十年高考分类解析与应试策略数学
第七章直线和圆的方程
●考点阐释
解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究．
学习解析几何，要特别重视以下几方面：
（1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用；
（2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用．
●试题类编
一、选择题
1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（）
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）
A.95 B.91 C.88 D.75
3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）
A.x－y=0 B.x+y=0
C.|x|－y=0 D.|x|－|y|=0
4.（2002京皖春理，8）圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠＋kπ，k∈Z）的位置关系是（）
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定的
5.（2002全国文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（）
A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1
6.（2002全国理）圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线y=x的距离是（）
A. B. C.1 D.
7.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（）
A. B. C. D.1
8.（2002北京文，6）若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x2＋y2＝，②＝1，③x2＋＝1，④＋y2＝1．其中与直线x+y－=0仅有一个交点的曲线是（）
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
10.（2001全国文，2）过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）
A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4
C.（x－1）2＋（y－1）2＝4 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
11.（2001上海春，14）若直线x=1的倾斜角为α，则α（）
A.等于0 B.等于 C.等于 D.不存在
12.（2001天津理，6）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y+1=0，则直线PB的方程是（）
A.x+y－5=0 B.2x－y－1=0
C.2y－x－4=0 D.2x+y－7=0
13.（2001京皖春，6）设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是（）
A.圆 B.两条平行直线
C.抛物线 D.双曲线
14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x=y对称的是（）
A.x2－x＋y2＝1 B.x2y＋xy2＝1
C.x－y=1 D.x2－y2＝1
15.（2000京皖春，6）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）
A.相交不垂直 B.垂直
C.平行 D.重合
16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）
A.y=x B.y=－x
C.y=x D.y=－x
17.（2000全国文，8）已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（）
A.（0，1） B.（）
C.（，1）∪（1，） D.（1，）
18.（1999全国文，6）曲线x2+y2+2x－2y=0关于（）
A.直线x=轴对称 B.直线y=－x轴对称
C.点（－2，）中心对称 D.点（－，0）中心对称
19.（1999上海，13）直线y=x绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆
（x－2）2+y2=3的位置关系是（）
A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心
C.直线与圆相切 D.直线与圆没有公共点
20.（1999全国，9）直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（）
A. B. C． D.
21.（1998全国，4）两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（）
A.A1A2＋B1B2＝0 B.A1A2－B1B2＝0
C. D.=1
22.（1998上海）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是（）
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
23.（1998全国文，3）已知直线x=a（a>0）和圆（x－1）2+y2=4相切，那么a的值是（）
A.5 B.4 C.3 D.2
24.（1997全国，2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a等于（）
A.－3 B.－6 C.－ D.
25.（1997全国文，9）如果直线l将圆x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）
A.［0，2］ B.［0，1］
C.［0，］ D.［0，）
26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（）
A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示
B.经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）表示
C.不经过原点的直线都可以用方程表示
D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
27.（1995全国文，8）圆x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是（）
A.相离B.外切C.相交D.内切
28.（1995全国，5）图7—1中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）
A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2
29.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y=2x的距离是（）
A. B.
C. D.
二、填空题
30.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=x+3的夹角为_____.
31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x－1）2+
（y－a）2=1相切，则a=_____.
32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．
33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．
34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．
35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．
36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，则点P（a，b）C1∩C2的一个充分条件为．
37.（2001上海，11）已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋（y－3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：
38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.
39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.
40.（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.
41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是.
三、解答题
42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.
43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
44.（2002全国文，21）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．
45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为，求该圆的方程.
46.（1997全国理，25）设圆满足：
（1）截y轴所得弦长为2；
（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．
在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.
47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点.
（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.
（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.
49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
●答案解析
1.答案：B
解析：圆心坐标为（0，0），半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d==1，即a2+b2=c2.所以，以|a|，|b|，|c|为边的三角形是直角三角形.
评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a、b、c之间的关系，以确定三角形形状.
2.答案：B
解析一：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B.
解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.
对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有=91（个）
评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.
