高等代数（二）（9287）自学考试大纲
一、课程性质与设置目的
（一）课程性质与特点
高等代数是湖北省高等教育自学考试数学教育专业的重要基础课之一。它与解析几何、数学分析、抽象代数、高等几何、常微分方程等其他数学课程都存着密切的联系。随着科学技术的发展，高等代数的应用越来越广泛。
高等代数内容多，自学中分为两门课程开设，一门是高等代数（一），另一门就是本课程——高等代数（二）。高等代数（二）在高等代数（一）的基础上继续学习高等代数的基本知识、基本理论、基本方法。本课程的特点是内容比较抽象，与高等代数（一）联系紧密、不可分割，因此要求高等代数（一）掌握得比较好。
（二）基本要求
学习本课程应达到的总体目标是：
1）掌握向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等的基本概念、基本的计算方法以及证明方法；
2）在熟悉一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型的基础上，学习抽象的向量空间、线性变换和欧氏空间的基本理论。
通过本课程的学习，培养自学者抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习其他的数学专业课程和指导中小学数学教学及其研究打基础。
（三）本课程与相关课程的联系
本课程以中学数学、高等代数（一）为基础，与解析几何、数学分析相互联系，为抽象代数、高等几何、常微分方程等后续课程打基础。
高等代数（二）的重点、难点是向量空间和线性变换。向量空间、线性变换的内容和思想方法掌握得如何，将直接影响欧氏空间和二次型的学习。
二、课程内容与考核目标
第一章向量空间
（一）学习目的与要求
理解向量空间的定义，熟悉一些常见的向量空间的例子。
理解向量的线性相关、线性无关，线性组合等概念，并注意与高等代数（一）中第三章的n维向量的联系。
掌握向量空间的维数、基、坐标的概念及三者的联系。
理解基变换与坐标变换的意义及它们之间的联系，并且能用矩阵表示三者的关系。
理解向量子空间的概念、性质、判断和子空间中向量与生成元的联系，掌握维数公式并能应用维数公式证明问题。
理解向量空间同构的意义和同构的条件。
向量空间是以公理化形式引入的抽象代数概念，是本章的难点。自学时要熟练掌握一些常见的向量空间的例子，以此为模型帮助理解抽象的向量空间的有关概念。向量空间中向量的线性关系、子空间是本章学习的重点。
（二）课程内容
§1向量空间的定义及例子
向量空间的定义
向量空间的例子
3．向量空间的简单性质
§2线性相关性
线性相关、线性无关、线性组合、向量组等价等概念
向量组的极大线性无关组的求法
向量组线性相关、线性无关的证明
§3维数、基和坐标
基、维数、坐标的定义
一些常见的向量空间的基和维数
求向量在给定基下的坐标
§4基变换与坐标变换
1．过渡矩阵的定义
2．求一个基到另一个基的过渡矩阵
3．向量在两组基下的坐标之间的关系
§5向量子空间
1．子空间的定义
2．子空间的判定
3．两个向量组生成相同子空间的条件
4.子空间的交与和的定义，子空间交与子空间和的基，维数公式
5.直和的定义与判定
§6映射、向量空间的同构
1．单射、满射、双射、逆映射，同构映射等概念。
2.同构映射的基本性质
3.两个有限维向量空间同构的条件
（三）考核知识点
向量空间：向量空间的定义和性质、向量的线性关系、维数、基与坐标
基变换与坐标变换：过渡矩阵、坐标变换公式
向量子空间：向量子空间的定义、子空间的判定、子空间的交、子空间的和、维数公式，直和
向量空间的同构：映射（单射、满射、双射、逆映射）、同构映射、同构的条件
（四）考核要求
向量空间
识记：能清晰准确地认识：线性相关、线性无关、线性表示、向量组等价、向量组的秩等概念，掌握向量空间的简单性质，正确地作出判断。
领会：理解维数、基、坐标的概念以及三者之间的关系，能正确地求出向量在给定基下的坐标。
简单应用：能运用所学知识，证明一个集合是否构成向量空间，会求向量空间的基与维数。
基变换与坐标变换
