22．（本题满分9分）
形ABCD的外部，连接CE，AG，作CE的中点M，连接MB，发现BM与AG存在一定的关
学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖
系，请直接写出其中的一种.
品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请
设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23.（本题满分9分）
问题情境
24．（本题满分12分）
在综合与实践课上，老师让同学们用“两个大小不等的正方形纸板旋转，探究图形
间的关系”.如图1，正方形ABCD与正方形BEFG的公共顶点是点B，点E在边AB上，
2
如图，关于x的二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，
点G在边BC上.把正方形BEFG绕点B旋转α（0°<α<135°），点P是DF的中点，
与y轴交于点C(0,3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
连接EP.
（1）求二次函数的表达式；
探究发现
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（1）如图2，勤奋小组的同学，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°，发现CE=2PE.
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N
请你判断他们的发现是否正确.若正确，请证明；若不正确，请写出你的发现，并说
从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到
明理由；
达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出
探究实验
最大面积．
（2）如图3，创新小组的同学，把正方形BEFG绕点B逆时针旋转90°，发现PC
与PE既有数量关系也有位置关系，请你写出，并证明；
探究拓广
（3）如图4，创意小组的同学，把正方形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E在正方
数学试题第7页（共8页）数学试题第8页（共8页）
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