第一章函数1．求下列函数的定义域：（1）（2）（3）（1，2）U（2，+无穷大）2．f(x)＝x2＋2，求f(0)=2f(
1)=3f(－2)=6f(x＋1)=X2+2X+3f(x)＋1=X2+3f()=1/x2+23．设分
段函数f(x)＝求f(x)的定义域，并求f(－1)=3f(1)=3f()7/21．判断下列函数在指定区间上的单
调性：（1））在单调减少（2）在单调减少，在单调增加2．判断下列函数的奇偶性：（1）奇函数（2）奇函数（3）偶函数1．已知函数?
y=f(x)?的定义域为[0,1]，求函数?y=f(lnx)?的定义域．【1，e】2．将下列初等函数分解为基本
初等函数的四则运算或复合运算：（1）y=x5+eu,u=x3（2）?y=cosu;u=x2+2x1．市场中某种商品的需求函数和
供给函数分别为试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.(5,20)1．设某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时，成本为100
元，产量为100时成本为400元，试求：（1）成本函数和固定成本；（2）产量为200时的总成本和平均成本．1.（1）（2）2．
设某商品的需求函数为?，试求该商品的收入函数，并求销量为200件时的总收入．??3．设某商品的成本函数和收入函数分别为试求：（
1）该商品的利润函数；（2）销量为4时的总利润及平均利润；（3）销量为10时是盈利还是亏损？（1）（2），（3），销量为10时
盈利1.函数y＝的定义域是(1,2)∪(2,4]．2.函数f(x＋1)=x2＋2x－5，则f(x)?=x2－6．
3.函数y＝x2－6x＋10的单调区间是(－∞,3)和(3,＋∞)．4.厂家生产某种产品的固定成本是18000元，而
可变成本是总收入的40%，若厂家以每件30元的价格出售该产品，则生产该产品的盈亏平衡点是1000件．5.如果某商品的需求函数是q
d＝25－2p，供给函数是qs＝3p－12，那么该商品的市场均衡价格是7.4．6.已知某产品的成本函数为C(q)＝0.2q2＋4
q＋294，该产品的需求函数为q＝180－4p，该产品的利润函数为L(q)＝41q－0.45q2－294．7.设f(u)=
u2＋1，g(x)=，则f(g(2))=10/9二、单项选择题8.设f(x)＝，则f(f(x))＝（C）a
.?b.?x2c.?xd.?9.下列函数中，（a）不是基本初等函数．a.?y＝lg(1－x)b.?y＝()xc.?y＝d.?y
＝10.下列函数中，（c）是奇函数．a.?y＝sin(x＋)b.?y＝x3＋1c.?y＝ln(－x)d.?y＝11.下列各
函数对中，（b）中的两个函数相等．a.?f(x)＝，g(x)=x＋1b.?f(x)＝sin2x＋cos2x，g(x)
=1c.?f(x)=lgx2，g(x)=2lgxd.?f(x)＝()2，g(x)=x12.设f?(x)
=log?a?x，则（d）成立．a.?f(x)＋f(y)＝f(x＋y)b.?f(x)·f(y)＝f(x＋
y)c.?f(x·y)＝f(x)·f(y)d.?f(x·y)＝f(x)＋f(y)三、多项选择题13.设
f?(x)＝ax?（a?>0，a≠?1），则等式（ab）成立．a.?f?(x)·f?(y)＝?f?(x＋y)b.?f(x
/)/f(y)＝f(x－y)c.?f?(x)/f?(y)＝?f?()d.?f?(x)＋f?(y)＝?f?(x＋y)14
.指数函数?y＝ax?（a?>0，a≠?1）满足（abc）．a.图形过点(0,1)b.函数值都大于零c.是单调函数d
.是有界函数15下列函数中（abcd）是偶函数．a.?y＝b.?y＝5＋cos?xc.?y＝x3sin?xd.?y＝16下列结
论中（ad）是正确的．a.偶函数的图形关于y轴对称b.周期函数都是有界函数c.基本初等函数都是单调函数d.奇函数的图形关
于坐标原点对称17设f?(x)＝则（a）成立．a.f(－1)＝f(0)b.f(－1)＝f(3)c.f
(0)＝f(1)d.f(－3)＝f(3)18设C(q)是成本函数，R(q)是收入函数，L(q)是利润函数，则盈亏平衡点
