对于一个角不超过°的三角形，费马点是对各边的张角都是°的点对于一个角超过°的三角形，费马点就是内角的顶点
下面简单说明如何找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题．
图1
解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．
则△APP′为等边三角形，AP=PP′，P′C′=PC，
所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′．
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，
∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°
因此，当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
1.(2015株洲)已知P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
2.（）如图.在平面直角坐标系中.点B的坐标为(0,2).点D在轴的正半轴上..OE为△的中线.过、两点的抛物线与轴相交于A、F两点(A在F的左侧).等边△的顶点、在线段上点为△内的一个动点.设.
请直接写出的最小值,以及取得最小值时,线段的长. (备用图)
3.（2015延庆）小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接,当点A落在上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是.（结果可以不化简）
2015朝阳)小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30o，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．．△APC绕点C顺时针旋转60o，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60o，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
5.（2014宁德）若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点．
（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,则PB的值为；
（2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．
6.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．
7.（2010宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
求证：△AMB≌△ENB；
当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
1.顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形．即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：
可得最小PA+PB+PC=AF．
BM=BFcos30°=BCcos30°=
则AM=1+
AB=BFABF=15
BAF=15
AF==
2.m最小值为，当m取得最小值时，线段AP的长尾。
3.（1）6；（2）+2
4.（1）；（2）线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；
当PA+PB+PC值最小时PB的长为
5.（1）利用相似三角形可求PB的值为．
（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
如图8，把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．
∵∠B′EC=∠APC=120°，∠PEC=60°
∴∠B′EC+∠PEC=180°
即P、E、B′三点在同一直线上
∵∠BPC=120°,∠CPE=60°，
∴∠BPC+∠CPE=180°，
即B、P、E三点在同一直线上
∴B、P、E、B′四点在同一直线上，即BB′过△ABC的费马点P．
又PE=PC，B′E=PA，
∴BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．
注:通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．
6.如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．
又FG=AE，
∴AE+BE+CE=BE+EF+FG．
∵点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．
∴线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图3）．
设正方形的边长为，那么
BO=CO=，GC=,GO=．
∴BG=BO+GO=+．图2
∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．
∴+=，解得=2．
7.⑴略；
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.
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图2
图3
图1
E
AD
BC
N
M
F
E
AD
BC
N
M
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