识记：能清晰准确地认识坐标变换公式，正确作出判断。
领会：理解过渡矩阵是联系两个基之间的矩阵，能正确地作出解释。
简单应用：能由一个基和一个基到另一个基的过渡矩阵求第二个基。
向量子空间
领会：理解子空间的定义和判断定理，能判别向量空间的子集是否构成子空间。
简单应用：会求子空间的交、子空间的和的基与维数。
综合应用：能运用所学知识证明子空间的和、直和及与之相关的问题。
向量空间的同构
识记：能清晰准确地认识映射、单射、满射、双射、逆映射，同构映射等概念，正确作出判断。
综合应用：能建立两个同构的向量空间之间的同构映射，证明向量空间同构。
第二章线性变换
（一）学习目的与要求
1．理解线性变换的概念，熟悉一些常见的线性变换的例子。
2．了解线性变换的加法、数量乘法、线性变换的乘法等运算及其运算满足的算律。
3．理解维向量空间的线性变换与阶矩阵之间的联系，能用矩阵来处理线性变换的问题。
4．理解线性变换的特征值、特征向量的概念。会求线性变换的特征值和属于各个特征值的特征向量，了解特征值、特征向量在化简线性变换的矩阵时所起的重要作用。
5．理解线性变换的不变子空间的概念，了解不变子空间在化简线性变换的矩阵时所起的重要作用。
6．了解复数域上向量空间的线性变换，知道可以在复数域上向量空间中选取一个适当的基，使其在这个基下的矩阵是若当形矩阵。
线性变换是高等代数中线性代数部分的中心内容，也是高等代数（二）的中心内容。本章的重点是建立线性变换与矩阵之间的联系，用矩阵来刻划和处理线性变换的问题。这也是本章的难点之一，本章的另一个难点是线性变换的不变子空间。
（二）课程内容
§1线性变换的定义
1．线性变换的定义
2．线性变换的例子
3．线性变换的基本性质
§2线性变换的运算
1．线性变换加法、数量乘法以及这两种运算满足的运算律
2．线性变换的乘法、可逆线性变换
3．线性变换的多项式
§3线性变换的矩阵
1．线性变换对基向量的作用
2．选定数域上维向量空间的一个基之后，的所有线性变换组成的集合与数域上阶矩阵的集合Pn×n之间存在一一对应，这个一一对应还保持运算关系。
线性变换在不同基下的矩阵相似
§4特征值与特征向量
1．特征值与特征向量的定义
2．线性变换的特征向量的求法
3．特征多项式与最小多项式
矩阵可以对角化的条件
§5线性变换的不变子空间
1．不变子空间的定义与例子
2．线性变换在不变子空间上的限制
3．线性变换的值域与核，线性变换为单、满变换的条件
§6若当（Jordan）标准形介绍
1．若当块与若当形矩阵
2．复数域上向量空间的线性变换的若当标准形
（三）考核知识点
1．线性变换及其运算：线性变换的定义和性质、零变换、恒等变换、线性变换的加法、数乘线性变换、线性变换的乘法、逆变换，线性变换的多项式。
2．线性变换的矩阵：选定向量空间的一个基，一个线性变换确定唯一的矩阵。线性变换的和对应相应的矩阵的和，数乘线性变换对应数乘相应的矩阵，两个线性变换的乘积对应相应的矩阵的乘积，可逆变换对应的矩阵可逆，线性变换的多项式对应相应矩阵的多项式。同一个线性变换在不同基下的矩阵相似。
3．特征值与特征向量：特征值与特征向量的定义，特征子空间的定义，求特征值，特征向量的方法，特征多项式、最小多项式的概念，特征多项式与最小多项式的关系，矩阵和线性变换可对角化的条件。
4．线性变换的不变子空间：不变子空间的定义、线性变换在不变子空间的上的限制。当向量空间能分解为不变子空间的直和时，线性变换的矩阵可以相似于准对角矩阵，线性变换的值域与核及其维数公式，线性变换为单、满变换的条件。
（四）考核要求
1．线性变换及其运算
识记：能清晰准确地认识线性变换、线性变换的和、数乘线性变换、零变换、恒等变换等，知道线性变换的简单性质，正确作出判断。
领会：理解两个线性变换的乘积、可逆变换、线性变换的多项式的意义，能作出正确的解释。
简单应用：能运用所学知识证明向量空间的一些变换是否为线性变换。
2．线性变换的矩阵
识记：能清晰准确地认识线性变换在某个基下的矩阵，线性变换的多项式在某个基下的矩阵，线性变换在不同基下的矩阵等，能正确作出判断。
