺序排列为_____________________。解析式带了根号，横坐标带了参
数，函数图像很难画了。那我们就比较点到对称轴的距离。先找对称轴，为x=－1.再算距离：A：|0－(－1)|=1；B：|m
＋1－(－1)|=|m＋2|C：|3－(－1)|=|2|B和C带有参数怎么办呢？再找已知条件，有0＜m＜3，所以B的距离2
＜|m＋2|＜5，C的距离1＜|2|＜2。因此，到对称轴的距离：A＜C＜B.由于开口向下，就有：b＜c＜a。2、给定自变量x的
取值范围，求函数的最值：例3、在二次函数y=x2-2x-3中，当-3≤x≤-2时，求y的最大值和最小值。先画草图，抛物线开口
向上，对称轴是x=1，所求的范围在对称轴的左边，这一段是减函数（也就是所y随x的增大而减小）。所以x=－3时，y取最大值12
；当x=－2时，y取最小值5.思路：求函数最值时，一定要注意顶点横坐标是否在x的取值范围内。已知条件和例3相同，如果3≤x≤4时
，y的最大值和最小值是多少呢？如果0≤x≤3时，y的最大值和最小值是多少呢？练习：1、若A（6，y1），B（13，y2），C（1
5，y3）是抛物线y=2x2－48x＋5上的三个点，则y1，y2，y3按由小到大的顺序排列为_________________
____。2、已知3＜m＜6，且点A（m，y1），B（m＋1，y2），C（2,y3）都在二次函数y=x2－2x＋3的图像上，
则y1，y2，y3按由小到大的顺序排列为_____________________。3、已知二次函数y=2x2－4x－7，若－
1≤x≤5，则当x=_______时，y取最小值；当x=_______时，y取最大值；4、已知二次函数y=－2x2＋4
x－5，若－1≤x≤4，则y的最小值是________，y的最大值是_________。3、已知函数的增减性和最值，求参数的取值范
围：x=m例4、若二次函数y=(x－m)2＋1，当x≤1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围。不要直接得出对称轴就是x=
1……x还是先画张草图，开口向上，对称轴为x=m；直线x=1在对称轴左边……右边……重合……综合得：m≥1.练习：当x＞1
时，二次函数y=－x2＋2bx＋c的值随x值的增大而x=1减小，求实数b的取值范围。例5、若y=x2＋(1-a)x＋1是关
于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值。求实数a的取值范围。思路还是画示意图和分类讨论。对称轴在取值
范围1≤x≤3的右边、中间、左边……a≥5练习：1、已知二次函数y=－(x－m)2＋4，当x＞2时，y随x的增大而减小，求
m的取值范围。2、已知二次函数y=－x2＋(a＋3)x－9，当1≤x≤5时，y在x=5时取得最大值，求a的取值范围。y二次函数
对称性的应用ABOx我们知道，二次函数的图像是关于对称轴对称的。如图，图像上有A、B两个点关于对称轴对称，那么，由对称性，这两个点
的纵坐标相等，并且线段AB的中点在对称轴上。反过来，如果抛物线上的两个点的纵坐标相同，也可以得到这两个点关于对称轴对称。例6、若
抛物线与x轴的公共点是（-1,0），（3,0），求这条抛物线的对称轴。我们可以画一个草图，把（-1,0），（3,0）两个公
共点标上，再随便画一条经过这两个点的抛物线，问题迎刃而解。这两个点的纵坐标相同，可得它们关于对称轴对称。问题转化为：知道两个关于对
称轴对称的点的坐标，求对称轴。因此，对称轴一定经过两个点的中点……练习：已知抛物线经过（0,3），（4,3）两个点，求这条抛物
线的对称轴。这两个点不一定要在x轴上，只要满足“纵坐标相等”就可以得出它们关于对称轴对称了。例7、已知抛物线与x轴的一个交点是A
（3,0），对称轴是x=-1，求抛物线与x轴的另一个交点的坐标。根据对称轴，易得。可以推广到更一般的情况：已知抛物线上的点A（
a，c），对称轴是x=m，若点B（b，c）与点A关于对称轴对称，求b。由对称性可知：(a＋b)/2=m，因此，b=2m
－a。总结：①如果抛物线上两个点坐标为（x1，y）和（x2，y），也就是：纵坐标相等，横坐标为x1和x2，则对称轴为：x=
；②如果抛物线的对称轴为x=x1，抛物线上有一点A的横坐标为x2,则A点的对称点B点的横坐标x3=2x1－x
