知识点25全等三角形一、选择题1.（2019·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD
＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其
中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=
OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠
ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BO
D，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD
，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM
，故③错误，所以①②④正确．故选B．2.3.4.5.6file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\cm.
7.8.9file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛.10.11.
12.二、填空题16．（2019·嘉兴）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝
12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为
cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为cm2．【答案】，【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°,∴BC
＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm,如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E''D''F''，过点D''作D''N⊥AC于点N，作D''M
⊥BC于点M,∴∠MD''N＝90°，且∠E''D''F''＝90°,∴∠E''D''N＝∠F''D''M，且∠D''NE''＝∠D''MF''＝90°，
E''D''＝D''F'',∴△D''NE''≌△D''MF''（AAS）,∴D''N＝D''M，且D''N⊥AC，D''M⊥CM,∴CD''平分∠ACM,
即点E沿AC方向下滑时，点D''在射线CD上移动，∴当E''D''⊥AC时，DD''值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm,∴当点E
从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm.如图，连接BD''，AD''，∵S△AD''B＝S△ABC+
S△AD''C﹣S△BD''C,∴S△AD''B＝BC×AC+×AC×D''N﹣×BC×D''M＝24+（12﹣4）×D''N,当E''D''⊥A
C时，S△AD''B有最大值，∴S△AD''B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．故答案为：（24﹣12），（
24+36﹣12）.18．（2019·株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜I，在y轴处放置一个有缺口
的挡板II，缺口为线段AB，其中点A(0，1)，点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板III，从点O发出的光线经
反光镜I反射后，通过缺口AB照射在挡板III上，则落在挡板III上的光线的长度为．第18题【答案】【解析】如图，落在挡板III上
的光线的长度为MN的长度,对应的反光镜I的边界点分别为点P和点Q，根据光线的折射，入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明
△APF≌△OPF，所以AO=2AF=2OF，∴AF=,同理△AQB≌△AQO,AB=AO=1，所以NE=2，∵AQ⊥y轴，∴PQ
=AF=,由题意知，△AEM≌△AQP，所以ME=PQ=,所以MN=NE-ME=2-=.3.4.5.6file:///G:\201
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一点，连接AM（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足
，连接CP并延长交AB于点Q①如图2，若n＝1，求证：②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示
）【解题过程】（1）证明：延长AM交CN于点H，∵AM与CN垂直，∠ABC＝90°，∴∠BAM＋∠N＝90°，∠BCN＋∠N＝90
°，∴∠BAM＝∠BCN．∵n＝1，∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBN．∴△ABM≌△CBN，∴BM＝BN．（2）
①证明：过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，则AM与CD垂直．由（1），得BM＝BD．∵CD//BP，∴，即②提示：延长PM
到N，使得MN＝PM，易知△PBM≌△NCM，则∠CNM＝∠BPM＝90°，∵，BC＝2BM，∴，设PM＝MN＝1，则PB＝CN＝
2n，tan∠BPQ＝tan∠NCP＝＝＝＝21．（2019·益阳）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=1
10°，求证:△ABC≌△EAD.第21题图【解题过程】证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°.∵∠D=110°，∴∠ACB
=∠D.∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E.又∵AB=AE，∴△ABC≌△EAD.19．（2019·黄冈）如图，ABCD是正方形，E是
CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.【解题过程】（2019安徽）如图，
点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.求证：△BCE≌△ADF；（2）设□ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求
的值.EFCBAD【解题过程】解：（1）证明：如图1，延长FA与CB交于点M，∵AD∥BE，∴∠FAD=∠M，又∵AF∥BE，∴∠
M=∠EBC，∴∠FAD=∠EBC，同理得∠FDA=∠ECB，在△BCE和△ADF中，∵∠EBC=∠FAD，BC=AD，∠ECB=
∠FDA，∴△BCE≌△ADF；………………4分MEFCBA图1D（2）如图2，连接EF，由（1）知△BCE≌△ADF，∴
AF=BE，又AF∥BE，于是四边形ABEF为平行四边形，∴S△AEF=S△AEB，同理S△DEF=S△DEC，∴T=S△A
EB+S△DEC，另一方面，T=S△AED+S△ADF=S△ACD+S△BCE，∴S=S△AEB+S△DCE+S△AED+
S△BCE=2T，于是，=2.………………10分EFCBA图2D1.（2019·乐山）如图，线段、相交于点,,.求证：.