3.答案：D
解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y）
∴|x|＝|y|∴|x|－|y|＝0
4.答案：C
解析：圆2x2＋2y2＝1的圆心为原点（0，0）半径r为，圆心到直线xsinθ＋y－1＝0的距离为：
∵θ∈R，θ≠＋kπ，k∈Z
∴0≤sin2θ＜1∴d＞∴d＞r
∴圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R，θ≠＋kπ，k∈Z）的位置关系是相离．
5.答案：D
解析：将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1
∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r
∴∴a＝－1
6.答案：A
解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A答案．
7.答案：D
解析：如图7—3所示，∠AOB＝60°，又|OA|＝|OB|＝1
∴|AB|＝1
8.答案：B
方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围
∵交点在第一象限，∴ ∴ ∴k∈（，＋∞）
∴倾斜角范围为（）
方法二：如图7—4，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，－），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.
评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.
9.答案：D
解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D.
10.答案：C
解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件,再把A点坐标（1，－1）代入圆方程.A不满足条件.
∴选C.
解析二:设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r,因为圆心C在直线x+y－2=0上,∴b=2－a.
由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1
因此所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4
评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.
11.答案：C
解析：直线x=1垂直于x轴，其倾斜角为90°.
12.答案：A
解析：由已知得点A（－1，0）、P（2，3）、B（5，0），可得直线PB的方程是x+y－5=0.
评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征.
13.答案：B
解析一：设P=1+bi，则Q=P（±i），
∴Q=（1+bi）（±i）=±bi，∴y=±1
解析二：设P、Q点坐标分别为（1，t），（x，y），
∵OP⊥OQ，∴·=－1，得x+ty=0 ①
∵|OP|=|OQ|，∴，得x2+y2=t2+1 ②
由①得t=－，将其代入②，得x2+y2=+1，（x2+y2）（1－）=0.
∵x2+y2≠0，∴1－=0，得y=±1.
∴动点Q的轨迹为y=±1，为两条平行线.
评述：本题考查动点轨迹的基本求法.
14.答案：B
解析：∵点（x，y）关于x=y对称的点为(y，x),可知x2y＋xy2＝1的曲线关于x=y对称．
15.答案：B
解析：直线（）x+y=3的斜率k1＝，直线x+（）y=2的斜率k2＝，∴k1·k2＝＝－1．
16.答案：C
解析一：圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式（x+2）2＋y2＝1，圆心C（－2，0）．设过原点的直线方程为y=kx，即kx－y=0.
由＝1，解得k=±，∵切点在第三象限，
∴k＞0，所求直线方程为y=x．
解析二：设T为切点，因为圆心C（－2，0），因此CT=1，OC=2，△OCT为Rt△.如图7—5，∴∠COT=30°，∴直线OT的方程为y=x.
评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美结合，可迅速、准确得到结果.
17.答案：C
解析：直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为（－，）∪（，+）即:（，）∪（，）,从而l2的斜率k2的取值范围为:（，1）∪（1,）.
评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.
18.答案：B
解析：由方程（x+）2+（y－）2=4
如图7—6所示，故圆关于y=－x对称
故选B.
评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.
19.答案：C
解析：直线y=x绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y=x.已知圆的圆心（2，0）到y=x的距离d=，又因圆的半径r=，故直线y=x与已知圆相切.
评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系.
20.答案：C
解析：如图7—7所示，
由
消y得：x2－3x+2=0
∴x1=2，x2=1
∴A（2，0），B（1，）
∴|AB|==2
又|OB|＝|OA|=2
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C.
评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°.则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.
21.答案：A
解法一：当两直线的斜率都存在时，－·（）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.
当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，，
同样适合A1A2＋B1B2＝0，故选A.
解法二：取特例验证排除.
如直线x+y=0与x－y=0垂直，A1A2＝1，B1B2＝－1，可排除B、D.
直线x=1与y=1垂直，A1A2＝0，B1B2＝0，可排除C，故选A.
评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.
22.答案：C
解析：由题意知a≠0，sinB≠0，两直线的斜率分别是k1=－，k2=.