2.练习：1、已知抛物线与x轴的交点是A（2,0）和B（8,0），则抛物线的对称轴为_________________；2、已知
二次函数的图像经过点A（-9,2）和B（-1,2），则该二次函数图像的对称轴为_________________；3、已知抛物线与
x轴的交于A、B两点，对称轴是x=-2，若点B的坐标是（6,0），则点A的坐标是_________。例8、已知二次函数y=
x2＋bx－1，当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2011时的函数值。这个题目可以用解方程的办法
，把x=4和x=2007代入解析式，得42＋4b－1=20072＋2007b－1，解得b的值。但是仔细一看，计算量非常大……再
看题目条件，“函数值相等”→“纵坐标相等”→“关于对称轴对称”，因此，函数图像的对称轴为：x===解得：b=－
2011，函数解析式为y=x2－2011x－1.再将x=2011代入可得：此时函数值为－1.这里，还有一个解决问题的办
法：如果求x=2011的函数值计算复杂，可以先求出x=2011这个点的对称点，再求对称点的函数值，这两个函数值是相等的。由于对称轴
是x=，所以x=2011的对称点是x=×2－2011=0.当x=0时的函数值是y=－1，所以，当x=2011时，
函数值也是－1.总结：①函数值相等→纵坐标相等→关于x轴对称；②两交点A、B的连线AB与x轴平行→纵坐标相等→
关于x轴对称。例9、已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y=ax2＋bx＋3上的两点，且AB∥x轴，求当x=x
1＋x2时的函数值。首先，由AB∥x轴，可得A、B两点纵坐标相等，从而A、B两点对称。则对称轴为，则x=的对称点是：x=
·2－()=0.当x=0时，函数值是y=3；所以，当x=时，函数值也是y=3。例10、已知x=2m＋n
＋2和x=m＋2n时，多项式x2＋4x＋6的值相等，且m－n＋2≠0.求当x=3(m＋n＋1)时，多项式x2＋4x＋6的
值。首先，令y=x2＋4x＋6，“多项式的值相等”就转化为“函数y的值相等”，于是：x=2m＋n＋2和x=m＋2n两点
关于对称轴对称∴对称轴是x==；这时，求x=3(m＋n＋1)的函数值计算复杂，于是我们求出它的对称点：x=×2
－3(m＋n＋1)=－1，当x=－1时，函数值为y=3；∴当x=3(m＋n＋1)时，函数值也是y=3，即多项
式x2＋4x＋6的值是3.练习：1、已知二次函数y=x2－bx＋505，当x=7时的函数值与x=500时的函数值相等，
则x=506时的函数值为____________；2、已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=2x2＋bx＋7上
的两点，且AB∥x轴，若点C也在此函数图像上，且坐标为（x1＋x2，n），求n的值；3、（重点）已知x=3m＋2n和x=2
m＋3n＋1时，多项式x2－6x＋4的值相等，则当x=m＋n＋1时，多项式x2－6x＋4的值是多少。（根据对称轴求出m＋n的
值）二次函数在x轴两交点的距离如果已知二次函数y=ax2＋bx＋c与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点，如何求AB两点
的距离？首先，可知x1，x2，而AB两点的距离可以表示为|AB|=|x1－x2|，我们有|x1－x2|===
这就是AB两点间距离的公式。这个公式还有一种形式：|x1－x2|=例11、（1）求函数y=x2－4x＋2与x轴的两个交
点之间的距离。直接套用公式，可得2（2）若关于x的二次函数y=mx2－(3m－1)x＋2m－2的图像与x轴两交点的距离是2，求
抛物线的解析式。同样套用公式，化简得方程=2，可得等于2或者－2，解得m=1或m=。代入得到解析式为：y=x2
－2x或者y=x2＋2x－。（3）设抛物线y=x2＋px－2p－5的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0
）两点，求△AMB面积的最小值，以及此时抛物线的解析式。三角形可以看做AB为底，高为M点纵坐标的相反数（M点在x轴下方）。高=
