湖北省高等教育自学考试大纲
课程名称：概率论与数理统计（一）课程代码：2010
第一部分课程性质与目标
课程性质与特点
《概率论与数理统计》是湖北省高等教育自学考试数学教育专业本科的一门主要的专业基础课程。概率论起源于赌博问题的研究，他是一门研究随机现象数量规律的学科，而数理统计的两大重要任务是研究如何获得有效数据及如何对所收集到的数据进行分析、整理，从而在此基础上作出科学的统计推断。概率论与数理统计是一门应用极为广泛的学科，它本身具有独特的思想方法和丰富的研究课题，同时具有严谨的数学基础，概率论与数理统计的思想、方法和内容与其它学科相互渗透而产生了一些边缘学科，如统计物理、生物统计、体育统计、信息论、排队论、社会统计等。它在各个工程技术学科、社会学科、近代物理、无线电与自动控制、产品型号的管理、医药和农业试验、金融和保险业等都具有重要的应用。它已渗透到我们社会生活与经济活动的各个领域。
目前国家在各级教育机构中对概率论与数理统计的教育极为重视，它已成为独立于数学的国家一级学科，同时在中小学的数学教育中已渗透了许多概率论与数理统计的思想方法和内容，特别是在高中数学中作为高中数学教育的四大平台之一。而在高等教育中各理工科甚至部分文科都将其作为本专科学生的必修课程。因此概率论与数理统计是学生进一步深造和做一名合格的中学数学教育工作者的必备基础。
根据高等教育自学考试课程设置的相关规定，该课程代码为2010，总教学时数为105学时，7学分，所需预修课程是《线性代数》与《微积分》的基础知识。
课程目标与基本要求
通过本课程的学习要求学生掌握概率论与数理统计的基本概念，常用术语。掌握概率论与数理统计的基本思想和计算方法。培养随机思维的能力。注重概率论与数理统计基础内容的广泛实用性和实际背景。能较熟练地利用概率论与数理统计的思想方法认识和解决现实生活中的实际问题，提高学生认识和解决实际问题的能力，为学生今后从事更深入广泛的研究和中学数学课程的教学打下扎实的基础。
自学应考者在学习概率论与数理统计课程时，应从理解问题的实际背景出发，灵活运用相关的数学知识，理解概率论与数理统计的相关概念（如事件与集合的联系、事件的关系及运算与集合的关系及运算的关系）。在具备一定数学基础的前提下，应注重概率论与数理统计的基本思维方法和基本计算特点。注重概率论与数理统计结果的直观解释。同时学生可阅读一些关于概率论和数理统计处理实际问题的典型案例及发展的历史资料，以培养和提高自学能力。
在整个自学过程中，应坚持做好在复习基本知识的基础上，按计划选做一定数量的课后练习，以达到检验学习效果，巩固所学知识的作用。
与本专业其它课程的联系
《概率论与数理统计》是统计学的基础课程。它以数学专业的重要基础课《高等代数》（或《线性代数》）、《数学分析》（或《微积分学》）、《微分方程》课程作为基础。它也是其它理工科专业考研的重要内容。同时也可为学生学习其它专业知识，从事相关研究打下基础。
第二部分考核内容与考核目标
概率论基础部分
事件与概率
一、学习目的与要求
本章介绍随机现象及其统计规律性；样本空间及随机事件，古典概型，几何概型及概率空间。要求学生通过实例理解随机现象及其统计规律，掌握随机事件的关系及运算，掌握古典概型、几何概型的基本特征，计算公式及概率计算方法，掌握概率的基本性质及其应用，理解概率与事件的公理化结构。
二、课程内容
§1随机现象与统计规律性
1.随机现象2.概率的统计定义
§2样本空间与事件
1.样本空间与事件2.事件的关系及运算3.有限样本空间
§3古典概型
1.模型与计算公式2.基本的组合分析公式3.概率计算的例子
4.应用实例5.基本性质
§4几何概型
1.模型与计算公式2.蒲丰问题3.几何概率的基本性质
§5概率空间
1.概率的公理化定义2.概率的性质
三、考核知识点与考核目标
（一）本章学习重点是随机现象与统计规律性，样本空间与事件，古典概型。
识记：事件关系及运算的定义、古典概型的基本特征及计算公式，概率的基本性质。
理解：随机现象的统计规律性，事件关系及运算与集合关系及运算的关系，频率与概率的关系。
掌握：能用已知事件的关系式表示其它事件，这是概率计算的基础。能运用古典概率的基本特征和计算公式判断古典概型和计算古典概率。能运用概率的基本性质计算概率，判断有关的概率命题。
（二）本章次重点是几何概型
识记：几何概型的基本特征及计算公式。
理解：几何概型与古典概型的联系，几何概型等可能性特征的表述。
