加强数学模型方法教学提高学生数学核心素养
山东沂南四中李树臣
【山东教育，2019第12期】
《义务教育数学课程标准》指出：
欧拉对这个问题的解法在许多书上都有介绍.他根据陆地、桥和人走过的关系特征，巧妙地把“人能否一次无重复的走过七座桥”的问题首先转化为能否“一笔画出”图2所示的模型的问题，然后利用数学的方法证明了模型2是不能一笔画出的，从而得到人也不能一次无重复的走过这七座桥的结论.
欧拉本质上是通过构造数学模型的方法予以解决的.哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型，欧拉经过“创造性”的抽象活动，将其抽象成如图2所示的一笔画问题，得到了哥尼斯堡七桥问题的数学模型.针对这个数学模型，经过一定的逻辑推理，得到无解的结论后，把这个结论返回现实模型，于是得到实际问题无解的答案.
这个过程可用图3表示如下：
可见利用数学过程包括：数学模型在的基础上从数学的角度，数学把实际问题转化数学问题.求解模型：（）
某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）函数表达式y=a（x3）25（a0），将（8，0）代入a=-，从而得到y=-（x﹣3）25（0x＜8）．
（2）当y=1.8时，有（x﹣3）25=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，当x=0时，y=（x﹣3）25=．改造后水柱所在抛物线的形状不变可设y=x2+bx+，代入点（16，0）可求出b，y=-x2+3x+=-（x﹣）2．可得扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【】y=-x2+3x+=-（x﹣）2,从而得到答案.
学生通过解答这个问题，其建立二次函数模型解答实际问题的能力得到发展和提高.这样的题目对于学生几何直观能力，方程思想、数形结合思想、模型思想的形成与发展都具有积极的意义.
2.图形与几何类模型
《课标（2011年版）》对于“图形与几何”提出了89条要求，其中4条为选学内容.主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动.
几何图形的形状、大小、位置关系及其变换等知识，是学生准确描述现实世界空间关系，进而利用这些知识解决学习、生活和工作中所遇到的有关实际问题的基础，解决的途径常常是通过建立相应的“几何模型”完成的.
案例3:货车能通过吗?.
图是某小区入口实景图，图是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），AOM=60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：1.73，结果精确到0.01米）
解：（1）如图，过M作MNAB于N，交BA的延长线于N，
Rt△OMN中，NOM=60°，OM=1.2，
M=30°，ON=OM=0.6，NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；
即点M到地面的距离是3.9米
（2）取CE=0.65，EH=2.55，HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，
过H作GHBC，交OM于G，过O作OPGH于P，
GOP=30°，tan30°==，
GP=OP≈≈0.404，
GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，
货车能安全通过．
【】点M到地面的距离
（1）现从四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明了理由．
析解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的只有4天，
所以甲公司揽件员人均揽件数超过40(不含40)的概率为P==.
（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为，则
=.
即甲公司各揽件员的日平均揽件数为39；
②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2=148元，
乙公司揽件员的日平均工资为
，
因为159.4＞148，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．
【】数学教学实际上就是教给学生前人构建的数学模型
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图2
图8
图7
图9
图5
图4
有无解？
图6
图3
图1
无解
（一次过七桥不可能）
逻辑推理
无解
（一笔画不可能）
翻译回去
数学化（分析、抽象）
数学模型
（一笔画问题）
现实原型
（七桥问题）
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