湖北省高等教育自学考试大纲
课程名称：抽象代数课程代码：2009
第一部分课程性质与目标
课程性质与特点
《抽象代数》是湖北省高等教育自学考试数学教育专业本科的一门重要的专业基础课。作为代数学的一门重要的入门课程，具有高度的抽象性，它的研究对象是各种代数结构以及它们之间的内在联系，它的思想和方法已渗透到数学的几乎所有的分支。《抽象代数》的许多内容对于中学数学教学也具有重要的指导意义，作为数学教育专业的学生，学习抽象代数的基础知识，掌握其基本理论和基本思想方法是十分必要的，对于学生加深理解数学的基本思想和方法,提高抽象思维能力,培养数学修养都具有重要意义。不仅如此，它的理论也已应用到自然科学技术的许多方面，已成为物理、通信、系统工程、计算机科学等领域的研究人员的基本工具。
抽象代数是数学教育专业的必修课程，根据高等教育自学考试课程设置的相关规定，该课程代码为2009，总教学时数为80学时，6学分，所需预修课程是《高等代数》或《高等代数与解析几何》。
《抽象代数》的主要内容包括群、环、域的基本概念和基本性质。
课程目标与基本要求
通过本课程的学习使学生了解抽象代数的基本概念，常用术语，掌握抽象代数的基本思想和推理方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、综合应用知识解决有关实际问题的能力和自学能力，为后续课程的学习提供条件，为学生今后从事数学教学和数学研究工作奠定扎实的理论基础。
自学应考者在理解抽象的代数结构时，应从熟悉的常见例子出发来理解抽象的代数结构(如从整数集合、剩余类集合、一个非空集合上的所有可逆变换来引出群的概念；从整数集合、剩余类集合、域上的多项式集合、域上的方阵集合等来引出环、域的概念等)。
大纲中少量加号的内容自学应考者可根据实际情况决定是否自学。
自学应考者可以阅读一些关于抽象代数应用的例子和有关抽象代数发展历史的资料，激发学习兴趣，培养和提高自学能力。
坚持做好课后练习，在整个自学过程中，都要按计划选作一定数量的课后练习，并要求在复习基本知识的基础上完成。
与本专业其他课程的关系
《抽象代数》是代数学的入门课程，它与数学教育专业的重要基础课《高等代数》、
《解析几何》的内容紧密相连，与数学专业的其他课程如《初等数论》、《离散数学》、《代数编码》等也有很密切的联系。
第二部分考核内容与考核目标
第1章基本概念
学习目的与要求
本章介绍抽象代数的一些最基本概念和处理问题的一般方法，通过本章的教学使学生对本课程的性质、内容和方法有一个初步的、概括的了解。
课程内容
§1集合、映射
1.集合及其卡氏积2.映射3单射、满射、双射
4变换5．映射的合成、逆映射
§2关系、等价关系与集合的分类
1.关系、2等价关系与分类
§3代数运算、代数系
1代数运算、代数系2.运算表
3.基本运算律(结合律、交换律、分配律)4同余关系
§4同态与同构
1.基本概念2.基本性质
考核知识点与考核目标
（一）集合、映射、变换、映射的合成、等价关系、集合的分类、代数运算、同态与同构的定义（重点）。
识记：集合、单、满、双射、变换、集合的卡氏积、等价关系的定义。
理解：映射的合成、代数运算的定义、同态与同构的定义。
应用：会判断一个给定的映射是单、满、双射；会做映射的合成运算；会找一个有限集合上的等价关系；会判断一个给定的关系是否是等价关系；会由等价关系找集合的分类和由集合的分类找集合上的等价关系；会判断两个代数系之间的映射是否是同态或同构。
（二）可逆映射、关系、基本运算律、同余关系（次重点）。
识记：可逆映射、关系、基本运算律、同余关系。
理解：可逆映射与双射之间的关系。
应用：利用同余关系的定义判断一个给定等价关系是否是同余关系。
（三）商集、自然同态、同态、同构的基本性质（一般）。
识记：商集、自然同态的定义。
理解：同态、同构的基本性质。
应用：利用同态、同构的基本性质判断两个代数系之间的关系。
第2章群
学习目的与要求
本章介绍群、子群、正规子群、商群及同态基本定理等内容，通过本章的学习使学生掌握群论的基本知识和研究群的基本方法，进而让学生了解处理抽象的代数结构的基本方法，并为后继各章的学习作好准备。
本章是这门课程的重点。
本章教学内容
§1半群、群
半群、子半群及其性质2.群、子群
3.群的判定4子群的判定
§2群的基本性质
1.群的基本性质2.群中元素的阶的性质