掌握：几何概型的概率计算方法和基本步骤。
（三）本章一般内容为概率空间的概念
识记：概率的公理化结构。
理解：事件的公理化结构，概率的连续性。
掌握：在公理化结构下，概率运算的加法性质，能运用概率公理判断有关概率问题，运用概率性质计算概率。
第二章条件概率与统计独立性
一、学习目的与要求
本章介绍条件概率及与条件概率有关的乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式；介绍事件
的独立性和试验独立性的概念，重复贝努里试验及相关分布，掌握条件概率的意义及其计算
方法，掌握乘法公式、全概率公式，贝叶斯公式的直观意义及其应用，理解事件独立性，试
验独立性的概念及其直观意义，掌握独立事件的概率计算方法，掌握与重复贝努里试验有关
的一些分布及其应用。
二、本章教学内容
§1条件概率
1.条件概率的定义2.有关条件概率的三个定理
§2事件独立性
1.两个事件的独立性2.多个事件的独立性3.相互独立事件的概率计算
4.试验的独立性
§3贝努里概型
1.贝努里试验2.贝努里试验中的一些概率分布
§4推广的贝努里试验及多项分布
考核知识点与考核目标
（一）本章重点：条件概率的定义及其意义；乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式；事件的独立性；二项分布，泊松分布；
识记：条件概率的定义及意义，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，二项分布，泊松分布。
理解：事件独立性的直观意义，贝叶斯公式的作用，试验独立性的直观意义，贝努里概型的特征。
掌握；掌握条件概率的计算方法，能熟练应用乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式计算较复杂事件的概率。能根据事件独立性的定义判断或证明在一定条件下两个事件，三个事件的独立性。运用独立性假定计算概率，熟练掌握二项分布的概率计算问题。事件独立与不相关的关系。
（二）本章次重点：贝努里概型中的几何分布，巴斯卡分布及其应用，试验独立性的概率。
（三）一般内容：推广的贝努里试验及多项分布。多个事件独立性的定义及直观解释。
第三章一维随机变量
一、学习目的及要求
本章讨论一维随机变量及其分布函数的概念。研究分布函数的性质，讨论一维离散型和连续型随机变量及其常用的分布。特别是二项分布和正态分布的性质和概率计算。
二、本章教学内容
§1随机变量及其分布
1.随机变量的定义2.分布函数的性质
§2常用随机变量的分布
1.离散型随机变量2.连续型随机变量
三、考核知识点与考核目标
（一）本章重点：随机变量的定义，分布函数的定义。离散型随机变量的分布列，连续型随机变量的分布函数。二项分布、泊松分布、一元正态分布。
识记：分布函数的定义及特征性质，分布列的特征性质，密度函数的特征性质。
理解：随机变量的概念，利用分布函数表示概率的公式，常用分布如二项分布、泊松分布、一元正态分布的实际意义。
掌握：利用分布函数、分布列、密度函数的特征性质验证某函数是否为分布函数、分布列、密度函数，或求出分布函数、分布列、密度函数中所含未知参数。熟练掌握由分布列求分布函数，由密度函数求分布函数，由分布函数求密度函数的方法，求随机变量分布的方法。有关二项分布、正态分布的概率计算及其应用。
（二）本章次重点：二项分布的性质，泊松分布的性质，二项分布与泊松分布的关系；几何分布及其特征，密度函数的概率意义。
识记：二项分布的性质，泊松分布的性质，指数分布的性质，均匀分布的性质。
理解：二项分布与泊松分布的关系，指数分布无记忆性的特点。
掌握；利用泊松分布近似计算二项分布的概率。
（三）本章一般内容：超几何分布和巴斯卡分布。
第四章随机向量及其函数的分布
一、学习目的与要求
本章在第三章的基础上讨论随机向量及其分布函数的概念，对于离散型及连续型随机向量讨论其边际分布和条件分布。讨论随机向量的独立性及随机向量函数的分布。要求学生理解随机变量与随机向量所讨论问题的联系与区别。主要掌握二维随机向量的情形。
二、本章教学内容
§1随机向量及其分布
1.二维随机向量及其分布2.二维离散型随机向量3.二维连续型随机向量
4.n维随机向量
§2条件分布及随机变量的独立性
1.条件分布2.随机变量的独立性3.综合例题
§3随机变量的函数及其分布
1.问题的提出2.离散型随机变量（向量）函数的分布3.连续型随机变量的分布