是方程（bc）的解．a.R(q)－C(q)＝0b.L(q)＝0c.L(q)－C(q)＝0d.C(q)＋R(
q)＝0四配伍题19选择符合函数特征的描述与之匹配函数f(x)＝esinx〉是有界函数函数f(x)＝x3sinx＋6〉是偶
函数函数f(x)＝x2－2x＋5〉在区间（-无穷大，1）内是单调减函数20选择符合函数特征的描述与之匹配函数f(x)＝2tan
x→是以π为周期的函数函数f?(x)＝→满足f(0)＝2,函数f(x)＝ax－a－x→是奇函数五、是非判断题21
函数y＝lnx3与函数y＝3lnx是相同的．（对）22分段函数不一定是初等函数．（对）23初等函数是由基本初等函数经复合而得到
的．（错）24利润函数L(q)是销售量q的单调增加函数．（错）25若函数f(x)是定义在(－l,?l)（l>0）上的函数，
则有⑴f(x)＋f(－x)是偶函数；（对）26若函数f(x)是定义在(－l,l)（l>0）上的函数，则有⑵f(x)－f
(－x)是奇函数．（对）27若函数f(x)是定义在(－l,l)（l>0）上的函数，则有⑵f(x)－f(－x)是奇函数．
（对）28设a?调增加的．（错）六、计算应用题29将下列函数写成较简单函数的复合形式y＝⑵y＝cossin2?x3?解⑴?y＝(?????
??)[提示]?将函数看作中间变量．[答案]?eu?u＝(???????)[提示]?将函数看作中间变量．[答案]?
?v是(???????)[提示]??v的表达式中每一项都是基本初等函数．[答案]?幂函数x2与常数函数1的和．⑵?y＝(??
?????)[提示]?将函数sin2?x3看作中间变量．[答案]?cos?u?u＝(???????)[提示]?将函数
sin?x3看作中间变量．[答案]??v2?v＝(???????)[提示]?将幂函数x3看作中间变量．[答案]?sin?
w[详解]?⑴?y＝euu＝v＝x2＋1其中y,?u作为中间变量u,?v的函数都是基本初等函数，而v是幂函数x2与常数函
数1的和．⑵?y＝cos?u??u＝v2?v＝sin?w??w＝x3其中y,?u,?v,?w分别作为中间变量和自变量u
,?v,?w,?x的函数都是基本初等函数．30.已知厂家生产某种产品的成本函数为C(q)＝50＋3q，收入函数为R(q)＝5q，
⑴求该产品的平均利润；⑵求该产品的盈亏平衡点．?解⑴已知C(q)＝50＋3qR(q)＝5q因此，利润函数为L(q)＝(?
??????)[提示]??L(q)＝R(q)－C(q)．[答案]?2q－50由此得该产品的平均利润函数为?＝（[提示
]??＝[答案]?2－⑵利用L(q)＝0解得盈亏平衡点q0＝（）[提示]?由方程2q－50＝0解出q0．[答案]?
25[详解]?⑴已知C(q)＝50＋3qR(q)＝5q因此，利润函数为L(q)＝R(q)－C(q)＝5q－(50＋3q)＝
2q－50由此得该产品的平均利润函数为＝2－?⑵利用L(q)＝0得2q－50＝0解得q0＝25即盈亏平衡点为25．31.已知某产
品的需求函数是qd＝50－10p，供给函数是qs＝10p－10，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．解]由50－10p＝10
p－10移项整理得20p＝60故p0＝3因q0＝50－10p0故q0＝20即该产品的市场均衡价格为3，市场均衡数量
为20．32.某商品的成本函数为C(q)＝2q2－4q＋27，供给函数为q＝p－8，⑴求该商品的利润函数；⑵说明该商品的盈亏情况
．解]⑴由q＝p－8解出p＝q+8进一步解出R(q)＝qp＝q2+8q因此，利润函数为L(q)＝R(q)－C(q)＝q
2+8q－(2q2－4q＋27)＝12q－q2－27⑵由L(q)＝(q－3)(9－q)可以分析出，当3q>9时亏损，当q＝3或q＝9时盈亏平衡．33.求函数y＝ln(4＋3x－x2)的定义域．解]?对于ln(4＋3x－x2)，
要求4＋3x－x2>0，即(4-x)(x+1)>0，解二次不等式即可得出所求函数的定义域为．34.求函数y＝的定义域．解]?
