1.圆幂定理
<1>切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
??切割线定理示意图
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB（切割线定理）
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT2=PA·PB=PC·PD圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）
??从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D则有LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT为切线）
<1>射影定理：直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式表达为：如左图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD^2;=AD·DB，②BC^2=BD·BA，③AC^2=AD·AB；④AC·BC=AB·CD
<2>面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cosθ=S′︰S．
证明：如上图，作△ABC的AB边上的高CD，垂足为D，连0D，易知OD⊥AB，故∠CDO即为二面角C-AB-O的平面角，即∠CDO=θ．
正切定理：
证明：
由
开始，由正弦定理得出
<1>内角平分线定理：
定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，
如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC
??AD为△ABC外角平分线
三角形的外角平分线定理：三角形的外角平分线外分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
例.已知如图.△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：BD︰CD=AB︰AC。
证明：过C作AD的平行线交AB于点E。
∴BD︰CD=AB︰AE，∠1=∠AEC
∠CAD=∠ACE
∵∠1=∠CAD∴∠AEC=∠ACE中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：
A^2+AC^2=2BI^2+2AI^2
或作AB^2+AC^2=2（1/2BC）^2+2AI^21.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则
3PG^2=(AP^2+BP^2+CP^2)-1/3(AB^2+BC^2+CA^2)
7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB^2+BC^2+CA^2)为半径的圆周上
<2>垂心：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、
C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
9、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
10、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）。
11、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
12、设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PBPCBC+PBPAAB+PAPCAC=ABBCCA。
13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
15、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）
推论（垂心余弦定理）：锐角三角形ABC的垂心为H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距，推广到任意三角形）
16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。
三角形内心的性质设⊿ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。
3、r=S/p。
证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得结论。
△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
5、∠BOC=90°+A/2。
6、点O是平面ABC上任意一点，点O是⊿ABC内心的充要条件是：
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。
(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr。
三角形五心之一（其他四个为内心、外心、重心和垂心）。旁心是三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心。如图，点M就是△ABC的一个旁心。这个交点到三角形三边距离相等。旁心是一个三角形的内角平分线（如图中AZ）其不相邻的两个外角平分线（如图中BX与CY)的交点，它到三角形三边的距离相等。一个三角形有三个旁心（每条边对应一个）。
若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有aOA=bOB+cOC
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
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