，底=|AB|=，面积S=当最小时，S最小。=＋4，当p=－4时，最小，为4。此时，S取最小值1.因
此，当p=－4时，△AMB的面积取最小值1，此时抛物线的解析式为y=x2－4x＋3.练习：1、抛物线y=4x2－3x－
2与x轴交于A、B两点，则AB的长为________；2、若关于x的二次函数y=mx2－(4m－1)x＋3m－3的图像与x轴两
交点的距离是5，则m的值为____________；3、已知抛物线y=－x2＋mx－3m＋12的顶点为C，且与x轴交于A（x1，
0）、B（x2，0）两点，则当△ABC的面积最小时，m的值为________。二次函数恒成立问题所谓“恒成立”，就是“永远成立”的
意思，例如：如果二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的函数值y＞0对于一切x恒成立，那么系数a、b、c满足什么条件？这句话的
意思就是：不管x取什么值，永远有y＞0.…………例12、（1）已知关于x的二次函数y=x2－2kx＋k2－k，若y≥1恒成
立，求k的取值范围。由题意，y≥1也就是y－1≥0，即x2－2kx＋k2－k－1≥0.再由Δ≤0（在x轴上方或有一个交点）求解
k。解得k≤－1.（2）已知关于x的二次函数y1=ax2＋4ax－5a和一次函数y2=2x-2，若对于任意x均有y1≥y2
，求a的取值范围。由y1≥y2，有ax2＋4ax－5a≥2x－2，即ax2＋(4a－2)x－5a＋2≥0，因此，必须a＞0且Δ
≤0.最后得a=1/3.总结：如果恒成立的式子不是y＞0或y＜0的形式，可以通过移项转化。练习：1、若二次函数y=3x
2－4x＋c的函数值y＞0对于一切x恒成立，则c的取值范围是_________________；2、已知关于x的二次函数y=x
2－2kx＋k2＋3k，若y≥-5恒成立，则k的取值范围是________________；3、已知关于x的二次函数y1=ax
2＋2ax－8a和一次函数y2=2x＋8，若对于任意x均有y1≤y2，求a的取值范围。二次函数综合问题（初步）首先，我们需要解
决基础知识，抛物线与直线、圆等相交时，求交点的坐标：（1）求函数y=x2－7x＋3与函数y=2x－5的交点坐标；（2）若函
数y=x2－6x＋c与函数y=－x＋2的图像只有一个交点，求c；（3）已知抛物线y=－x2＋bx＋c（c＞0）过点A（－
1，0），且与直线y=7－2x只有一个交点，求抛物线的解析式。例13、如图，已知抛物线y=k(x+2)(x-4)与x轴的
交点为A、B，与y轴的交点为C，经过点B的直线y=-x+b与抛物线的另一个交点为D。若点D的横坐标为x=-4，（1）求这个
一次函数与抛物线的解析式；（2）垂直于x轴的直线m在线段AB间左右移动，且它与直线BD和抛物线分别交于点E、F。求当m移动到什么位
置时，EF的值最大，最大值是多少？易得D坐标为（-4,4），b=2，k=1/4.最大值为4.例14、（讲解）如图，已
知直线l：y=x+3和抛物线y=x2，若抛物线沿x轴左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P。若平移后的抛物线C与y轴交
于点E，与直线l交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式。由题意，可设平移后的抛物线C：
y=，则E为（0，）；再由EF∥x轴，得E、F关于对称轴x=-m对称，则F为（-2m，）；把F的坐标代入直线方程，解得m
=或者-3。可得抛物线C的解析式。练习：1、已知抛物线y=k(x+1)(x-3)与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，经
过点B的直线y=与抛物线的另一个交点为D。已知点D横坐标为x=-2。若线段BD上有一动点E，过E作EF∥y轴交抛物线与点F
。求线段EF长度的最大值。2、将抛物线y=沿y轴进行上下平移，平移后的抛物线与x轴交于M、N两点（M点在N点左侧），当MN=
4时，求此时抛物线的顶点坐标。3、已知直线l：y=x＋，若将抛物线y=沿x轴进行左右平移，平移后的抛物线与y轴交于点E，