由正弦定理知k1·k2=－·=－1，故两直线垂直.
评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.
23.答案：C
解析:方程（x－1）2+y2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x=a表示与x轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x=－1和x=3，由于a>0，取a=3.故选C.
评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题.
24.答案：B
解析一：若两直线平行，则，
解得a＝－6，故选B.
解析二：利用代入法检验，也可判断B正确.
评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力.
25.答案：A
解析：圆的标准方程为：（x－1）2+（y－2）2=5.圆过坐标原点.直线l将圆平分，也就是直线l过圆心C（1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.
当直线l过圆心与x轴平行时，k=0，
当直线l过圆心与原点时，k=2.
∴当k∈［0，2］时，满足题意.
评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法.
26.答案：B
解析：A中过点P0（x0，y0）与x轴垂直的直线x=x0不能用y－y0=k（x－x0）表示，因为其斜率k不存在；C中不过原点但在x轴或y轴无截距的直线y=b（b≠0）或x=a（a≠0）不能用方程=1表示；D中过A（0，b）的直线x=0不能用方程y=kx+b表示.
评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.
27.答案：C
解析：将两圆方程分别配方得（x－1）2＋y2＝1和x2＋（y－2）2＝4，两圆圆心分别为O1（1，0），O2（0，2），r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝，又1＝r2－r1＜＜r1＋r2＝3，故两圆相交，所以应选C.
评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法.
28.答案：D
解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D.
评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力.
29.答案：B
解析：直线方程可化为2x－y=0，d=.
评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.
30.答案：60°
解析：因为直线y=x+3的倾斜角为60°，而y=1与x轴平行，所以y=1与y=x+3的夹角为60°.
评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想.
31.答案：a=4±
解析：因过A（－1，0）、B（0，2）的直线方程为：2x－y+2=0.圆的圆心坐标为C（1，a），半径r=1.又圆和直线相切，因此，有：d==1，解得a=4±.
评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识.
32.答案：2
解析：圆心到直线的距离d＝＝3
∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2
33.答案：2
解法一：∵点P在直线3x+4y+8=0上.如图7—9.
∴设P（x，x），C点坐标为（1，1），
S四边形PACB＝2S△PAC
＝2··|AP|·|AC|＝|AP|·|AC|＝|AP|
∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1
∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小．
∴|PC|2＝（1－x）2＋（1＋2＋x）2＝
∴|PC|min＝3∴四边形PACB面积的最小值为2．
解法二：由法一知需求|PC|最小值，即求C到直线3x+4y+8=0的距离，∵C（1，1），∴|PC|==3，SPACD=2.
34.答案：
解法一：圆的圆心为（0，1）
设切线的方程为y＝k（x＋2）.如图7—10.
∴kx＋2k－y＝0∴圆心到直线的距离为＝1
∴解得k＝或k＝0，
∴两切线交角的正切值为．
解法二：设两切线的交角为α
∵tan，∴tanα＝．
35.答案：
解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11.
当斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2
∴kx－y＋2＝0
∴圆心到切线的距离为＝1∴k＝，
即tanα＝
当斜率不存在时，直线x＝0是圆的切线
又∵两切线的夹角为∠α的余角
∴两切线夹角的正切值为
36.答案：F1（a，b）≠0，或F2（a，b）≠0，或F1（a，b）≠0且F2（a，b）≠0或C1∩C2=或PC1等
解析：点P（a，b）C1∩C2，则
可能点P不在曲线C1上；
可能点P不在曲线C2上；
可能点P既不在曲线C1上也不在曲线C2上；
可能曲线C1与曲线C2不存在交点.
37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c－a）x+2（d－b）y+a2+b2－c2－d2=0
解析：设圆方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2①
（x－c）2＋（y－d）2＝r2②
（a≠c或b≠d），则由①－②，得两圆的对称轴方程为：
（x－a）2－（x－c）2+（y－b）2－（y－d）2=0，
即2（c－a）x+2（d－b）y+a2+b2－c2－d2=0.
评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力.
