中学数学中常见的数学思想有哪些？
答题内容: 1、化归的思想方法:
所谓化归思想方法又叫转换思想方法、也叫转换思想方法、也叫转化思想方法,就是一种把未解决的问题或特解决的问题,通过某种方式的转化,归化到一类已经能解决或比较容易解决的问题,最终得原问题的解答的思想方法、化归思想方法的三要素:化归谁(化归对象)、化归到哪(化归目标)、怎样化归(化归方法)、常见的化归方式有:已知与未知的化归、特殊与一般的化归、动与静的化归、抽象与具体的化归等、
化归思想方法的特点:就是实际问题的规范化、简单化、熟悉化、模式化、直观化、正难侧反思化、以便应用已知的理论、方法与技巧到解决问题的目的、其形式如图所示:
例如方程问题转化为不等式问题:已知关于,的方程组,的解满足,求的取值范围、
解析:先解关于,的方程组,再把用表示的,的代数式代入不等式组中,解关于的不等式组、
2、数形结合的思想方法
所谓数形结合的思想方法就是指把数学问题用数量关系与图形结合起来解答数学问题、
数形结合的思想方法的特点:数→形→问题的解答;形→数→问题的解答;数形,问题的解答、
例如:如图所示、在数轴上的位置,请化简+的结果就是:
3、分类讨论的思想方法
所谓分类讨论的思想方法就是指根据所研究的问题的某种相同性与差异性将它们分类来进行研究的思想方法、
分类讨论的思想方法的特点:分类不能重复也不能遗漏;同一次分类时,标准须相同;分类须有一定的范围,不能超范围、
例如:三角形按边分类方法:三角形可分为不等边三角形、等腰三角形,等腰三角形又可分为等边三角形、底边与腰不相等的等腰三角形、
三角形按角分类方法:三角形可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、
4、类比与归纳的思想方法
所谓类比与归纳的思想方法就是包括类比思想方法与归纳思想方法、
类比思想方法就是指不同的研究对象在某些方面有相似或相同之处,来联想、推导、猜想这些研究对象在其它方面也可能相同或相似,并作出某种判断的推理的思想方法、其特点就是从特殊到特殊的推理方式、
例如:从分数性质到分式性质;从全等三角形到相似三角形等、
归纳思想方法就是指由个别的、特殊的事例来推出同一类事物一般性的方法、其特点就是由特殊至一般的推理方式、
例如:1个点分割直线为2个部分,2个点分割直线为3个部分,3个点分割直线为4个部分,4个点分割直线为5个部分,5个点分割直线为6个部分,┉,n个点分割直线为1个部分、
类比与归纳的思想方法活动过程如下:
研究对象形成命题证明
5、数学建模的思想方法
所谓数学建模的思想方法就是根据所研究问题的一些属性、关系,用形式化的数学语言表示的一种数学结构,中学数学中常用的数学模型有:图形、图象、表格与数学表达式,具体讲有方程模型、函数模型、几何模型、三角模型、不等式模型与统计模型、数学建模的思想方法一般原则:简化原则、可推演原则、反映性原则,其一般形式如图所示:
例如:某公司计划购买若干台电脑,现从两家协力商厂了解到同一型号的电脑报价均为5000元,并且多买都有一定的优惠,A协力商厂优惠条件:第一台按原报价收款,共余每台优惠30%;B协力商厂优惠条件:每台优惠20%、如果您就是老板,您该怎么考虑,如何选择？
分析:什么情况下,两家协力商厂收费相同;什么情况下,A协力商厂优惠;什么情况下,B协力商厂优惠;列不等式解决实际问题的数学建模的思想方法、
解:设购买台电脑,如果到A协力厂更优惠,则
移项且合并得,
不等式两边同除以-500得、
所以购买大于3台时A协力厂更优惠;购买小于3台时B协力厂更优惠;购买3台时两家协力商厂收费相同、
6、整体的思想方法
所谓整体的思想方法就是指将有共同特征的某一类问题瞧成一个完整的整体,通过对其全面深刻的观察,着眼于问题的整体结构上,从整体上把握问题的内容与解决的方向与策略的思想方法、
例如:已知二元一次方程组为,求=,=、
分析:通过观察可知两式相减得,则=;
两式相加得,则+=15,即得、
7、方程的思想方法
所谓方程的思想方法就是指在研究数学问题时,从问题中的已知量与未知量之间的数量关系中找出相等关系,运用数学语言将这种相等关系列出方程(组),然后解方程(组),从而使这个数学问题得解、其特点就是将繁琐的过程简单化,殊殊的问题一般化、
例如:把一长为30米的绳子做成一个长方形,已知宽:长=1:2,求这个长方形的宽与长各就是多少？
解析:宽与长总与为30米,其比为1:2,所以设方程解答、
解:设宽为米,长为米、
解得:
答:长方形的宽为5米,长为10米、
8、符号化的思想方法
所谓符号化的思想方法:指用符号及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算与命题等的思想方法,就是方程思想方法的基础、例如:∥、∠、≤、≥、=、()、[]、%、{}、≠、∴、∵、⊙、⊥、△、、、、等等、
9、统计思想方法
所谓统计思想方法:就是通过样本来推断总体,就是关于如何收集数据、整体数据、描述数据、分析数据,如何解释数据统计结果的思想方法、
例如:为了了解某所初级中学学生对6月5日“世界环境日”就是否知道,从该校全体学生1000名中,随机抽查了100名学生,结果显示有2名学生“不知道”.由此,估计该校全体学生中对“世界环境日”约有名学生“不知道”、
10、公理化的思想方法
所谓公理化的思想方法:指从尽可能少的不加定义的原始概念与不加证明的原始命题即公理(公设)出发,按照逻辑规则推导出其她命题,建立起一个演绎科学理论系统的方法、
例如:平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行、
11、函数的思想方法
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