与直线l交于两点，其中一个交点是F。求当EF∥x轴时，平移后的抛物线的解析式。例15、（讲解）已知在平面直角坐标系中，直线y=
x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2＋bx＋c经过A、B两点，并交x轴正半轴于点C，且AB=AC.（1）
求抛物线的解析式；（2）∠BAC的角平分线交y轴于点D，动点P从A点出发，沿射线AD运动，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q。设点P
的横坐标为m，线段PQ的长度为d，求d与m的函数关系式。易得A、B、C的坐标，求出抛物线解析式：y=；连BC，交AD于E，由三
线合一，E是BC的中点，由中点坐标公式，E（2，4）。直线AD：y=x＋3.线段PQ有两种情况，求分界点，即直线和抛物线的交
点坐标，为（，），综上，d=（-6≤m≤）（m＞）练习：1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋6与x轴
交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2＋bx＋c经过A、B两点，并交x轴正半轴于点C，且AB=AC.（1）求抛物线的解
析式；（2）∠BAC的角平分线交y轴于点D，动点P从A点出发，沿射线AD运动，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q。设点P的横坐标为m
，线段PQ的长度为d，求d与m的函数关系式。d=（-8≤m≤）（m＞）二次函数与几何综合题例16、（讲解）已知抛物线与
x轴交于点A（-1,0）、B（2,0）两点，与y轴交于点C（0，-2）（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA
=PC，求OP的长。代几综合题的关键是：把几何语言转化成代数表达式。最后得3/2.还有，两点间距离公式在代几综合题中经常用到。
思路：设点的坐标→将“几何关系”转化成“代数方程”→解方程例17、（讲解）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
x2-4x-5与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。点M是线段AB上任意一点，过点M（a，0）作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C
，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D（C、D不重合），点P是线段MC上一点，连接CD、BD、PD，（1）当a=1时，问点P在什
么位置，能使得PD⊥BD；（2）若点P满足MP=MC，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD。若
存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。（重点，典型）首先，表示出各点的坐标：A（-1，0），B（5，0），C（a，a2－4a
－5），D（4－a，a2－4a－5）。其中，－1≤a≤5且a≠2；设P点为（a，p），（1）a=1时，B（5，0），D（3，－
8），P（1，p）并且－8≤p≤0.思路：“垂直→直角→直角三角形→勾股定理”，有PB2=PD2＋BD2，即有p=－1
5/2.且满足取值范围。（2）由题意，P为（a，），C、D不变，设E点坐标为（e，0），这时如果用两点间距离公式计算复杂……找
别的思路：再找几何关系。易得：△PCD≌△BMP，MP=CD，MP=，CD的长度要分C点在对称轴左边和右边两种情况：①
左边，－1≤a＜2，CD=4－2a，解方程a=1；∴M（1，0），P（1，－2），C（1，－8），∴PC=6，由P
C=ME，E点坐标为（7，0）；②右边，a=3，E（－3，0）。练习：1、已知抛物线与x轴交于点A（-4,0）、B（2
,0）两点，与y轴交于点C（0，4）（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴负半轴上，且PB=PC，求OP的长。2、（例17