对于，要求，即，解二次不等式即可得出所求函数的定义域为．35.设函数f?(u)的定义域为[0,1]，求f?(ln?x)的定义域
．解]?根据复合函数的定义，u?=lnx的值域应包含于[0,1]之间，即0≤lnx?≤1解上面这个不等式即得1≤?
x?≤e即函数f?(ln?x)的定义域为[1,e]．36.设函数f?(x)＝求f?(－1)，f?()，f?(1)和f?
(2)．解]?当时，f(x)=1，故f(-1)=1．当时，f(x)=ex，故f()=．当时，f(x)=4－x2
，故f(1)=4－12?=3，f(2)=4－22?=0．37.七、简单证明题37试证两个单调增函数之和仍是单调增函数
．?[证明]?设f1(x),?f2(x)都是单调增函数．令h(x)＝f1(x)+f2(x)，对任意x1f1(x2)f2(x1)即h(x1)是奇函数，f2(x)是偶函数．令h(x)＝f1(x)·f2(x)，对任意x有f1(－x)=－f1(x)f2(－x)=?f2
(x)故h(－x)＝f1(－x)·f2(－x)＝－f1(x)·f2(x)＝－h(x)即h(－x)＝－h(x)，由此可知h(x)是
奇函数．39.试证：若奇函数f?(x)在原点有定义，则f?(0)＝0．[证明]?已知f?(x)是奇函数，对任意x有f(－x)
=－f(x)令x?=0代入上式得f(－0)=－f(0)即f(0)=－f(0)，由此得出f(0)=0．第二章导微与微分
1.讨论函数?y=?当?时的变化趋势.2.判断下列极限是否收敛：（1）（2）（3）0.1,0.01,0.001...（4）2,4,
6,8...3.求下列数列?的极限：（1）（2）（3）（4）4.试用图形上说明：?不存在.5.设求?f(x)?在?时的左、右极限，
并说明?f(x)?在?x=0?点极限是否存在.6.设求?，并讨论?是否存在.7.分析函数的变化趋势，并求极限（1）?（2）?（3）
?（4）8.当?时，下列变量中哪些是无穷小量？9.当?时，下列变量中是无穷小量的有：（1）?（2）（3）?（4）10.函数?在什么
变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？答案1.（1）?2.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散.3.（1
）0；（2）发散；（3）1；（4）0.4.?5.因为?，?，所以，函数?f(x)?在?x=0?处左、右极限存在但不相等，故函数?f
(x)?在0点的极限不存在.6.，因为函数?f(x)?在?x=1?处左、右极限存在但不相等，所以?不存在.7.（1）0；（2）0；
（3）0；（4）1.8.?9.?10.当?时，?y?为无穷大量，当?时，?y?为无穷小量.1．=02.=213．=1
4.=1/45．=3/46.=1/27．=-1/28.=19．=1/310.=33/231.?=22.?=4/5
3.?=5?4.?=15.??=16.?=07.??=e48.?=e-19.?=e-3/2?10.?=e4任务四1.设
函数问（1）当?a,b?为何值时，?f(x)?在?x=0?处有极限存在;(2)当?a,b?为何值时?f(x)?在?x=0?处连
续.2.讨论函数在?x=0?处的连续性.3.求下列函数的间断点和连续区间：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4.说明下列函数在
定义域内连续（1）?（2）?（3）?（4）?5.求下列函数极限（1）?（2）?（3）?（4）?（5）?（6）?1
.（1）当?b=1,a?任意时，?f(x)?在?x=0?处有极限存在；（2）当?a=b=1?时，?f(x)?在?x=0?处连续.
2.因为?，所以函数?f(x)?在?x=0?处不连续.3.（1）?；（2）?；（3）?；（4）?；（5）?；（6）?4.（1）定
义区间；（2）定义区间；（3）?x>1?；（4）定义区间；5.（1）?；（2）?；（3）0；（4）?；（5）1；（6）?.任务五1
.根据导数定义，求下列函数的导数：（1）?y=3x+2?（2）2.求下列函数在指定点处的导数：（1）（2）（3）（
4）3.求下列函数的导数和微分：（1）（2）（3）（4）4.求曲线?在（1，0）点处的切线方程.5.在抛物线?上求一点，使得
该点处的切线平行于直线?y?=4x-1.1．（1）?；（2）?2．（1）27；（2）?；（3）ln2；（4）?。3．（1）0；
（2）?；（3）?；（4）?。4．?y=x-1?5．(2,4)任务六求下列函数的导数或微分：1．,求2．，求?3．，求
?4．，求?5．，求?6．，求?7．，求?8．，求?9．，求dy.?10．，求dy.?1.?2.?3.?4.?5.