4.随机变量的函数的独立性
三、考核知识点及考核目标
（一）本章重点内容：二维随机向量及其分布，二维离散型、二维连续型随机向量的条件分布、边沿分布及随机变量的独立性。单个随机变量函数的分布。
识记：二维随机向量分布函数的定义，二维随机向量分布函数的基本性质，二维离散型随机向量分布列的基本性质，二维连续型随机向量密度函数的基本性质。二维离散型、连续型随机向量边沿分布、条件分布的计算公式。随机变量独立性的定义。
理解：随机向量与随机变量讨论问题的区别。条件分布、边沿分布的意义，随机变量独立性的直观意义。
掌握：利用二维分布函数、分布列、密度函数的基本性质求出其中的未知参数和判断是否为二维分布函数、分布列、密度函数，求二维离散型随机向量的分布、边沿分布和条件分布，并掌握其方法。掌握二维连续型随机向量边沿分布，条件分布的求法。特别是直观图形法。判断二维随机向量的独立性，二维随机向量取值的概率计算。掌握单个离散型随机变量函数分布列的求法，单个连续型随机变量函数及密度函数的求法——分布函数法。
（二）本章次重点：n维随机向量及其分布函数的概念，多个随机变量独立性的概念。
识记：n维随机向量及其分布函数的性质，n个随机变量相互独立的定义。
理解：n维随机变量相互独立的直观意义，边沿分布和条件分布的意义。
（三）本章一般内容：随机向量的函数及其分布，均匀分布的特殊地位，随机变量函数的独立性。
识记：二个连续型随机变量独立和的密度计算公式，商的密度计算公式。
理解：随机变量函数的独立性及其意义。
掌握：独立和的密度函数求法，商的密度函数求法。
第五章数字特征与特征函数
一、学习目的与要求
本章讨论随机变量的数字特征和特征函数。通过本章学习要求学生理解讨论数字特征的
意义，掌握数学期望、方差、协方差、相关系数的计算方法及其性质。掌握数学期望、方差
的实际应用。了解特征函数的概念、性质及其作用。
二、本章教学内容
§1数学期望
1.离散型随机变量数学期望2.连续型随机变量的数学期望3.一般场合
4.随机变量函数的数学期望5.多维随机向量的场合6.数学期望的基本性质
7.数学期望的应用
§2方差，相关系数，矩
1.方差2.方差的性质3.相关系数4.应用例子5.其它数字特征
§3特征函数
考核知识点及考核目标
（一）本章重点：数学期望、方差的概念、性质及应用。
识记：数学期望、方差的计算公式、性质，随机变量函数数学期望的计算公式。常用分布（二项分布、泊松分布、正态分布）的期望、方差。
理解：数学期望、方差的实际意义。
掌握：熟练掌握用定义及性质计算随机变量、随机变量函数的数学期望、方差，掌握数学期望、方差在解决实际问题中的应用。
（二）本章次重点：协方差、相关系数及各阶矩
识记：协方差、相关系数、各阶矩的定义，计算公式，不相关的概念。
理解：协方差、相关系数、各阶矩的意义。
掌握：协方差、相关系数的计算，不相关与独立的关系。
（三）本章一般内容：特征函数
识记：特征函数的定义，常用分布的特征函数。
理解：特征函数与分布函数的一一对应关系。
第六章极限定理
一、学习目的与要求
本章介绍随机变量序列的各种收敛性及其意义。要求掌握各种收敛性的概念及其意义。了解分布函数列与对应特征函数列收敛性的关系，掌握大数定律，中心极限定理的概念，意义及其作用。
二、教学内容
§1问题的提出
§2收敛性
1.分布函数弱收敛2.随机变量的收敛性
§3大数定律
1.存在二阶矩的一组大数定律2.独立同分布场合的大数定律
§4中心极限定理
1.中心极限定理2.中心极限定理的应用
三、知识点及考核目标
（一）本章重点：大数定律，中心极限定理。
识记：大数定律，中心极限定理的定义，马尔可夫条件。
理解：大数定律，中心极限定理的意义。
（二）本章次重点：随机变量序列的收敛性；独立同分布场合中心极限道理。
识记：各收敛性的定义。
理解：独立同分布场合中心极限定理的意义。
（三）本章一般内容：中心极限定理的应用。
识记：贝努里场合下中心极限定理的结果。
掌握：利用中心极限定理计算二项分布概率的方法。
数理统计部分
第一章数据的收集和整理
一、学习目的与要求
收集数据是统计的两大任务之一，而对所收集到的数据进行整理是一种初步统计的方法。本章介绍数据收集和整理的基本方法。通过本章学习，要求学生了解数理统计学的研究对象，它的任务和历史，熟知统计量的概念、性质和常用分布。掌握频率分布表，频率直方图、茎叶图的制作及其作用，掌握基本的抽样调查方法。