证明：在和中，，,≌，故.2.（2019·淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证
：∠E＝∠C．证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC,即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，
，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠E＝∠C．18．（2019浙江省温州市，18，8分）（本题满分8分）如图，在△ABC中，AD
是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，A
E=1，CF=2时，求AC的长．【解题过程】（1）∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴
BD=CD，∴△BDE≌△CDF；（2）∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，B
D=CD，∴AC=AB=3.25．(2019·泰州,25题,12分)如图,线段AB＝8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以A
P为边作正方形APCD,且C、D与点B在AP两侧,在线段DP取一点E,使∠EAP＝∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点
A、B不重合).(1)求证:△AEP≌△CEP;(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;(3)求△AEF的周长.第25题图【解
题过程】(1)∵四边形APCD正方形,∴DP平分∠APC,PC＝PA,∴∠APD＝∠CPD＝45°,又因为PE＝PE,∴△AEP
≌△CEP(SAS);(2)CF⊥AB．理由如下:∵△AEP≌△CEP,∴∠EAP＝∠ECP,∵∠EAP＝∠BAP．∴∠BAP＝∠
FCP,∵∠FCP+∠CMP＝90°,∠AMF＝∠CMP,∴∠AMF+∠PAB＝90°,∴∠AFM＝90°,∴CF⊥AB;第25题
答图(1)(3)过点C作CN⊥PB．可证得△PCN≌△APB,∴CN＝PB＝BF,PN＝AB,∵△AEP≌△CEP,∴AE＝C
E,∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB＝16.第25
题答图(2)23．（2019·绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂
长AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中：①当A,D,M三点在同一直线上时，求AM的
长；②当A,D,M三点在同一直角三角形的顶点时，求AM的长.（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到
其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.【解题过程】24．（2019·苏州，
24，8）如图，△ABC中，点E在BC边上．AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置．使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与
AC交于点G.(1)求证：EF=BC；(2)若∠ABC=65°．∠ACB=28°，求∠FGC的度数第24题图【解题过程】（1）
证明：∵线段AC绕点A旋转到AF的位置，∴AC=AF，∴∠CAF=∠BAE.∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE.即
∠EAF=∠BAC．在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF，∠BAC=∠EAF，AC=AF，∴△ABC≌△AEF(
SAS)，∴EF=BC(2)解：∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABC=65°，∵△ABC≌△AEF，∴∠AEF=∠ABC=
65°，∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°，∵∠FGC是△EGC的外角，∠A
CB=28°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°.18．（2019·嘉兴）如图，在矩形ABCD中，点E
，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．【答案】见解题过程【解题过程】添加条件：BE=DF或DE
=BF或AE//CF或∠AEB=∠DFC或∠DAE=∠BCF或∠AED=∠CFB或∠BAE=∠DCF或∠DCF+∠DAE=90°等
.证明：在矩形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF.∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=C
F.24．（2019山东烟台，24，11分）【问题探究】(1)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，，点B，D在同一直线
上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若，，则线段AD的长为．【拓展延伸】(2)如图2，△ABC和△DE
C均为直角三角形，，，，，，将△DEC绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画
出图形，并求线段AD的长．【解题过程】（1）本题的答案是①②4探究过程如下：①因为△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，所
以，，所以，在△ACD与△BCE中，因为，，，所以△ACD≌△BCE，所以,因为所以，所以即所以，所以．②由①可得△ACD≌△B
CE，所以,在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，设，则，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，
，即解得或（舍去），所以,即线段AD的长为4．（2）解：情况1：当时，点B，D，E在同一直线上时的图形如图（1）所示，第24题
答图（1）因为所以所以，因为，，所以在△ACD与△BCE中，因为，，所以△ACD∽△BCE，所以,，所以因为所以，所以即所以，在
Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，设，则，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即解得或
（舍去），所以,即当时，点B，D，E在同一直线上时，线段AD的长为．情况2：当时，点B，D，E在同一直线上时的图形如图（2）所示，
第24题答图（2）因为所以所以，因为，，所以在△ACD与△BCE中，因为，，所以△ACD∽△BCE，所以,，所以因为所以，所以即
所以，在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，设，则，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即
解得或（舍去），所以,即当时，点B，D，E在同一直线上时，线段AD的长为．综上可知，线段AD的长为或．17．（2019·山西）已
知,如图,点B,D在线段AE上,AD＝BE,AC∥EF,∠C＝∠F,求证:BC＝DF.第17题图【解题过程】∵AD＝BE,∴AD－
BD＝BE－BD,∴AB＝DE,∵AC∥EF,∴∠A＝∠E,在△ABC和△EDF中,∠C＝∠F,∠A＝∠E,AB＝ED,∴△ABC
≌△EDF,∴BC＝DF.3.4.5.6file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\cm.7.8.9fi
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4.15.16file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\cm.17.18.19file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛.20.21.22.23.24.25.26file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\cm.27.28.29file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛.30.31.32.33.34.35.36file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\cm.37.38.39file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛.时代博雅解析时代博雅解析更多干货资料敬请关注微信公众号：CZSXYZ2018初中数学压轴 |
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