练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。点M是线段AB上任意一点，过点
M（m，0）作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D（C、D不重合），点P是线段MC上一点，连接CD
、AD、PD、PA，（1）当m=2时，问点P在什么位置，能使得PD⊥BD；（2）若点P满足MP=MC，作PE⊥PD交x轴
于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD。若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。（1）P（2，-17/3）；（2
）E（1，0）或E（2，0）。二次函数与几何面积例18、（讲解）已知二次函数y1=-x2+bx+c的顶点M在直线y2=+1
上，其图像与x轴交于A、B两点，且S△ABM=8，求二次函数的解析式。利用条件“△ABM”的面积，底AB可用第三节“二次函数与
x轴两交点的距离公式”，高是M点的纵坐标。可设顶点M（h，+1），已知二次函数a=-1，设为y=－(x－h)2＋＋1∴Δ
=2h＋4，底为|x1－x2|==，根据S△ABM的面积得方程：··(＋1)=8.解这个方程要用到换元法：设
=t，则＋1=(2h＋4)=t2，代入方程，t=4，h=6.因此，二次函数的解析式为：y=－x2＋1
2x－32.例19、（讲解）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-3x的图像与x轴相交于O、A（3,0）两点.（1）在这
条抛物线的对称轴右边的图像上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（2）点P在直线OB下方的抛物线上，P在什么位置能使△
POB的面积最大，最大面积又是多少？（1）设B点坐标为（m，m2－3m），m＞。△AOB的底边为3，高为|m2－3m|，
注意B点可能在x轴下方……易得|m2－3m|=4，这时要分类讨论，m2－3m=4时，m=－1(舍去)或m=
4.m2－3m=－4时，无解。因此，m=4.总结：①在坐标平面中表示距离时，要判断表示的式子是否可能为负，如果是
，需要加||并分类讨论；②如果题目中有限定点的位置的条件，例如“对称轴右边”，在设字母时把取值范围得出，以备后用。（2
）设P点坐标为（m，m2－3m），0＜m＜4.这时，可以用割补法把△POB的面积用m表示出来，但是计算量巨大……设直线l平行于
OB，把OB看做底，l到OB的距离就是高，当直线l与抛物线只有一个交点时，高最大。l易得直线OB：y=x，设直线l为：y=
x＋k。求交点：x2－3x=x＋k，当Δ=(－4)2＋4k=0时，只有一个交点，∴k=－4.代入交点方程，解得
x=2，即交点P为（2，－2）.这时，再用割补法，可以求得最大面积为8.练习：1、（例18习题）如图，已知二次函数y=
-2x2+bx+c的顶点M在直线y=x+1上运动，其图像与x轴交于A、B两点，且S△ABM=2.（1）若设点M的横坐标为h
，则点M的纵坐标为________，二次函数用顶点式表示为_______________________，此时AB的长度可以表示为
______________；（2）若以AB为底，△ABM的高为___________________，根据S△ABM=2可以
建立的方程是__________________________，解得h的值为_____________，最终得二次函数的解析式为
______________________________。2、（例19习题）二次函数y=(x+1)(x-3)的图像与x轴相
交于A、B两点。在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点M，使△MAB的面积等于6，（1）若设点M的横坐标为m，则M点的坐标可以表示
为（m，______________），其中m的取值范围是____________；（2）若以AB为底，AB的长度为_______
，△MAB的高表示为_________________；结合△MAB的面积等于6，解得M点的坐标为_______________或