38.答案：（x－1）2+（y－1）2=1
解析一：设所求圆心为（a，b），半径为r.
由已知，得a=b，r=|b|=|a|.
∴所求方程为（x－a）2+（y－a）2=a2
又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a）2+a2=a2，∴a=b=r=1.
故所求圆的方程为：（x－1）2+（y－1）2=1.
解析二：因为直线y=x与x轴夹角为45°.
又圆与x轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r=1.
评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果.
39.答案：3或7
解析：当两圆外切时，r=3，两圆内切时r=7，所以r的值是3或7．
评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义.
40.答案：x+y－4=0
解析一：已知圆的方程为（x－2）2+y2=9，可知圆心C的坐标是（2，0），又知AB弦的中点是P（3，1），所以kCP==1，而AB垂直CP，所以kAB=－1.故直线AB的方程是x+y－4=0.
解析二：设所求直线方程为y－1=k（x－3）.代入圆的方程，得关于x的二次方程：
（1+k2）x2－（6k2－2k+4）x+9k2－6k－4=0，由韦达定理：x1+x2==6，解得k=1.
解析三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有
②－①得（x2+x1－4）（x2－x1）+（y2－y1）（y2+y1）=0
又AB的中点坐标为（3，1），∴x1+x2=6，y1+y2=2.
∴=－1，即AB的斜率为－1，故所求方程为x+y－4=0.
评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质.
41.答案：（x+2）2+（y－3）2=4
解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x+2）2+（y－3）2=4.
42.解：设动点P的坐标为P（x，y）
由=a（a>0），得=a，化简，
得：（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a≠1时，得x2+x+c2+y2=0.整理，
得：（x－c）2+y2=（）2
当a=1时，化简得x=0.
所以当a≠1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，||为半径的圆；
当a=1时，P点的轨迹为y轴.
评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.
43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.
解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，
所以|x+1|=.化简得：y2=4x.
（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）.
由消y得3x2－10x+3=0，
解得x1=，x2=3.
所以A点坐标为（），B点坐标为（3，－2），
|AB|=x1+x2+2=.
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，
解得y=－.
但y=－不符合①，
所以由①，②组成的方程组无解.
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由得y=2，
即当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2.
又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2，
|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，
|AB|2=（）2=.
当∠CAB为钝角时，cosA=<0.
即|BC|2>|AC|2+|AB|2，即
，即
y>时，∠CAB为钝角.
当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即
，即y<－时，∠CBA为钝角.
又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即，
即.
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
.
解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2.
圆心（）到直线l：x=－1的距离为，
所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）.
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
过点A且与AB垂直的直线方程为.
令x=－1得y=.
过点B且与AB垂直的直线方程为y+2（x－3）.
令x=－1得y=－.
又由解得y=2，
所以，当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－或y>（y≠2）.
评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.
44.解：设点P的坐标为（x，y），由题设有，
即．
整理得x2+y2－6x+1=0． ①
因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，
所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±，
直线PM的方程为y=±（x＋1）．②
将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．
解得x＝2＋，x＝2－．
代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；（2＋，－1－）或（2－，1－）．
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．
45.解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.
令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.
|y1－y2|==2，得r2=a2+1 ①
令y=0，得x2－2ax+a2+b2－r2=0，
|x1－x2|=，得r2=2b2 ②
由①、②，得2b2－a2=1
又因为P（a，b）到直线x－2y=0的距离为，
得d=，即a－2b=±1.
综上可得或解得或
于是r2=2b2=2.
所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.
46.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为r，故
r2＝2b2，
又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，
从而有2b2－a2＝1
又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝，
所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值，
由此有解方程得或
由于r2＝2b2，知r＝，
于是所求圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.
47.（1）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.
因为A、B在过点O的直线上，所以，
又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）
由于log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，
所以OC的斜率和OD的斜率分别为
.
由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上.
（2）解：由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得x2＝x13
将其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1.
由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是点A的坐标为（，log8）.
评述：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力.
