四点共圆及辅助圆
例题1.如图，RtΔABC与RtΔADC共斜边，问D点是否在RtΔABC的外接圆上？你找到了A、B、C、D四点共圆的方法吗?
例题2.如图，矩形ABCD中，延长CB到E。使CE=CA。F为AE中点，求证BF⊥FD
辅助圆的应用方向
利用“两圆一中垂线”构造等腰三角形
如图，已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)与y轴交于点C．
(1)抛物线的解析式为；
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CAP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
利用“两垂线一圆”构造直角三角形
如图，已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△CBQ是直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
利用圆求线段的最值
1.如图①，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E是AD边的中点，F是CD上的动点，将△DEF沿EF折叠，点D落在P处,则线段BP最短时的长度为.
2.如图②，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=1，以AC上动点O为圆心，以AO为半径作圆O，交AC于点D，连接BD交圆O于点E，则CE的最小值为
3.如图③，⊙O的半径为5，OP=3，经过点P的最长弦为，最短弦为.
三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆
如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=，AB=AC=AD=．则BD的长为
2.如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=30°,在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，若BD=8，则AB=.
思考：如何判断四点共圆？
利用圆的切线性质作辅助圆
如图，在平面直角坐标系内A（8,0），B（0,6），若直线L与AB平行，且在直线L上有且只有一点P使∠OPA=90°，求满足条件的直线L的解析式.
利用圆构造相等角
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．
（1）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，直线DE的解析式；
（2）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．
直击中考
1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4，△AOE的面积为6，则cos∠BOE=＿＿＿
2.、如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE在同一直线上，O是EG的中点，ZEGC的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH，EG与FH交于M，对于下面四个结论：
③点H不在正方形CGFE的外接圆上：
其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
1、（2012济南市中考）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E共有
A．2个B．3个C．4个D．5个27．(9分)如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)．抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、C，与AB交于点D．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是（2014年山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）
（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值是（）.
A．B．C．D．
6、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则cos∠DMN为（）.
A.B.C.D.
7、(2014南宁数学）26.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧.（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.
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图②
图①
图③
图①
图②
A
B
C
D
P
E
第12题图
A
D
B
P
Q
O
C
x
y
A
D
B
O
C
x
y
l
备用图
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