2019学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷2020.05一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题
每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接写结果.1.已知，则.【答案】【解析】2.不等式的解集是.【答案】【解析】化简分
式不等式易得，3.函数的最小正周期为.【答案】【解析】利用得，4.若（是虚数单位）是关于的实系数方程的根，则.【答案
】【解析】两根分别为和，，，5.方程在上的解是.【答案】【解析】根据三角方程易得，6.若是奇函数，则实数的值为.【答案
】【解析】7.二项式展开式中的常数项等于.【答案】【解析】，令，得，所以常数项为8.已知直线的方向向量是直线的法向量，则
实数的值为.【答案】【解析】由题意得两直线垂直，，，9.从数字中任取2个数，则这2个数的和为偶数的概率为.（结果用数值
表示）【答案】【解析】10.在中，若，为边的三等分点，则.【答案】【解析】取中点为，则，11.如图为某街区道路示意
图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A点由图中的道路到
B点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A到B的行走线路，则此人从A到B遇见的行人总人数最小值是.【答案】
（详见手写版）【解析】从，为使相遇人数最少，要保证此人到一点只能向上或向右，不能回头，那么我们现在考察在交点处的人数，绿笔表示来
自左边会遇到人数，红笔表示来自向下方会遇到人数，则每一节点通往下一节点时，要保证用人数最少的路径，则将相遇人数标记如图.故如图所示
，最少相遇人数为12.设二次函数（且）在上至少有一个零点，则的最小值为.【答案】【解析】看做关于点的直线方程，其中所以的
最小值是原点到该直线的距离的平方，求值域即可.令，上式由对勾函数性质可得，当时，代入，求得上式最小值为二、选择题（本大题共
有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13.某地区的绿化面
积每年平均比上一年增长，经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则的图像大致为（）【答案】【解析】设初始值为，，选14.一个几何体
的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）【答案】【解析】该几何体是半个圆柱，，故选15.设点是角终边上一点，当最小时，的值
是（）【答案】【解析】，此时，，故选16.若数列的通项公式分别为，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（）【答案】【解析
】由题意得，①为奇数，，单调递减，②为偶数，，单调递增，，，故选【点评】本题改编于2018徐汇一模11题三、解答题（本大
题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤。17.（本题满分14分）本题共2小题，第l小题6分，第2
小题8分。如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小.【解析】（
1）底面，平面在矩形中，又，平面平面而平面故是直角三角形，（2），连接异面直线与所成角即为与所成角即为（或其补角）同
理18.（本题满分14分）本题共2小题，第l小题6分，第2小题8分。已知函数（1）解不等式；（2）求的最小值.【解析】（1）
由题意可得（2）由题意可得，所以由函数的单调性可知，当时取到最小值19.（本题满分14分）本题共2小题，第l小题6分，第2小题8
分。某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为的扇形草坪上，由数干人的表演团队手持光影屏组成红旗图案。已知红
旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点在线段上，另两个顶点分别在弧、线段上（1）若，求此红旗图案的面积；（2）求组成的红旗图案的最大
面积.【解析】（1）由题意可得，（2）设，则，所以所以当时，20.（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3
小题6分。已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，分别为椭圆的左、右两个焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的切线（与椭圆
有唯一交点）的方程为，切线与直线和直线分别交于点，求证：为定值，并求此定值；（3）设矩形的四条边所在直线都和椭圆相切（即每条边所在
直线与椭圆有唯一交点），求矩形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意可得，，所以椭圆方程为（2）由题意可得，，，联立直线和椭圆方程
可得，且，所以所以（3）【法一】当该矩形四边形与坐标轴平行时，当该矩形四边形与坐标轴均不平行时，设四条切线分别为结合（2），得该矩
形的长和宽即为平行直线之间距离即和，即和令则综上所述，的取值范围为【法二】解题背景：蒙日圆（在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点
都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，在双曲线中的结论这里不多做介绍，有想了
解的请添加管理员微信），具体证明方法如下：首先，我们先来证明四点都在定圆上，如图所示，不妨取在第一象限，设直线与椭圆相切与点，直线
与椭圆相切与点，且，并作关于直线的对称点，与相交于点；作关于直线的对称点，与相交于点.则显然四边形为矩形，由矩形的性质可知，，其中
,，所以，所以四点都在定圆上，即此时为圆的内接矩形，所以其中当时，取最小值；当时，取最大值，所以21.（本题满分18分）本题共3小
题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。设数列的前两项给定，若对于每个正整数，均存在正整数，使得，则称数列为“数列”（1
）若数列为的等比数列，当时，试问：与是否相等，并说明数列是否为“数列”；（2）讨论首项为，公差为的等差数列是否为“数列”，并说
明理由；（3）已知数列为“数列”，且，记，其中正整数，对于每个正整数，当正整数分别取时，的最大值记为，最小值记为.设，当正整数满
足时，比较与的大小，并求出的最大值【解析】（1）因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以由于当正整数时，均有，所以，与相等
因为，对每个正整数，存在且，使得所以数列为“数列”（2）时，对于每个正整数，均有使，所以时，数列为“数列”时，且；时，且故
，时，对，当正整数，在时，总有，所以时，数列不是“数列”（3）由题意可知，对于每个正整数，均有且对于所有正整数，均有，即记对于每个正整数，选取恰当的正整数，得由，则即类似的即因为，所以，故即所以正整数时，成立，即正整数时，成立所以，在正整数满足时当时，取最大值为 |
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