?6.?7.?8.?9.?10.??求解：求?解：求?解：求?解：?解：?=?求极限??解：求极限?解：例题1求思路：
先求?，再求.解:因为?所以例题2求解：因为?所以导数公式求导步骤1.求?；2.求；?注意：?是?f(x)?
的导函数，函数在导数值?处的导数值?.?例题1设函数?，求?http://oss.ouchn.cn/ddzx/N601/jiaoy
u/jjsx/50459/unit/chapter_two/6_1_2.html分析:现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用
上述法则可求它们组合后函数的导数.解：（利用加法法则）(cv(x))''=cv''(x)=利用导数公式例题2设，求解：(提示
）例题3设，求解：(提示）例题4，解：因为（由对数的性质：）所以（其中常数的导数为0）?例题5设，求解：利用导数的乘法法则，
利用导数公式例题6，求解：方法一由导数基本公式方法二利用导数的乘法法则说明无论用哪种方法其结果是唯一的例题7，求解：方法一
将函数看成?，利用乘法法则求导.方法二利用导数的除法法则求导其中两个结果是完全一样的.例题8求，解：（利用三角公式）同理可求
任务七1.计算下列函数的导数：(1)?（2）?(3)?（4）?(5)?（6）?(7)?（8）?(9)?（10）?2.计算下列函数的
微分：(1)?（2）?(3)?（4）?3.下列各方程中是的隐函数，试求或：（1），求；（2），求；（3），求；（4），求；1.
（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）（7）；（8）；（9）（10）2.（1）（2）（3）（4）3.（1）（2）
（3）（4）求函数?的二、三阶导数.?解：???求??的二阶导数至?n?阶导数。解：??????问题：求?的10阶导
数?.http://oss.ouchn.cn/ddzx/N601/jiaoyu/jjsx/50459/unit/chapter_
two/8_1_1.html答案：=0因为?由此可以得出结论，?n?次多项式的?n?+1阶导数必为0.1.求下列函数的二
阶导数：（1）?（2）（3）?（4）（5）?（6）2.求下列各函数在指定点的高阶导数值：（1）求（2）求（3）求（4）求
3.求函数?的?n?阶导数.1．（1）6x-4；（2）?；（3）?；（4）18；（5）?；（6）?2．（1）?；（2）1；（3）
?；（4）63．?第三章判别y?=?x3?+1的单调性．分析：函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后
，就可以用导数来判断．解：定义域为（-∞,+∞）(x)=3x2?>0，x(-∞,+∞)，且x0y在(-∞,+∞)上单调增加
．?从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．例题2求y?=2x3?-9x2?+12x-6的单调区间.分析
：首先求出定义域，再利用定理3.1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数
大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．解：定义域为（-∞,+∞）=6x2?-18x
?+12x2?-3x?+2=0（x?–1）（x?–2）=0x1?=1,?x2?=2单调增加区间为（-∞,1]
，[2，+∞）；单调减少区间为[1，2]．在图形x1?=1,?x2?=2是分界点，在区间(-∞,1]内，函数是单调增加的；在区间[1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+∞)内，函数是单调增加的．例题3求的单调区间.解：定义域为（-∞,-1），（-1，+∞）从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．归纳：求函数单调区间的步骤①确定f(x)的定义域；②求(x)=0和(x)不存在的点，并组成若干子区间；③确定(x)在每个子区间内的符号，求出f(x)的单调区间例题4当x?>0时，试证ln(1+?x?)>?x?-?x2.http://oss.ouchn.cn/ddzx/N601/jiaoyu/jjsx/50459/unit/chapter_three/1_1_2.html分析：先建立一个函数F?(x)，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断F?(?x?)的单调增加性，得到要证明的结论．证：F?(?x?)=?ln?(1+?x?)–(?x?-?x?2?)F?(?x?)单调增加．又?F?(0)=0，故当x>0时，F?(?x?)>0即ln(1+?x?)>?x?-?x216 |
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