黄浦区2019学年度第二学期高试卷2020年5月
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[
1．，，则.
2．的最小正周期为．
3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选户.
4．与互相垂直，则实数的值为.
5．如果，为第三象限角，则.
6．.
7．的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为.
8．的定义域和值域都是，则.
9．当满足时，恒成立，则实数的取值范围是
10．4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．．
11．已知，，若存在不相等的实数，使得
，则的取值范围是．
12．点是曲线上的任一点，,，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点．则下列结论：（1）为定值；（2）为定值；（3）为定值其中正确结论的序号是．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的 （）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．设是复数 （）.
A．若,则 B．若,则
C若, D．若,
15.已知是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是 （）.
A．单调递增数列且 B．单调递减数列且
C．单调递增数列且 D．单调递减数列且
16．如图，直线平面垂足为，正四面体的棱长为2，分别是直线和平面的动点，且，则下列判断：①点到棱的距离的最值为②正四面体在平面的射影面积的最大值为其中正确的说法是.
A．①②都正确①②都错误①正确，②错误①错误，②正确
三、解答题（本大题共有5题，满分7分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
1．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱椎P-ABC中，PA平面ABC，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2．
（）与所成的角；
（2）求点P到平面DEF的距离．
．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分分，第小题满分分
设的图上任意两点，满足．
1）若，求证：；
2）若，且，求的取值范围，并比较与的大小．
（本题满分1分）本题共有2个小题，第1小题分，第2小题分
某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园.如图①所示，矩形的边与边的长分别为48米与40米，扇形的圆心为中点，扇形的圆弧端点分别在与上，圆弧的中点上．
（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；
（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域为花卉展览区．如图②所示，的四条边与矩形的对应边平行，点分别在上，点在扇形的弧上.某同学猜想：当矩形面积最大时，两矩形与的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
分别是椭圆的右顶点与上顶点，坐标原点到直线的距离
为，且点是圆的与椭圆交于两
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在线段上，，且当取最小值时直线与圆相切，求的值；
（3）若直线与圆分别交于两点，点在线段上，且，求的取值范围.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
与函数满足：①的任意两项均不相等，且的定义域为；②数列的前的项的和对任意的都成立，则称与具有“共生关系”.
（1）若,试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式；
（2）若与数列具有“共生关系”，求实数对所构成的集合,并写出关于的表达式；
（3）若,求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有‘共生关系’”在射线上”.
高三数学试卷第4页共4页
y
x
O
P
A
B
C
Q
①
图②
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