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章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()
A.B.
C. D．1＋
C[∵cos75°＝sin15°，∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋×＝.]
2．化简cos2－sin2得()
A．sin2α B．－sin2α
C．cos2α D．－cos2α
A[原式＝cos2＝cos＝sin2α.]
3．若sinx·tanx<0，则等于()
A.cosx B．－cosx
C.sinx D．－sinx
B[因为sinx·tanx<0，所以x为第二、三象限角，所以cosx<0，所以＝＝|cosx|
＝－cosx．]
4．若tanα＝2，则2cos2α＋3sin2α－sin2α的值为()
A. B．－
C．5 D．－
A[2cos2α＋3sin2α－sin2α＝2cos2α＋6sinαcosα－3sin2α＝＝＝.故选A.]
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α的值为()
A．－ B.
C. D．－
A[tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－.]
6．函数f(x)＝sinx－cos的值域为()
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D.
B[f(x)＝sinx－
＝sinx－cosx＋sinx＝
＝sin，∵x∈R，∴x－∈R，∴f(x)∈[－，]．]
7．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为()
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C[在△ABC中，tan＝sinC＝sin(A＋B)＝2sincos，∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，即△ABC为直角三角形．]
8．函数f(x)＝(1－cos2x)cos2x，x∈R，设f(x)的最大值是A，最小正周期为T，则f(AT)的值等于()
A. B.
C．1 D．0
B[原式＝－cos4x，所以最大值是A＝，T＝，所以f(AT)＝f＝.]
9．已知tanα和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是()
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b D．c＝ab
C[由根与系数的关系得：tanα＋tan＝－，tanαtan＝，tan
＝
＝＝1，得c＝a＋b.]
10．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin等于()
A．－ B．－
C. D.
B[∵a⊥b，∴a·b＝4sin＋4cosα－＝0，即2sinα＋6cosα＝，即sinα＋cosα＝，sin
＝sinαcos＋cosαsin
＝－sinα－cosα
＝－(sinα＋cosα)
＝－×＝－.]
11．若ω≠0，函数f(x)＝图象的相邻两个对称中心之间的距离是，则ω的值是()
A. B．±2
C．2 D．±1
D[f(x)＝＝＝tan，由题意知函数f(x)的周期为×2＝π，所以＝π，所以ω＝±1.]
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sinαsin＋cosαcos＝，则角β＝()
A. B.C.
D.
D[∵P(1,4)，∴|OP|＝7，∴sinα＝，cosα＝.又sinαcosβ－cosαsinβ＝，∴sin(α－β)＝.∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.∵0<β<，∴β＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则cos的值是．
0[∵2tanα·sinα＝3，∴2·sinα＝3，∴2sin2α＝3cosα，∴2(1－cos2α)＝3cosα，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍)．又α∈，∴α＝－，∴cos＝cos＝0.]
14．将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)sinx，则f(x)的表达式为．
2cosx[∵y＝cos2x，向右平移个单位，y＝cos＝cos＝sin2x＝f(x)·sinx，∴f(x)＝＝2cosx，故答案为f(x)＝2cosx．]
15.＝.
－4[原式＝＝＝＝＝＝－4.]
16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是．(把你认为正确的说法的序号都填上)
①②③[∵f(x)＝cos＋cos＝cos－sin＝cos，∴f(x)max＝，即①正确．T＝＝＝π，即②正确．f(x)的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，k＝0时，≤x≤，即③正确．将函数y＝cos2x向左平移个单位得y＝cos≠f(x)，所以④不正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cosθ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．
[解]因为cosθ＝，θ∈(π，2π)，所以sinθ＝－，tanθ＝－，所以sin＝sinθcos－cosθsin＝－×－×＝－，tan＝＝＝.
18．(本小题满分12分)已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值．
[解](1)∵sin－2cos＝0，则cos≠0，∴tan＝2∴tanx＝＝＝－.(2)原式＝＝＝＝＝.
19．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos的值；
(2)tan(α＋β)的值．
[解](1)∵<α<π，0<β<，∴<α－<π，－<－β<.∴sin＝＝，cos＝＝.∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝－.(2)∵<<，∴sin＝＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
20．(本小题满分12分)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(2＋sinx,2－cosx)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值．
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
[解](1)因为m＝(cosx，sinx)，n＝(2＋sinx，2－cosx)，所以f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx(2－cosx)＝2(sinx＋cosx)＝4sin，所以函数f(x)的最大值为4.(2)因为f(x)＝4sin＝1，所以sin＝，因为x∈，所以x＋∈，所以cos＝－，所以cos＝cos＝cos－sin＝－×－×＝－.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cosx.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若f＝－，＜x＜时，求的值．
[解]f(x)＝sinxcos＋cosxsin＋sinxcos－cosxsin＋cosx＝2sinxcos＋cosx＝sinx＋cosx＝sin，∴f(x)的最大值为.
(2)f＝sin，∴sin＝－，sin＝－，sinx－cosx＝－，∴sinx－cosx＝－两边平方得1－2sinxcosx＝，∴2sinxcosx＝，∴(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝，sinx＋cosx＝sin，当＜x＜，＜x＋＜2π，sinx＋cosx＜0，∴sinx＋cosx＝－，＝＝＝＝.
22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
[解]过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，OA＝2cosθ，BH＝sin＝cosθ，AH＝cos＝sinθ，∴B(2cosθ＋sinθ，cosθ)，OB2＝(2cosθ＋sinθ)2＋cos2θ＝7＋6cos2θ＋2sin2θ＝7＋4sin.由0＜θ＜，知＜2θ＋＜，所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.
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