领会：理解线性变换的和、数乘线性变换、线性变换的乘积、线性变换的多项式、可逆线性变换在线性空间的一个基下对应的矩阵分别是相应矩阵的和、数乘矩阵、矩阵乘积、矩阵多项式、可逆矩阵，能正确地作出解释。
简单应用：能运用矩阵来刻划线性变换，证明线性变换的性质。
3．特征值和特征向量
领会：理解特征值和特征向量的意义，正确解释特征子空间。
简单应用：能运用所学知识求线性变换的特征值、特征向量。
综合应用：理解最小多项式与特征多项式的关系，能运用所学知识说明线性变换是否能对角化。
4．线性变换的不变子空间
识记：能清晰准确地认识不变子空间，线性变换在不变子空间上的限制，正确地作出判断。
领会：理解线性变换的值域与核，维数公式，单、满变换的条件，能正确地作出解释。
综合应用：能运用所学知识化简线性变换的矩阵或说明线性空间能否分解为不变子空间直和。
第三章欧氏空间
（一）学习目的与要求
1．理解欧氏空间的概念，会求向量的内积、长度、夹角和基的度量矩阵
2．理解标准正交基的概念、性质，会求欧氏空间的标准正交基
3．理解欧氏子空间及子空间的正交补的概念，会求欧氏子空间的正交补
4．了解欧氏空间同构的意义及欧氏空间同构的条件
5．理解正交变换的概念、性质，能判断欧氏空间的线性变换是否是正交变换
6．理解对称变换的概念、性质，能判断欧氏空间的线性变换是否是对称变换，掌握求欧氏空间的一个标准正交基，使其在这个基下的矩阵是对角阵的原理和方法
7．了解酉空间的概念、及其基本性质
欧氏空间是实数域上的定义了内积的线性空间，它具有线性空间的性质，还具有一些与内积有关的性质，本章的重点是内积及其有关的性质，难点是对称变换的对角化。
（二）课程内容
§1欧氏空间的定义及基本性质
1．内积和欧氏空间的定义
2．欧氏空间的基本性质
3．向量的长度与夹角
§2标准正交基
1．标准正交基的定义，一个基是标准正交基的条件
2．正交向量组扩充为正交基
3．从欧氏空间的一个基出发，构造标准正交基
4．正交矩阵及其性质
§3欧氏子空间正交补
1．欧氏子空间的定义
2．向量与子空间正交及子空间与子空间正交
3．子空间的正交补的定义及性质
§4同构
1．欧氏空间同构的定义
2．欧氏空间同构的条件
§5正交变换
1．正交变换的定义
2．正交变换的性质与判定
3．正交变换的分类
§6对称变换
1．对称变换的定义
2．对称变换的性质与判定
3．对称变换的对角化
§7酉空间介绍
1．酉空间的概念
2．酉变换的概念与性质
3．厄米特变换的概念与性质
（三）考核知识点
1．欧氏空间的概念与性质：欧氏空的定义、欧氏空间的基本性质、向量的长度与夹角、基的度量矩阵，标准正交基的定义与判定，用正交向量组或任一个基来构造标准正交基，欧氏子空间的正交补。
2．正交变换：正交变换的定义、正交变换的性质与判定、正交变换的分类。
3．对称变换：对称变换的定义，对称变换的性质与判定，对称变换的对角化。
（四）考核要求
1．欧氏空间的概念与性质
识记：能清晰准确地认识欧氏空间、向量的内积、长度、夹角、基的度量矩阵，正确地作出判断。
领会：理解标准正交基，知道它与一般的基的区别，能正确地用度量矩阵解释欧氏空间的基是不是标准正交基。
简单应用：能运用所学知识，将欧氏空间的正交向量组扩充为标准正交基，能由任一个基出发构造一个标准正交基。
2．正交变换
识记：能清晰准确地认识正交变换，作出正确判断和分类。
领会：理解正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，能正确地用正交矩阵解释正交变换。
简单应用：能运用所学知识证明欧氏空间的线性变换是正交变换。
3．对称变换
识记：能清晰准确地认识对称变换，作出正确判断。
领会：理解对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵，能正确地用实对称矩阵解释对称变换。
简单应用：能运用所学知识证明欧氏空间的线性变换是对称变换
综合应用：能综合运用所学知识证明比较复杂的问题
第四章二次型
（一）学习目的与要求
