专题1：九年级上期末复习（2018.1.7整理）1、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D
作⊙O的切线DF，交AC于点F.（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.1（1）
连OD、AD，易得OD∥AC；（2）由题意可得∠C=∠ABC=67.5°，∴∠BAC=45°，连OE，有∠AOE=
90°，阴影部分可由扇形减去三角形得到。2、已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB=30°
，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q，(1)当点P，运动到Q、C两点重合时(如图1)，求AP的长。(2)点运动过程中，有
几个位置(几种情况)使△CQD的面积为?(直接写出答案)(3)当使△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ＞QD
时(如图2)，求AP的长。图1图22（1）此时PC与圆O相切，PC⊥AD。由于CO=B0=1，∠DAB=30°，∴AO
=2，AC=1，∴AP=AC=.（2）CD=2，高为，4个点。（3）连OQ，此时∠DOQ=30°，∴∠COQ
=150°，∴∠QCO=15°=∠ACP。作CH⊥AB与H，则∠CPH=45°，∴PH=CH=，∴AP=
AH－PH=－=。3、如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，
AC∥BF．(1)若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；(2)若tan∠F＝，CD＝a，请用a表示⊙O的半径；(3)求
证：GF2－GB2＝DF·GF．3（1）∵∠FGB＝∠FBG=∠CGA，又AC∥BF，∴∠C=∠F，∴∠CAG=∠CGA。
∴∠FBO=∠FBG＋∠ABO=∠CGA＋BAO=90°（∵OA⊥CD，∴∠AEG=90°）∴BF与⊙O相切。（2）
∵∠C=∠F，∴tan∠C＝，在△ACE中，CE=a/2，∴AE=。设半径为r，在△CEO中，有=r2，解得：
r=a.（3）∵AC∥BF，GF/GB=GC/GA，又根据相交弦定理，GD·GC=GA·GB，即GC/GA=GB/
GD，两式联立，有GF/GB=GB/GD，即GB2=GF·GD，因此，GF2－GB2＝GF2－GF·GD=GF·(GF
－GD)=GF·DF，得证。4、如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）
和B两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=（k≠0）的值时，写出自变量
x的取值范围．4（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5得：n=4，再将A（1,4）代入y=，得：k=4，所以反比例函数为
y=.（2）可求出B点坐标为（4,1），满足条件的x的范围是：1＜x＜4.5、如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别
以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象
经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理
由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5（1）∵△EOA的面积为
2，OA=3，∴EA=，∴E点坐标为（3，），∴k=4；（2）设D点坐标为（m，5），其中0＜m＜3.则有CD=
m，DB=3－m。将D（m，5）代入反比例函数，得k=5m，∴反比例函数为y=，∴E点坐标为（3，），∴BE=
5－。因此，=1－，=1－，∴=，∴DE∥CA。（3）如右图，点B关于DE的对称点在OC上，为B′，则有BD=
B′D，BE=B′E，∠DB′E=90°.设D点坐标为（m，5），则CD=m，BD=3－m，BE=B′E=
5－。作EH⊥OC于H，∵∠DB′E=90°，易得△CDB′∽△HB′E，∴HE/B′E=B′C/B′D，即3/(
5－)=B′C/(3－m)，解得B′C=。在△CDB′中，由勾股定理，m2＋=(3－m)2，解得：m=。所以，
D点坐标为（，5）。6、如图，二次函数y＝ax2＋x＋c（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（－1，0）
，点C(0，2)．(1)求抛物线的函数解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；(2)若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，①当
四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；②若E为BC的中点，DE的延长线交线段AB于点F，当△BEF为钝角三角形时，请直接写出点
D的横坐标x的范围．6（1）代入A、C坐标可得：a=，c=2.∴抛物线解析式为，顶点坐标为（，）。（2）①∵△OCB固
定，即求△DCB面积最大，即D到直线BC的距离最大。B点为（4,0），∴直线BC为：.过点D的直线l与抛物线相切时距离最大，设直线
l为，与抛物线联立，Δ=0，可得：b=4。可得直线BC解析式，及交点D的坐标为（2，3）。②可得E点坐标为（2，1）