48.解：（1）当1－2t＞0即0＜t＜时，如图7—13，点Q在第一象限时，此时S（t）为四边形OPQK的面积，直线QR的方程为y－2=
t（x+2t）.令x=0，得y=2t2＋2，点K的坐标为（P，2t2＋2）.
当－2t+1≤0，即t≥时，如图7—14，点Q在y轴上或第二象限，S（t）为△OPＬ的面积，直线PQ的方程为y－t=－（x－1），令x=0得y=t+，点L的坐标为（0，t+），S△OPL＝
所以S（t）＝
（2）当0＜t＜时，对于任何0＜t1＜t2＜，有S（t1）－S（t2）＝2（t2－t1）［1－（t1＋t2）＋（t12＋t1t2＋t22）］＞0，即S（t1）＞S（t2），所以S（t）在区间（0，）内是减函数.
当t≥时，对于任何≤t1≤t2，有S（t1）－S（t2）＝（t1－t2）（1－），
所以若≤t1≤t2≤1时，S（t1）＞S（t2）；若1≤t1≤t2时，S（t1）＜S（t2），所以S（t）在区间［，1］上是减函数，在区间［1，＋∞内是增函数，由2［1＋（）2－()3］＝＝S（）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t1＜≤t2＜1，S（t2）＜≤S（t1），于是S（t）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞，且S（t）在（0，1内是减函数，在［1，＋∞内是增函数.
49.解：如图7—15，设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|}，（λ>0为常数）
因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1.
设点M的坐标为（x，y），则
整理得（λ2－1）（x2+y2）－4λ2x+（1+4λ2）=0
当λ=1时，方程化为x=，它表示一条直线，该直线与x轴垂直，交x轴于点（，0）；
当λ≠1时，方程化为（x－）2+y2=它表示圆心在（，0），半径为的圆.
评述：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.
●命题趋向与应试策略
在近十年的高考中，对本章内容的考查主要分两部分：
（1）以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类：
①与本章概念（倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等）有关的问题；
②对称问题（包括关于点对称，关于直线对称）要熟记解法；
③与圆的位置有关的问题，其常规方法是研究圆心到直线的距离．
（2）以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大．
预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化．
本章内容在高考中处于比较稳定状态，复习时应注意以下几点：
1.抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率
本章所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决.
2.在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面
（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围.
（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解.
（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论.
（4）要学会变形使用两点间的距离公式
求直线l上两点（x1，y1），（x2，y2）的距离时，一般使用d=；当已知直线l的斜率k时，可以将上述公式变形为
（其中α为直线l的倾斜角）
特别地，当求直线l被圆锥曲线所截得的弦长时，把直线的方程代入圆锥曲线的方程，整理成关于x或y的一元二次方程时，一是要充分考虑到“Δ≥0”的限制条件，二要注意运用韦达定理的转化作用，充分体现“设而不求法”的妙用.
（5）灵活运用定比分点公式、中点坐标公式，在解决有关分割问题、对称问题时可以简化运算.掌握对称问题的四种基本类型的解法.即①点关于点对称②直线关于点对称③点关于直线对称④直线关于直线对称.
（6）在由两直线的位置关系确定有关字母的值，或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.
（7）理解用二元一次不等式表示平面区域，掌握求线性目标函数在线性约束下的最值问题，即线性规划问题，会求最优解，并注意在代数问题中的应用.
3.加强思想方法训练，培养综合能力
平面解析几何的核心是坐标法，它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系.
在对本章复习中，应注意培养用坐标法分析问题观点，养成自觉运用运动变化的观点解决问题的能力.加强与正比例函数、一次函数等知识的联系，善于运用函数的观点方法处理直线方程问题.
对本章知识的综合上,重点掌握直线方程的四种特殊形式与斜率、截距、已知点等特征量之间的关系,知道了特征量就能准确地写出方程，反之亦然.在平时要经常做这方面的训练.
图7—1
图7—2
图7—3
图7—4
图7—5
图7—6
图7—7
图7—8
图7—9
图7—10
图7—11
①
②
图7—12
①
②
图7—13
图7—14
图7—15
|
|