§3群的同态与同构
1.群的同态与同构的概念2.基本性质
§4子群的生成及循环群
1子群的性质及生成2.循环群的概念
3循环群的个数4.循环群的构造与性质
§5变换群、置换群
1.变换群与置换群的概念2.凯莱定理
§6子群的陪集
1.陪集的概念2.拉格朗日定理
§7正规子群与商群
正规子群及其例子2.正规子群的判定
3.正规子群的若干性质4.商群
§8群的同态定理
群的同态映射的性质2.群的同态定理
考核知识点与考核目标
（一）群、子群、循环群、置换群、陪集、拉格朗日定理、正规子群、商群（重点）。
识记：群与子群的定义、循环群、置换群、正规子群、商群的定义。
理解：群的基本性质、循环群的基本性质、拉格朗日定理、群中元素的阶的性质，掌握的基本性质、元素的运算。
应用：利用群、子群、正规子群的定义，群、子群、正规子群的判定定理判断给定的代数系是否是群、子群、正规子群；熟练掌握置换群中元素的运算性质。
（二）半群、群的同态与同构的概念、基本性质（次重点）。
识记：半群、群的同态与同构的概念。
理解：群同态的基本性质。
应用：利用群的同态与同构的概念、基本性质判断给定的群之间的映射是否是群同态、群同构。
（三）变换群、凯莱定理（一般）。
识记：变换群的定义。
理解：凯莱定理。
应用：利用凯莱定理找出一个有限抽象群对应的置换群。
第3章环
学习目的与要求
本章在第一、二章的基础上进一步学习具有两个代数运算的代数系统——环和域，介绍环、域、子环、理想、商环、环同态基本定理等内容，并给出域的两种构造方法，将整数环的一些性质推广到一般的整环上等。通过本章的学习使学生掌握环和域的基本知识和基本思想方法，为进一步学习打好基础。
本章教学内容
§1环的定义与基本性质
1.环的定义2.环的基本性质
§2整环、除环和域
1.交换环2有单位元环3无零因子环
4．整环、除环和域
§3子环
1.子环的定义与判定2.环同态、核与像
§4理想和商环
1.理想的定义与判定2.主理想
3.商环
§5有关环同态的基本定理
1环的同态基本定理2环的同构定理
§6商域和极大理想
1商域2极大理想
§7唯一分解环
1.唯一分解环2.主理想整环3欧氏环
5.商域6.极大理想
三、考核知识点与考核目标
（一）环、整环、除环、域、子环、理想、主理想、商环（重点）。
识记：环与子环的定义，整环、除环、域、理想、主理想、商环的定义。
理解：环、整环、域等的基本性质；熟练掌握整数环、高斯整环、剩余类环、多项式环的基本性质。
应用：利用环、子环、理想、商环的定义，环、子环、理想的判定定理判断给定的代数系是否是环、子环、理想、商环；会证明几种常见的环是否是主理想环；掌握主理想中元素的几种表达形式。
（二）环的同态基本定理、环的同构定理（次重点）。
理解：环同态的核与像、环的同态基本定理、同构定理。
应用：会求给定的环同态的核与像；能简单利用环的同态基本定理及基本性质判断给定的环之间映射是否是环同态。
（三）唯一分解环、主理想整环、欧氏环、商域、极大理想（一般）。
识记：唯一分解环、主理想整环、欧氏环、商域、极大理想的定义。
理解：唯一分解环与主理想整环、欧氏环三者之间的关系；理解域的两种构造方法。
应用：利用欧氏环的定义判断某些环是否是欧式环；会判断某些环的理想是否是极大理想。
第4章域
学习目的与要求
通过本章内容的学习，掌握域的基本知识，特别是掌握域的单扩张的结构，了解有限域及其应用。
二、本章教学内容
§1域的基本知识
1.域的特征2与特征有关的基本性质
§2子域和扩张
1.域上的向量空间2.维数公式3.素域及其相关结论
§3域的单扩张
1.单超越扩张的结构2单代数扩张的结构
§4有限域
1有限域的特征2有限域的结构3有限域的构造
§5有限域的一个应用—纠错编码
1码的定义及其基本参数2线性码的定义、生成矩阵、检验矩阵
3Hamming码
三、考核知识点与考核目标
（一）域的基本性质、素域、域上的向量空间、维数公式、单代数扩张的结构（重点）。
识记：域的基本性质、素域、维数公式。
理解：域上的向量空间的定义、单代数扩张的结构。
应用：利用单代数扩张的定理判断单代数扩张中元素的表达形式，作为向量空间的维数及其基底。
（二）有限域的特征、结构、构造（次重点）。
识记：有限域的特征、有限域中元素的个数。
理解：有限域的加群和乘群的结构。
（三）单超越扩张的结构、纠错编码（一般）。