_______________.（3）设点N为（4，5）在抛物线上，点P在直线AN下方的抛物线上，连接PA、PN，则△APN的面积
的最大时，P点的坐标为______________，面积的最大值为_________________。M（1＋，3）或（2，－3）
，P（3/2，-15/4）二次函数与构造图形（函数与线段综合问题）1、等腰三角形例20、（讲解）已知二次函数y=3x2-6x
，顶点为A，点Q在x轴运动，求出所有使△AOQ为等腰三角形的点Q的坐标。易得A（1，-3），设Q为（t，0），则AQ=，AO
=，OQ=|t|.如图，有三种情况，第三种还有两种可能：①AQ=OQ，t=5，Q（5，0）；②AO=A
Q，t=0（舍去）或t=2，Q（2，0）；③AO=OQ，t=±，Q（，0）或Q（－，0）。例21、如图，已知二
次函数y1=ax2-2ax+a+3(a＞0)和二次函数y2=-a(x+1)2+1(a＞0)图像的顶点分别为M、N，且y2与
x轴的右交点为A（m，0）,当△AMN为等腰三角形时，求方程-a(x+1)2+1=0的解。题目所求的方程就是y2，要求的解就
是y2与x轴的两个交点。易得M（1，3）、N（－1，1）.A为（m，0）且m＞－1.AM=，AN=，MN=2.①
AM=AN，m=2，A为（2，0），对称点为（－4，0），∴x1=2，x2=－4；②AN=MN，m=
－1＋或者m=－1－（舍去），A为（－1，0），∴x1=－1＋，x2=－1－；③AM=MN，无解。思路：求坐
标、设坐标→分类讨论，列方程→解方程→检验注意：构造三角形时，遇到三个顶点共线或者重合的情况要舍去。2、直
角三角形①构造等腰三角形：有三种情况，a=b，b=c，a=c，用距离公式列方程；②构造直角三角形：有三种情况，∠A
=90°，∠B=90°，∠C=90°，用勾股定理列方程。例22、如图，已知抛物线y=x2+2x-3与x轴左交点为
A，顶点为B，在y轴上是否存在点M，使得△ABM为直角三角形？若存在，求点M坐标；若不存在，请说明理由。易得A（－3，0），B（－
1，－4），三个角都可能是直角。设M点为（0，t）（1）∠A=90°时，AB2＋AM2=BM2，t=3/2；（2）∠B
=90°时，t=-7/2；（3）∠C=90°时，t=-1或-3.例23、如图，已知抛物线y=x2-4x+3与
x轴交于A、B两点（A在B右侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动，过点P作PD∥y轴，交AC于点D
。当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标。易得A、B、C三点坐标，设P为（t，t2－4t＋3），求出D（t，－t＋3）.有AD2
=(t－3)2＋(－t＋3)2AP2=(t－3)2＋(t2－4t＋3)2DP2=0＋(t2－3t)2平方不能乘
开，会出现t4，求解麻烦……需要观察这三个式子有AD2=(t－3)2＋(－t＋3)2=2(t－3)2AP2=(t－
3)2＋(t2－4t＋3)2=(t－3)2＋[(t－3)(t－1)]2=(t－3)2(t2－2t＋2)DP2=0＋(
t2－3t)2=t2(t－3)2①AD2＋AP2=DP2，2(t－3)2＋(t－3)2(t2－2t＋2)=t
2(t－3)2，∴(t－3)2(t2－2t＋2＋2－t2)=(t－3)2(－2t＋4)=0，即t=3或t=2。
t=3时A、P、D三点重合，需舍去。∴t=2；②∠PDA=90°，不存在，舍去；③∠APD=90°，t
=1.综上，P（2，－1）或P（1，0）。练习：1、（例22习题）、如图，已知抛物线y=x2＋4x与x轴左交点为A，
顶点为B，点P在y轴上运动，当△ABP是直角三角形时，（1）下列说法正确的是（）①有可能∠A=90°；②有可能∠B=
90°；③有可能∠P=90°；④抛物线顶点B的坐标为（－2，－3）.A、①②③B、①②③④C、②③④
D、①②（2）设点P的坐标为（0，t），当△ABP是直角三角形时，下列说法正确的是（）①AB2=20；②AP2
=t2＋4;③BP2=(t－4)2＋4;④根据△ABP是直角三角形的条件，可列出3个方程。A、①②④B、①②③④
C、①③④D、①④（3）解得点P的坐标是（）①（0,0）②（0,1）③（0,2）④（0，）⑤