1．理解二次型及其矩阵的概念，二次型经过非退化线性替换化为标准形以及变换前后二次型矩阵之间的关系。
2．能熟练地运用配方法化为二次型为标准形，并能写出替换的矩阵，了解初等变换化二次型为标准形的原理。
3．理解实数域上二次型的惯性定理及惯性指数，符号差等概念。
4．理解正定二次型及正定矩阵的概念、性质和判定。
5．熟练地掌握正交线性替换化实二次型为标准形的原理和方法。
6．了解双线性函数的概念和简单性质，以及对称双线性函数与二次型的关系。
本章的重点是二次型及其矩阵，难点是用正交线性替换化实二次型为标准形。
（二）课程内容
§1二次型及其矩阵表示
1．二次型的定义及二次型的矩阵
2．二次型经非退化线性替换化为标准形
3．对称矩阵的合同
§2二次型的标准形
1．用配方法化二次型为标准形
2．用初等变换化二次型为标准形
§3复数域和实数域上的二次型
1．复二次型的规范形
2．实二次型的标准形与规范形
3．实二次型的惯性定理
§4正定二次型
1．正定二次型的定义与判定
2．正定矩阵的定义、性质与判定
§5主轴问题
用正交替换化实二次型为标准形
用特征值给出实二次型正定的条件
§6双线性函数
双线性函数的定义与简单性质
双线性函数关于向量空间的基的矩阵
对称双线性函数与二次型函数
（三）考核知识点
1．二次型：二次型定义，二次型的矩阵，非退化线性替换，化二次型为标准形，矩阵的合同
2．实数域上的二次型：实二次型的标准形与规范型，惯性定理，正定二次型，正定矩阵，正交替换化二次型为标准形
3．双线性函数，对称双线性函数
（四）考核要求
二次型
识记：能清晰准确地认识二次型，二次型的矩阵，二次型的标准形，矩阵的合同，正确作出判断。
领会：理解二次型可以用非退化线性替换化为标准形，正确地作出解释。
简单应用：能运用所学知识，用配方法化二次型为标准形。
2．实数域上的二次型
识记：清晰准确地认识实二次型的标准形、规范形，正、负惯性指数、符号差，正确作出判断。
领会：理解惯性定理，能用惯性定理判定实二次型是否为正定二次型。
简单应用：运用所学知识，能正确判定实二次型（实对称矩阵）是否为正定二次型（正定矩阵），能用正交替换化为实二次型为标准形。
3．双线性函数
识记：能清晰准确地认识双线性函数，正确地作出判断。
领会：理解对称双线性函数与二次型函数的关系，正确地作出解释。
三、关于大纲的说明与考核实施要求
（一）自学考试大纲的目的和作用
课程自学考试大纲是根据专业自学考试计划的要求，结合自学考试的特点而确定的。其目的是对个人自学、社会助学和课程考试命题进行指导和规定。
课程自学考试大纲明确了课程学习的内容以及深度和广度，规定了课程自学考试的范围和标准。因此，它是编写自学考试教材和辅导书的依据，是社会助学组织进行自学辅导的依据，是自学者学习教材、掌握课程内容知识范围和程度的依据，也是进行自学考试命题的依据。
（二）课程自学考试大纲与教材的关系
课程自学考试大纲是进行学习和考核的依据，教材指出学习掌握课程知识的基本内容与范围，教材内容是大纲所规定的课程知识和内容的扩展与发挥。大纲与教材所体现的课程内容应基本一致。如果教材中有的内容与大纲要求不一致，应以大纲规定为准。
（三）关于自学教材与主要参考书
教材：线性代数学概论》，钱吉林编，华中师范大学出版社，2000年
主要参考书：
《高等代数》，李桃生、朱德高、费泰生编，华中师范大学出版社，2002年
《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等教育出版社，1988年第二版。
全国高等教育自学考试教材《高等代数》，邱森主编，武汉大学出版社，1991年
《
（四）关于自学要求和自学方法的指导
本大纲的课程基本要求是依据专业考试计划和专业培养目标而确定的。大纲中还明确了课程的基本内容以及对基本内容掌握的程度。基本内容中指出的知识点构成了课程内容的主体部分。因此，课程基本内容要求掌握的程度、考核知识点是高等教育自学考试考核的主要内容。
本大纲在自学要求中，对各部分内容掌握程度的要求由低到高分为四个层次，了解、知道；理解、清楚；掌握、会用；熟练掌握。
