2015年普通高等学校全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
（1）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A）（B）（C）（D）
（3）设，则p是q成立的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
4、下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）
（A）（B）（C）（D）
5、已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）
（A）若，垂直于同一平面，则与平行
（B）若，平行于同一平面，则与平行
（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线
（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
6、若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为（）
（A）（B）（C）（D）
7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）
（A）（B）
（C）（D）
8、是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）
（A）（B）（C）（D）
9、函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
（A），，（B），，
（C），，（D），，
10、已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
第二卷（非选择题共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的展开式中的系数是（用数字填写答案）
在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是
13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为
已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于
15.设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）
；；；;.
三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
在中，，点D在边上，，求的长。
17.（本小题满分12分）
已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
（18）（本小题满分12分）
设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明.
19.（本小题满分13分）
如图所示，在多面体中，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F
（1）证明：
（2）求二面角余弦值.
（本小题满分13分）
设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.
（I）求E的离心率；
（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.
21.（本小题满分13分）
设函数.
（1）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）记上的最大值D；
（3）在（2）中，取
参考答案
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）B （2）A （3）A （4）C （5）D
（6）C （7）B （8）D （9）C （10）A
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，共25分。
（11）35 （12）6 （13）4 （14） （15）①③④⑤
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。
（16）（本小题满分12分）
解：设的内角所对边的长分别是
由余弦定理得
所以
又由正弦定理得
由题设知，所以
在中，由正弦定理得
（17）（本小题满分12分）
解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
（2）的可能取值为200,300,400
故的分布列为
200 300 400
（18）（本小题满分12分）
（1）解：，曲线在点（1,2）处的切线斜率为，
从而切线方程为
令，解得切线与轴交点的横坐标
（2）证：由题设和（1）中的计算结果知
当时，
当时，因为
所以
综上可得对任意的，均有
（19）（本小题满分13分）
（1）证：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，面面，所以
（2）解：因为四边形均为正方形，所以，且，以A为原点，分别以为轴，轴和轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标，，，，而点为的中点，所以点的坐标为（0.5,0.5,1）
设面的法向量，而该面上向量=（0.5,0.5,0），=（0，1，-1），由，得应满足的方程组
（-1,1,1）为其一组解，所以可取=（-1,1,1）
设面的法向量，而该面上向量=（0.5,0.5,0），=（0，1，-1），由此同理可得
所以结合图形知二面角的余弦值为
（20）（本小题满分13分）
解：
（1）由题设条件知，点M的坐标为，又，从而，
进而得，故
（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，
直线的方程为，点N的坐标为，
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，
则线段NS的中点T的坐标为，又点T在直线AB上，且，
从而有解得
所以，故椭圆E的方程为
（21）（本小题满分13分）
解：
（1）
因为，所以
①时，函数单调递增，无极值
②时，函数单调递减，无极值
③对于，在内存在唯一的，使得，
时，函数单调递减；
时，函数单调递增
因此，时，函数在处有极小值
（2）时，，
当时，取，等号成立，
当时，取，等号成立。
由此可知，在上的最大值为
（3）即为，此时，从而
取，则，并且
由此可知，满足条件的最大值为1
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