（0，－3）⑥（0，）A、③⑤B、②⑤C、②④⑤⑥D、③④⑤⑥2、（例23习题）（1）（2）设
点P的横坐标为t，当△BDP为直角三角形时，下列说法正确的是（）（3）解得点P的坐标是（）A、②⑥B
、②③⑥C、①②⑤D、②③④⑥AA3、平行四边形例24、如图，抛物线y=1与x轴分别交于A、B两点，一动点P在抛物线
上，一动点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。首先要注意：①平行四边形ABPQ：四个顶点的顺
序已给出；②以A、B、P、Q为顶点的平行四边形：顺序不固定，有多种情况。构造图形时，等腰三角形→AB=AC；直角三角形→勾股
定理；平行四边形→判定：对角线互相平分。根据对角线，可能有三种情况：①以AB为对角线；②以AQ为对角线；③以AP为对角线。
解决方案：对角线互相平分→两条对角线的中点是同一个点→中点坐标公式：=设P（t，），Q（0，s）。注意题目只要求P点的坐标，
所以，求出t就够了，不用管s。①以AB、PQ为对角线：A、B的中点坐标为（1，0），P、Q的中点坐标为（，），不管纵坐标，由横坐
标t/2=1，即得：t=2，P点坐标为（2，－1）；②以AQ、BP为对角线：A、Q的中点坐标为（，），B、P的中点坐标
为（，），有=，t=－4，∴P（－4，7）；③以AP、BQ为对角线：A、P的中点坐标为（，），B、Q的中点坐标为（
，），有=，t=4，∴P（4，）。综上，满足条件的点P为（2，－1），（－4，7），（4，）。最后，需要检验P点是否和
A、B两点在同一条直线上，如果是，不能构成平行四边形。另外，②③只要看图像，也很容易得出P点的横坐标。如果用两点距离公式计算复杂
，用中点坐标公式较简单。练习：请求出三种情况下P点的坐标。二次函数与一次函数的交点坐标例25、（1）（2）（3）思路：①求两个
函数图像的交点时，把两个解析式联立方程组，解方程组即得交点坐标。②联立后的方程：Δ＞0，有两个交点；Δ=0，有一个交点；Δ＜0
，没有交点。找点构成直角或等角（函数与角综合问题）解决方案：几何语言→代数语言，把几何关系转化成代数方程，再求解。例26、（1
）设A（a，a2），B（b，b2），且a＜0，b＞0.由于∠AOB=90°，可想到“过A、B作x轴的垂线”，得到相似的直角三角
形，利用相似比可得：a·b=－1。另外，也可用斜率，直线OB，k1=b，直线OA，k2=a.由AO⊥BO，k1·
k2=－1，即a·b=－1。（2）思路：等角→等腰，角度关系→线段关系。因此，需求出直线AB与y轴的交点D，再利用DP
=DC。设直线AB为y=kx＋m，则D点坐标为（0，m）。方法1：有a2=ka＋m，b2=kb＋m，目标消掉k。a2
b=kab＋mb，ab2=kab＋ma，作差得：ab(a－b)=－(a－b)m。由于a－b≠0，∴m=－ab=
1。因此，D（0，1）。方法2：直线AB与抛物线交于A、B两点。kx＋m=x2，由韦达定理：x1x2=－m，即ab=
－m，∴m=1。注意：（1）中的结果“a·b=－1”是为（2）作铺垫的！再设P（p，－2p－2），由PD=3，
解得：p=0(舍去)或p=。因此，P（，）。练习：请求出P点的坐标。A，P（-3/2，5/2）二次函数中的将军饮马
先看两个简单的应用：（利用二次函数找到定点坐标和“河”的解析式，然后是无脑对称、无脑计算）例27、（1）已知抛物线与x轴交于A、
B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC最小，求点P的坐标。（2）如图，抛物线与直线y=
x－2交于A、B两点（点A在点B的左侧），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动
到点B。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短路径的长。例28、线段差最大解决方案：三角形两边之差大于第三边
。直线BC：y=x＋30；M（6，15）。二次函数中的几何最值例29、易得：m=1，y=－x2＋4。又A（－2，
0），B（0，4），A′（n－2，0），E′（n，1）由A′B2＋BE′2=2n2－4n＋29，最小时，n=1.
