2020广东省高考数学押题导航卷01（新课标Ⅰ卷）理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的）1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知集合，，根据集合的交集的运算得到
，故选A.2．复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】
，所以复数在复平面内的点为，在第三象限，故选C.3．设a＝log2π，，c＝π－2，则（）A．a>b>cB．a>c>bC．b>
a>cD．c>b>a【答案】B【解析】∵a＝log2π>log22＝1，，0为正数，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，所以..则，故选B.5．设函数，则函数的图象大致
为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，函数的定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；当时，
排除B；，排除A.故选D.6．已知直线和的夹角为，则实数m的值是（）A．或B．或3C．或3D．或【答案】C【解析】直线和的夹角
为，可得，解得或.故选C7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．C
．D．【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故V．故
选D．8．已知抛物线在点处与直线相切，则的值为（）A．20B．9C．D．2【答案】C【解析】由题意得：，解得：，又，解得：，
，故选C.9．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》?2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科
文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均
与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下
珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（
其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选定“个
位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事
件总数n＝24＝16，这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，这个数
能被3整除的概率为P，故选B．10．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2
C,则cosC的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，由正弦定理,可得,可得，，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，又
，可得，可得，，可得，，则为锐角，解得.故选A．11．抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交
于点A，，垂足为K，则的面积是（）A．4B．C．D．8【答案】C【解析】由抛物线可得,因为斜率为,则直线方程为,联立,消
得,解得,,因为交点在轴上方,所以,则,则,则由抛物线定义可得,因为直线斜率为,即倾斜角为,因为,所以轴,即,所以,故选C.12．
正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示，
设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.因为，故，因为，故.由正弦定理可得，故，又因为，故.因为，故平
面，所以，因为平面，平面，故，故，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.故选D.二、填空题（本大
题共4小题，每小题5分，共20分）13．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若5a2＝S5+5，则数列{an}的公差为_____．
【答案】-1【解析】设等差数列{an}的公差为d．∵5a2＝S5+5，∴5（a1+d）＝5a1+10d+5，解得d＝﹣1．故填﹣1
．14．某学生一学期的5次模拟考试中数学平均成绩70，物理平均成绩68.该班主任老师通过研究发现该学生的数学成绩和物理成绩具有线性
相关关系，现已知其线性回归方程为，则根据此线性回归方程预测该学生期末考试中数学成绩得90分时的物理成绩为________．【答案】
75【解析】，.，，即线性回归方程为.当时，.故填.15．在中，，边上的高为，则的最小值为.【答案】－5【解析】以为轴，的垂直平
分线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，所以当时取得最小值－5.故填－5.16．已知点F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞
0）的左、右焦点，点M（x0，y0）（x0＜0）为C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交
于点N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，则双曲线C的离心率为_____．【答案】【解析】如图所示：由题意可得，直线F1M与圆O
相切于点M，且|MF1|＝b，由双曲线的定义可知，2a＝|NF1|﹣|NF2|＝|MN|+|MF1|﹣|NF2|，∵|MN|＝|N
F2|+|OF2|，且|OF2|＝c，∴2a＝b+c，即b＝2a﹣c，∴b2＝（2a﹣c）2＝c2﹣4ac+4a2，又b2＝c2﹣
a2，联立解得4c＝5a，即e．故填．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题
满分12分）设函数.（1）求的单调增区间；（2）在中，若，且，求的值.【解析】（1）由题意，，化简得，，由可得，所以的单
调增区间为；（2）由（1）知，所以，解得，所以，由，得，在中，由正弦定理可得：，解得，由，可得，，在中，由余弦定理可得：，解得.
18．（本小题满分12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，平面BB1C1C⊥平面ABC，BC1＝C1C．（1）求证
：A1B⊥平面AB1C1；（2）求二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．【解析】（1）证明：设直线AB1与直线BA1交于点G，连结C1
G，∵四边形ABB1A1是菱形，∴A1B⊥AB1，∵BC1＝C1C＝C1A1，G为A1B的中点，∴C1G⊥A1B，∵AB1∩C1G
＝G，∴A1B⊥平面AB1C1．（2）取BC中点O为坐标原点，如图，分别以OA，OC，OC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐
标系：设棱柱的棱长为2，则C（0，1，0），C1（0，0，），A（，0，0），B（0，﹣1，0），（，0，），（，1，0），（0，
2，0），设平面A1AC1的一个法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，1），设平面AB1C1的一个法向量为（a，b，c），
则，取x＝1，得（1，0，1），设二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角为θ，则cosθ．∴二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值为．19．（
本小题满分12分）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于，两点，求的取
值范围.【解析】（1）由条件知解得因此椭圆的方程为.（2）设，，则，，设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得，由韦达定理得，，
，，，，所以.20．（本小题满分12分）某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分
预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分
布直方图．（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的
概率；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预
赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91
分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决
定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k（k∈(1，2n））；③
每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每
题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？（参考数据：；若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜
Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973.）【解析】（1
）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：（0.0125+0.0075）×20×100＝40人，其中成绩优良的人数为0.0075
×20×100＝15人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，则恰有1人预赛成绩
优良的概率：P（C）．（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.2
5+90×0.15＝53，则μ＝53，又由σ2＝362，∴σ＝19，∴P（Z≥91）＝P（Z≥μ+2σ）0.02275，∴估计全市
参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：8000×0.02275＝182，即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182
．（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ
，∴EX＝1.5Eξ＝1.05n，依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：0.1×（1+2+3+…+n）＝0.05（n
2+n），设甲答完n题的分数为M（n），则M（n）＝100﹣0.05（n2+n）+1.05n＝﹣0.05（n﹣10）2+105，由
于n∈N，∴当n＝10时，M（n）取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该
是10．21．（本小题满分12分）设函数.（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；（2）若，，，且当时，不等式恒成立，试
求的最大值.【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，，令，∴，.令，则由题意可知：直线与函数的图像有两个不同的交点.，令则.在上单
调递增，在上单调递减，，又因为，在上递增，当，；又当，.∴，又在递减.当，，结合，，图像易得.实数的取值范围为.（2）当时，.即：
，∵，∴.令，则.令.则.∴在上单调递增...∴函数在上有唯一零点，即：.∴时，.即.当时，，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为4.请考
生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4
-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.设直线与的交点为，当变化时的点的
轨迹为曲线.（1）求出曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设射线的极坐标方程为且，点是射线与曲线的交点，求点的极径.【解析】（1）直线的普通方程为，直线的普通方程为联立直线，方程消去参数，得曲线C的普通方程为，整理得．（2）设Q点的直角坐标系坐标为，由可得代入曲线C的方程可得，解得（舍），所以点的极径为．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式：；（2）若使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1），即，①当时，不等式为，即，是不等式的解；②当时，不等式为，即恒成立，∴是不等式的解；③当时，不等式为，即，是不等式的解．综上所述，不等式的解集为．（2），的最小值为，又，使得成立，，解得.第1页共15页 |
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