2020年浙江省高考数学模拟试卷（5）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A＝{x∈N|x≤3}，B＝{x|x
2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]2．（4分）设i为虚数单位，复数，则
z的共轭复数是（）A．3﹣2iB．3+2iC．﹣3﹣2iD．﹣3+2i3．（4分）设变量x，y满足约束条件则z＝（x﹣3）2+
y2的最小值为（）A．2B．C．4D．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α”是“sinα”的（）A．充分不必要条件B
．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．6．
（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线
段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为C．D．CD1与PQ不可能垂直7．（4分）
已知，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101PabA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C
．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x
3的取值范围为（）A．B．C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上
的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β
≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{an}满足an+1＝an2+2an﹣2（n∈N）
，若存在常数λ，使得an≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（
6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何
体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝
，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC，△ABC的面积为，则c＝．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为b，过点B1，B2的圆M
与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|kk|，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥
BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2．若点M为边BC上的动点，则?的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在
（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf''（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题
（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，△ABC的面积
为2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4，
AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．2
0．（15分）在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{bn}的前n项和
为Sn，且S3＝14．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令，（﹣1）ndn＝ncn+n，求数列{dn}的前项和为Tn
．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（
1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA?yB为常数；（3）是否存在t，使
得yA?yB＝1且yP?yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝excosx
，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式恒成立（f''（x）是f（x）的导函数）
，求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．
（4分）已知A＝{x∈N|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]
D．（3，4]【解答】解：由题意得：A＝{x∈N|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所
以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．2．（4分）设i为虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）A．3﹣2iB．3+2iC．﹣3﹣2
iD．﹣3+2i【解答】解：∵，∴．故选：B．3．（4分）设变量x，y满足约束条件则z＝（x﹣3）2+y2的最小值为（）A．2
B．C．4D．【解答】解：画出变量x，y满足约束条件的可行域，可发现z＝（x﹣3）2+y2的最小值是（3，0）到2x﹣y﹣2＝0距
离的平方．取得最小值：．故选：D．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α”是“sinα”的（）A．充分不必要条件B．必要不
充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α，则cos2α＝1﹣2sin2α，sinα，则cos2α”是“si
nα”的不充分条件；若sinα，则cos2α＝1﹣2sin2α，cos2α，则cos2α”是“sinα”的必要条件；综上所述：“c
os2α”是“sinα”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．
【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，
故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是
（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为C．D．CD1与PQ不可能垂
直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，
线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1
，故B正确；在C中，PQAB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，
CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ
﹣101PabA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知，∴，∴当a增大时
，ξ的期望E（ξ）减小．故选：B．8．（4分）已知函数，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的
取值范围为（）A．B．C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f（x）的图象，方程f（x）＝a有三个不同的实数根
即等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝a有三个交点A，B，C，故有﹣2＜a≤2，不妨设x1＜x2＜x3，因为点A，B关于直线x＝
﹣2对称，所以x1+x2＝﹣4，﹣2＜log2x3≤2，即x3≤4，故x1+x2+x3≤0．故选：A．9．（4分）如图，在三棱台A
BC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B
的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC﹣A1
B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为
γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A．10．（4分）设数列{an}满足an+1＝an2+2an﹣2（n∈
N），若存在常数λ，使得an≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1【解答】解：，若an＜﹣2，则an+
1＞an，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若an＝﹣2，则an+1＝an，则该数列为常数列，即an＝2．所以，综上所述，λ≥﹣
2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线交于A，B两点，
若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双
曲线可得：，两式相减可得：，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k2，所以直线AB的方
程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞
0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，），故答案为：（﹣∞，0）∪
（0，）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面
为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6
，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为可得，令r＝2，即x2项
的系数a2为，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5
+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC，△ABC的面积为，则c＝
．【解答】解：∵a＝1，cosC，△ABC的面积为，∴sinC，可得absinCab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c．
故答案为：．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为b，过点B1
，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|kk|，则椭圆的离心率为．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0
，﹣b），B2（0，+b），由|kk|，||，∴|x0|b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2
b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02，P在椭圆上，所以1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2
，所以离心率为，故答案为：．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2．
若点M为边BC上的动点，则?的最小值为．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点
D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2），D
（3，），设M（0，a），则（﹣2，a），（﹣3，a），故?6+a（a），故答案为：．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）
上的可导函数，且满足f（x）+xf''（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令
g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf''（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式
f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞
0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题
，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，△ABC的面积为2．（Ⅰ
）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝
1，cosA，∴sinA，∵△ABC的面积为bc?sinA?bc＝2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a3．再根据正弦定理可得，
即，∴sinC．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1，故cos（2A）＝cos2Acossin2
Asin??．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二
面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，
DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．
（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平
面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，
在△BOD中由余弦定理得OD＝4，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2），∴M（﹣3，2，）
，（﹣7，2，），平面ABC的法向量（0，0，1），设直线BM与面ABC所成角为θ，则直线BM与面ABC所成角的正弦值为：sinθ
．20．（15分）在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{bn}的前n
项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令，（﹣1）ndn＝ncn+n，求数列{dn}的前项和为
Tn．【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，正项等比数列{bn}的公比设为q，q＞0，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，
b2成等差数列，可得2a2＝b1+b2，即2（1+d）＝2+2q，即d＝q，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14，可得2+2
q+2q2＝14，解得q＝2，d＝2，则an＝2n﹣1，bn＝2n；（2）2n+1﹣1，（﹣1）ndn＝ncn+n＝n?2n+1，
则dn＝2n?（﹣2）n，前项和为Tn＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n，﹣2Tn＝2?4+4?（﹣8）+
6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3Tn＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?2n
?（﹣2）n+1，化简可得Tn?（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛
物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1）
，求证：yA?yB为常数；（3）是否存在t，使得yA?yB＝1且yP?yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由
．【解答】解：（1）解：∵抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点
．点M纵坐标为，∴点M的横坐标xM＝（）2＝2，∵y2＝x，∴p，∴M与焦点的距离为MF2．（2）证明：设M（），直线PM：y﹣1
（x﹣1），当x＝﹣1时，，直线QM：y+1（x﹣1），x＝﹣1时，yB，∴yAyB＝﹣1，∴yA?yB为常数﹣1．（3）解：设M
（），A（t，yA），直线MA：y﹣y0（x﹣y02），联立y2＝x，得0，∴y0+yp，即yP，同理得yQ，∵yA?yB＝1，∴
yPyQ，要使yPyQ为常数，即t＝1，此时yPyQ为常数1，∴存在t＝1，使得yA?yB＝1且yP?yQ为常数1．22．（15分
）设函数f（x）＝excosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式恒成立（f''（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f''（x）＝excosx﹣exsinx＝ex（cosx﹣sinx）．令f''（x）＝ex（cosx﹣sinx）＝0，得．当时，f''（x）＞0，当时，f''（x）＜0，所以，．因为，所以f（x）min＝1，所以f（x）的值域为．（2）由得，即．设，则．设φ（x）＝h''（x），则．当x∈[0，+∞）时，4e3x≥4，，所以φ''（x）＞0．所以φ（x）即h''（x）在[0，+∞）上单调递增，则h''（x）≥h''（0）＝4﹣2a．若a≤2，则h''（x）≥h''（0）＝4﹣2a≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增．所以h（xa＞2）≥h（0）＝0恒成立，符合题意．若，则h''（0）＝4﹣2a＜0，必存在正实数x0，满足：当x∈（0，x0）时，h''（x）＜0，h（x）单调递减，此时h（x）＜h（0）＝0，不符合题意综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．第1页（共1页） |
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