，第一种情况，当DF⊥BC时，由相似，BE/BF=OB/BC，∴BF=5/2，F点坐标为（3/2，0），∴直线EF为：y=
2x－3，与抛物线联立，交点D的坐标为（，－4），∴当0＜y＜－4，满足要求。第二种情况：当D点的0＜x＜2也满足要求，此时2＜y
＜。综上，当0＜y＜时都满足要求。7、如图，在平面直角坐标系Oxy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB
＝5，sinB＝．(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式．(2)记直线AB的解析式为y1＝mx＋n，(1)中抛物线的解析式为y2
＝ax2＋bx＋c，求当y1点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．7（1）∵CD=5，sinD=sinB，∴
CO=4，DO=3，∴C点坐标为（0,4），D（3,0），A（－2,0）∴抛物线的解析式为：.（2）B点坐标为（－5
,4），直线AB的解析式为：.与抛物线联立，得交点坐标为：（－2,0）和（5，）因此，当y1＜x＜5。（3）E点坐标为（5，），可得E点在直线AB上，∴直线AE的解析式也是：。设过P点的直线l平行于直线AE，△PAE看
做以AE为底，直线l和直线AB间的距离为高。当直线l与抛物线相切时（切点为P），高最大，此时只有一个交点。设直线l为，与抛物线解
析式联立，只有一个交点，Δ=0，解得：b=.交点P为（，）.因此，直线l和直线AB间的距离为，又AE=，∴最大面积为。
1、如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB(1)求证：AT是⊙O的切线(2)连接OT交⊙O于点C，连接AC，求t
an∠TAC的值1（1）易得∠BAT=90°，即OA⊥AT，因此，AT是⊙O的切线。（2）作CH⊥AT于H，设OA=OC
=r，则AT=2r，OT=r，由CH/OA=CT/OT，即=，∴CH=r。又TH=2CH=r，∴A
H=AT－TH=r，因此，tan∠TAC==。2、如图，为⊙O的直径，是延长线上一点，切⊙O于点，是⊙O的弦，，垂
足为．（1）求证：；（2）过点作交⊙O于点，交于点，连接．若，，求的长．2（1）连CO，有∠PCA＋∠ACO=90°，又∠AB
C＋∠CAO=90°，且∠ACO=∠CAO，∴∠PCA=∠ABC。（2）∵AE∥PC，∴∠PCA=∠EAC，∴∠A
BC=∠EAC，∴==，∴∠CAE=∠ACG，∴AF=CF=5。再由sin∠P=sin∠FAD=3
/5，∴FD=3，AD=4。∴CD=3＋5=8，由射影定理，CD2=AD·BD，∴BD=16，∴圆的直径A
B=20.在△ABE中，sin∠EAB=3/5，AB=20，∴BE=12。3、如图是函数y=与函数y=
在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于
点D．（1）求证：D是BP的中点；（2）求出四边形ODPC的面积．3（1）设P点坐标为（p，），则BP=p。又D点纵坐标也是，
代入可得D点横坐标为，即BD=，因此，BD=DP，即D是BP的中点。（2）可得C点坐标为（p，），∴AC=CP=
，因此，四边形ODPC的面积为：p·－··－·p·=3。4、如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）、B（2，0）、O（0
，0），反比例函数y=图象经过点A．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判
断点D是否在该反比例函数的图象上？4（1）k=·1=。（2）由A点坐标可得：∠AOB=30°，∴旋转后A点落在y轴上
。∴∠DOB=60°，△ODB等边，可得D点坐标为（1，）。因此，D点在反比例函数y=的图像上。5已知二次函数y＝ax2＋
bx＋c(a≠0)的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C（0，－2）；直线x＝m(m＞2)与x轴交于点D．(1)求二次函数的
解析式；(2)在直线x＝m(m＞2)上有一点E(点E在第四象限)，使得以E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，
求E点坐标（用含m的代数式表示）；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求
出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．5（1）y=－x2＋3x－2；（2）设E点坐标为（m，n），n＜0，①
当DE/DB=AO/OC时，有=，解得：n=1－；②当DB/DE=AO/OC时，有=，解得：n=4－2
m。综上，E点的坐标为（m，1－）或者（m，4－2m）。（3）①当E点坐标为（m，1－）时，构成平行四边形时，有F点为（m－1，
1－），代入抛物线解析式，可解得m=或m=2（舍去），此时，E点为（，），四边形ABEF的面积为；②当E点坐标为（m，4
－2m）时，构成平行四边形时，有F点为（m－1，4－2m），代入抛物线解析式，可解得m=2（舍去）或m=5，此时，E点为（
5，），四边形ABEF的面积为6。6、如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D
在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单
位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；（2