二、教学内容
§1数理统计概述
§2数据的收集
1.抽样调查认识社会2.试验设计认识自然
§3数据的整理
1.数据的图表示2.数据的数字特征
§4统计量
1.统计量的定义2.统计量的分布3.充分统计量
三、考核知识点和考核目标
（一）本章重点：抽样调查的基本方法，频率分布表，频率直方图的制作和作用，茎叶
图的制作和作用，样本数字特征，统计量的定义及其分布。
识记：样本数字特征——样本均值、方差、协方差、相关系数的定义，统计量的定义。正态总体的抽样基本定理及与正态总体有关的几个常用统计量的分布，Cochran分解定理。
理解：基本抽样方法之间的关系，统计量的作用。
掌握：频率统计表，频率直方图，茎叶图的制作，统计量的判别。简单统计量的分布。样本数字特征的计算，经验分布函数的求法。
（二）本章次重点
顺序统计量，充分统计量的概念及其作用。
识记：顺序统计量的定义。
理解：充分统计量的概念及其作用。
（三）本章的一般内容
试验设计的思想和方法。
第二章估计
一、学习目的与要求
参数估计是统计推断的基本问题之一，点估计与区间估计是参数估计的两类形式。通过本节学习要求学生掌握求点估计和区间估计的基本方法，点估计和区间估计的作用。
二、教学内容
§1点估计
1.矩法2.极大似然法3.无偏估计
§2区间估计
1.正态总体参数的置信区间2.一般总体未知参数的置信区间3.质量控制
三、考核知识点和考核目标
（一）本章重点
求参数点估计的两个常用方法——矩方法和极大似然法；参数点估计好的评价，区间估计。
识记：参数点估计的概念，参数区间估计的定义，无偏性，有效性的概念。
理解：点估计和区间估计的作用，无偏性的意义。
掌握：参数矩法估计量、极大似然估计量的求法。正态总体参数区间估计的求法，参数无偏估计的判断，有效性的比较。
（二）本章一般内容
一般总体参数的置信区间，质量控制。
理解：平均值控制图，极差控制图的思想和作用。
掌握：平均值控制图，极差控制图的制作。
假设检验
一、学习目的与要求
假定检验是统计推断的另一基本形式，本章介绍怎样利用样本所提供的信息来对与总体分布有关的假设作出检验，而假设检验又可分为参数假设检验与非参数假设检验，通过本章学习要求学生认识假设检验的基本思想，基本步骤和作用。
二、学习内容
§1假设检验概述
§2正态总体均值的检验
§3正态总体方差的检验
§4分布的假设检验
§5联立表的独立性检验
三、考核知识点和考核目标
（一）本章重点
假设检验的基本思想，正态总体均值，方差的检验。
识记：正态总体均值参数，方差参数统计假设的基本形式及对应假设检验的统计量，一般步骤。
理解：假设检验的基本思想和作用。
掌握：单个正态总体均值的检验方法，两个正态总体均值的比较。单个正态总体方差的检验方法，两个正态总体方差的比较。
（二）本章次重点
联立表的独立性检验。
识记：联立表独立性检验的统计量。
理解：联立表独立性检验的基本思想。
掌握：联立表独立性检验的方法。
（三）本章一般内容
分布的假设检验
识记：分布假设检验的统计量。
理解：分布假设检验的基本思想。
掌握：分布假设检验的方法。
第四章方差分析与回归分析
一、学习目的与要求
方差分析与回归分析是两种重要的统计分析方法，它们在解决实际问题中有广泛的应用。通过本章学习要求学生理解方差分析，回归分析的基本思想、任务。掌握进行方差分析、回归分析的方法。
二、教学内容
§1方差分析
§2回归分析
三、考核知识点和考核目标
（一）本章重点
回归分析的基本思想，一元线性回归，二元线性回归，回归方程的显著性检验、预测与控制。
识记：回归方程中未知参数的最小二乘法计算公式，经验回归方程的形式。
理解：回归分析的基本思想和作用，最小二乘估计的思想、方法。
掌握：回归参数的估计，回归方程的显著性检验，利用经验回归方程对因变量的预测。
（二）本章次重点
一元方差分析和一般线性回归问题。
识记：一元方差分析中总离差平方和，组间平方和，组内平方和的计算公式，检验统计量和一般线性回归的形式、参数最小二乘估计的公式。
理解：一元方差分析的基本思想——总离差平方和的分解，各平方和的含义。
掌握：一元方差分析的分析方法，因素显著性检验及检验结果的意义。
（三）本章一般内容
二元方差分析的思想及其方法。
识记：二元方差分析的问题，各平方和的计算公式，检验统计量的形式。
理解：二元方差分析的基本思想和方差。
掌握：二元方差分析中统计假设的检验和检验结果的意义。
第三部分有关说明与实施要求