识记：码的定义及基本参数。
理解：线性码的定义、生成矩阵、检验矩阵。
第三部分有关说明与实施要求
考核的能力层次表述
本大纲在考核目标中，按照“识记”、“理解”、“应用”三个能力层次规定其应达到的能力层次要求。各能力层次为递进等级关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义是：
识记：能知道有关的名词、概念、知识的含义，并能正确认识和表述，是低层次的要求。
理解：在识记的基础上，能全面把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有关概念、原理、方法的区别与联系，是较高层次的要求。
应用：在理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点分析和解决有关的理论问题和实际问题，是最高层次的要求。
教材
指定教材
《抽象代数》（2004年版），朱德高、刘宏伟主编，湖北教育出版社
参考教材
(1).《近世代数基础》，张禾瑞著，高等教育出版社，1978年5月第1版。
(2).《抽象代数》，华中师范大学《抽象代数》编写组编，华中师范大学出版社，2000年8月第1版。
(3).《近世代数基础》，刘绍学著，高等教育出版社，1999年10月第1版。
(4).《近世代数》，熊全淹编著，武汉大学出版社，1991年12月新2版。
自学方法指导
1、在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点及对知识点的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。
2、阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。
3、在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，把教材中的基本概念、原理、方法等加以整理，这可从中加深对问题的认知、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个内容，可以不断提高自学能力。
4、完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高能力的重要环节，在做练习之前，应认真阅读教材，按考核目标所要求的不同层次，掌握教材内容，在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥，注重理论联系实际和具体问题具体分析，解题时应注意培养逻辑性，针对问题围绕相关知识点进行层次（步骤）分明的论述或推导，明确各层次（步骤）间的逻辑关系。
对社会助学的要求
助学学时：本课程共6个学分，建议总课时80学时，其中助学课时分配如下：
章次 内容 学时 第一章 基本概念 10 第二章 群 32 第三章 环 22 第四章 域 16 合计 80
关于命题考试的若干规定
本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试内容。试题覆盖到章，适当突出重点。
试卷中对不同能力层次的试题比例大致是：“识记”为___20____﹪、“理解”为__40_____﹪、“应用”为___40____﹪。
试题难易程度应合理：易、较易、较难、难比例为2：3：3：2。
每份试卷中，各类考核点所占比例约为：重点占60﹪，次重点占25﹪，一般占10﹪。
试题类型一般分为：单项选择题、填空题、简答题、计算题、证明题。
考试采用闭卷笔试，考试时间为150分钟，采用百分制评分，60份合格。
附录：题型示例（样题）
单项选择题。
1.设G是有限群，aG,且a的阶|a|=12,则G中元素的阶为()
A．2B.3C.6D.9
填空题
1、设集合A={x,x,x},则A×A=.∣A×A∣=.在A上可以定义不同的二元运算有种。
简答题
1、写出模8剩余类环（Z，，o）中的元素,并给出Z中的元素在“”和”o”之下的运算表。
计算题
1．在有理数域的扩域Q（）中，求1+的逆。
证明题
1、设H，H，…，H，…是群G的子群，且有HH…H…，证明：是群G的子群。
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