）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；（4）若F
、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周
长最小值．6（1）易得B（6,0），D（3,3），C（9,3）。抛物线的解析式为：.（2）∵∠DAB=60°，ABCD为菱形，∴
∠CDB=60°，∴当PQ⊥DB时，∠PQB=30°；设P点坐标为（3＋2t，3），Q点坐标为（－t，0），∴3＋2t＋t
=·3，解得t=2。（3）易得直线AD的解析式为：y=x，①当0＜t≤3时，P点在线段DC上运动，易得△QAE∽△PD
E，∴DP/QA=DE/AE，其中，DP=2t，QA=t，∴DE=2AE，又DA=6，∴AE=2。因此，
当0＜t≤3时，y=2；②当3＜t＜6时，P点在线段CB上运动，易得△QAE∽△QBP，∴QA/QB=AE/BP，其中
，QA=t，QB=t＋6，AE=y，BP=12－2t，∴，因此，y=；综上，y=2，0＜t≤3，y=
，3＜t≤6。（4）作F点关于直线DB的对称点F′，作G点关于抛物线对称轴的对称点G′，则线段F′G′的长度就是四边形FMNG
周长的最小值。求得F′G′=，所以，四边形FMNG周长的最小值为。1、如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴
交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(-1，0).则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a-2b+c＜0；
③ac＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞2.其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个B①②2、如图，已知抛物线
y＝x2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（
2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一
点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．2（1）；（2）设E点的横坐标为k，0＜k＜2，并求得直
线AC解析式为y=x－1，因此E点纵坐标为k－1。∴线段DE的长度为1－k，△DCE的面积S为·(1－k)·k，当k=1时
，S取最大值。此时，D点的坐标为（1，0）。（3）直线BC的解析式为y=－x－1，设P点坐标为（p，－p－1）：①AC=
PC，此时AC=，PC=p或者－p，∴p=或者，P点坐标为（，）或者（，）；②AC=AP，此时AP2=(－
p－1)2＋(2－P)2=5，解得p=1或者0（舍去），∴P点坐标为（1，－2）；③AP=PC，此时AP2=(－
p－1)2＋(2－P)2，PC2=p2＋(－p－1＋1)2，解得p=，P点坐标为（，）综上，P点的坐标为（，）或者（，
）或者（1，－2）或者（，）。3、如图，抛物线y=ax2+bx+2,与x轴交于点A（3,0），B（6,0），与y轴交于点C，（1
）求抛物线的解析式（2）设P（x,y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ//y轴交直线BC与点Q，①当x为何值时，线段
PQ的长度取最大值，最大值是多少？②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由。3（1
）；（2）设P点坐标为（p，），且0＜p＜6.求得直线BC的解析式为，①可得Q点坐标为（p，），∴线段PQ的长度为，整理得
，当p=3时，线段PQ的长度取最大值，最大值是1；②首先，当∠OAQ是直角时，P点坐标为（3,0）；其次，当∠OQA是直角时
，作QH⊥OA于H，由射影定理QH2=OH·AH，解得p=或者p=，所以，此时P点坐标为……4、如图，已知直线AB
：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k=时，在直线
AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．4（
1）C（－2，4）；（2）直线AB的解析式为，联立抛物线可得A点坐标为（－3，），B点为（2，2）。设P点坐标为（p，），其中－
3＜p＜2。过P作PQ∥y轴，交AB为Q，则Q点坐标为（p，），∴线段PQ=，以PQ为底，△ABP分为两个三角形△APQ和
△BPQ，高分别为p－(－3)=p＋3和2－p，因此有：·（p＋3＋2－p）=5，解得p=－2或p=1。所以，
满足条件的P点坐标为（－2，2）或者（1，）。（3）未求出。5、如图，已知抛物线y＝与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是_________，b＝_______，c＝_________；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．5（1）C（0，－3），b=，c=－3；（2）可求得B点坐标为（4，0），Q点坐标为（4t，0）。根据△BPH∽△BCO，和PB=5t，可得BH=4t，所以，QH=4－4t－4t=4－8t。（3）首先，PH=3t，①当PH/QH=OQ/OC时，有3t/(4－8t)=4t/3，解得：t=；②当QH/PH=OQ/OC时，有(4－8t)/3t=4t/3，解得：t=或者（舍去）；综上，满足条件的t的值为或者。 |
|