一、考核的能力层次表述
考核学生对概率论与数理统计课程基本概念、基本思想的掌握。在具备基本计算能力的基础上强调提高学生解释、解决实际问题的能力。
二、教材
1.指定教材《概率论与数理统计教程》（2000年版），魏宗舒主编，高等教育出版社
推荐教材《概率论》（2005年版），陈应保、左国新、熊明主编，湖北教育出版社
《数理统计教程》（2005年版），谢民育、黄超、邱忠仪主编，湖北教育出版社
参考教材
《概率论与数理统计》，盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001年12月第三版。
《概率论基础》，李贤平编，高等教育出版社，1997年第二版。
《概率论》（第二册），高等教育出版社，1979年。
《概率论与数理统计》，梁之舜、邓集贤编，高等教育出版社，1988年第二版。
《数理统计》，茆诗松、王静龙，华东师范大学出版社，1990年。
《数理统计》，何迎辉、闵华玲，高等教育出版社，1989年。
三、自学方法指导
1、在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点及对知识点的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。
2、阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。
3、在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，把教材中的基本概念、原理、方法等加以整理，这可从中加深对问题的认知、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个内容，可以不断提高自学能力。
4、完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高能力的重要环节，在做练习之前，应认真阅读教材，按考核目标所要求的不同层次，掌握教材内容，在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥，注重理论联系实际和具体问题具体分析，解题时应注意培养逻辑性，针对问题围绕相关知识点进行层次（步骤）分明的论述或推导，明确各层次（步骤）间的逻辑关系。
四、对社会助学的要求
助学学时：本课程共7个学分，建议总课时105学时，其中助学课的分配如下：
概率论 章次 内容 学时 第一章
第二章
第三章
第四章
第五章
第六章 事件与概率
条件概率与统计独立性
一维随机变量
随机向量及其函数的分布
数字特征与特征函数
极限定理 14
12
8
10
14
7 数理统计 第一章
第二章
第三章
第四章 数据的收集与整理
估计
假设检验
方差分析与回归分析 8
12
10
10 合计 105
五、关于命题考试的若干规定
1.本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试的内容。试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
2.试卷中对不同能力层次的试题比例大致是：“识记”为30%、“理解”为20%、“应用”为50%。
3.试题难易程度应合理：易、较易、较难、难比例为2:3:3:2。
4.每份试卷中，各类考核点所占比例约为：重点占65％，次重点占25％，一般占10％。
5.试题类型一般分为：单项选择题、填空题、计算题、应用题、证明题。
6.考试方式为闭卷、笔试，考试时间为150分钟。采用百分制，60分为及格。
附录：题型示例
一、单项选择题.
1.连续掷3次均匀硬币，恰有一次正面朝上的概率是.
A）B）C）D）
二、填空题.
1.设p(x)是连续型随机变量的密度函数，则；
三、计算题.
1.设总体的密度函数为为其子样，求参数的极大似然估计量和矩法估计量.
四、应用题.
1.某人有10万元现金，想用来投资。预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元，若存入银行，同期间的利率为5%，问是否应作此项投资？
五、证明题.
1.设是来自正态总体，证明是均值参数a的最小方差线性无偏估计。
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