E′（1，1）。例30易得：y=－x2－2x＋3，AD：y=2x＋6.设P（p，2p＋6），－3＜p＜－1，S=
－p2－3p，因此，当p=时，S最大，为。练习：已知抛物线y=ax2－2ax－3与x轴交于A、B两点，顶点为C，过点
A的直线交抛物线于另一点D（2，－3），AD=3.P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线与点E。求线段PE长度的
最大值。有的几何问题，运用“几何语言→代数语言”的方法行不通，或者计算复杂。例如“将军饮马问题”，这时我们转换思路，用几何方
法，例如“对称”、“平移”等。例31（难点）首先，y=－2x2＋4x＋1，A为顶点，所用时间最短，即线段和“＋EF”最小。为了
解决，构造如图所示的等腰直角三角形，则=DF，问题转化为：DF＋EF的最小值。如图，当D、F、E在同一条直线上时，DF＋
EF最小。此时，F为（1，1）。二次函数中的动点问题动点问题的解决方案：把运动转换成线段长和动点坐标。例32将运动→线段长和动点坐标：AD=t，OD=2－t，BE=t，OE=2－t=(2－t)，并且有：D（2－t，0），E（0，2－t）。其中：0≤t≤2。（1）先证ADEF为平行四边形，EF∥AD，易得，∠OED=∠OBA=30°，∴DE∥AF，得证。由菱形可得：AD=DE。DE=2OD=2(2－t)=t，即可得：t=4/3。DE的长度也可用两点距离公式来求。（2）首先，只能是∠FAG为直角。可表示出F、G的坐标，用勾股定理，较麻烦。在Rt△AFG中，∠GFA=∠BAO=60°，∴GF=2AF=2DE，有4－t=8－4t，因此，t=4/3。练习：过Q作QN⊥PM，则QN=1。P（t，t－3），Q（t，t2－2t－3），∴|PM|=，S=|－t2＋3t|，t≠0，3。例33(经典）首先，为保证△QFG存在，t≠0.设P（t，0），Q在两条线段上运动，需分类讨论。0＜t≤8时，Q（0，t）；8＜t≤10时，Q（18－t，8）.易得：F（t，t），G（t，t）（1）当0＜t≤8时，Q（0，t）。FG=t，h=10－t，∴S=t2＋t；（2）当8＜t≤10时，Q（18－t，8）。同样有：FG=t，h=|t－(18－t)|=|2t－18|，这时需要再分两种情况：Q可能在FG的左侧和右侧。①当8＜t＜9时，h=18－2t，S=t2t；②当9＜t≤10时，h=2t－18，S=t2－t；③当t=9时，Q在直线FG上，△QFG不存在，需排除掉。根据图像求参数取值范围例34讲解顶点（5/2，-9/4），9/4＜n＜15/4例35-3＜b＜1练习（1）（2）b（-2/3，2）此类问题的特点：一个不确定的函数图像，按照一定的规律运动，根据运动的特点和限制条件来求参数的取值范围。解题思路：根据限制条件找到几个极限位置，求出对应的参数值。例35加强版：去掉“b＜1”这个限制条件b＞13/4或-3＜b＜1练习AA—完—15〖初三数学二次函数（提优）吴老师〗