为有效地指导个人自学和社会助学，本大纲已指明了课程的重点和难点，在各章的基本要求中也指明了各章内容的重点和难点。高等代数（二）共5学分。
随着科学技术、生产的迅速发展，许多自然科学学科、工程技术、社会科学的重要问题都要用到高等代数知识。正是由于它应用的广泛性，促使本课程必须要讨论一些带共性的问题，因而其内容就要抽象到一般，这给自学者带来很大的困难，特提出以下建议，供自学者参考。
（1）在学习一些抽象概念（比如向量空间、线性变换、欧氏空间等）之前，要从已学过的知识中（比如解析几何中的空间、多项式的集合与运算，矩阵的集合与运算等）找一些具体的例子，以这些具体例子为背景和模型，帮助理解抽象的概念。
（2）由于向量空间、线性变换、二次型等都与矩阵及其运算紧密相连，因而在学习高等代数（二）时，必须熟练掌握已学过的矩阵知识。
（3）高等代数（二）与高等代数（一）实际上是分成两个学期段开设的一门课程，所以考核综合应用能力时必然要涉及高等代数（一）的基本知识、基本方法和基本理论，希望自学者重视这个问题。
（4）学习本课程时，要在理解掌握定义、定理的基础上做题，否则将会是事倍功半。
（五）对社会助学的要求
建议助学单位至少用90学时（复习、作业时间除外）组织自考生学习，并注意以下几点：
1）要求学生重视基本概念的学习，真正理解概念和定理。
2）应帮助学生尽可能地熟练掌握一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间的例子。
3）注意培养和提高学生的利用所学知识分析问题和处理问题的能力。
（六）对考核内容和考核目标的说明
本课程要求考生学习和掌握的知识点内容都作为考核的内容。课程中各章的内容均由若干知识点组成，在自学考试中成为考核知识点。因此课程自学考试大纲中所规定的考试内容分解为考核知识点，自学考试将对各知识点分别按四个认知层次（识记、领会、简单应用、综合应用）确定其考核要求。
（七）关于试卷结构及考试的有关说明
本课程考试采取笔式闭卷，时间150分钟，满分100分，60分及格。本课程考试只允许带钢笔、圆珠笔、2B铅笔及橡皮。
本大纲各章所规定的基本要求、知识点及其细目都属于考核内容，考试命题覆盖到章，并适当考虑课程重点、章节重点，适当加大重点内容的覆盖度。其中重点部分占60%，次重点占30%，一般内容占10%.
命题不应超出大纲考核知识点的范围，考核目标不得高于大纲所规定的最高能力层次要求。命题应着重考核自学者对基本概念、基本知识和基本理论是否了解或掌握，对基本方法是否会用或熟练，不应出与要求不符的偏题、怪题。
本课程在试卷中对不同能力层次要求的分数大致为：识记占20%，领会占30%，简单应用占30%，综合应用占20%
要合理安排试题的难易程度，试题的难度可分为：易、中等偏易、中等偏难、难四个等级，每分试卷中不同难度比例一般为.
本课程考试的主要题型一般有：单项选择题、填空词、名词解释、简答题、判断说理题、计算题，证明题等。
在命题工作中必须按照本课程大纲中所规定的题型命制考试试卷，使用的题型可以略少，但不能超出规定，一般要有4—6种题型，
附录：题型举例
一、选择题
选择出正确答案，将正确答案前的序号字母填在题后的括号内
设是欧氏空间的正交变换，那么（）
（A）将一个基变为标准正交基；
（B）在任一个基下的矩阵是正交矩阵；
（C）；
（D）保持向量的夹角不变.
二、填空题
设二次型则该二次型的矩阵是
三、名词解释
解释“向量空间的线性变换的值域”。
四、简答题
设二次型试问的正惯指数等于多少？为什么？
五、判断说明题
判断下面的命题是否正确，并简述理由或举反例说明。
设是向量空间的线性变换，是的核，则是向量空间的子空间。
六、计算题
设是数域，是向量空间的子空间，
1）求的一个基；
2）设求在（1）中所求基下的坐标。
七、证明题
设是数域上的向量空间，是的一个基，是的线性变换，使
证明是可逆线性变换。
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