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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文科）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知（为虚数单位），则复数
A. B. C. D.
2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示
若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是
A.3 B.4 C.5 D.6
3.设，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若变量满足约束条件则的最小值为
A.-1B.0C.1D.2
5.执行如图2所示的程序框图，如果输入，则输出的
A.B.C.D.
若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为
A.B.C.D.
7.若实数满足，则的最小值为
A.B.2C.2D.4
8.设函数，则是
A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数
C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数
9.已知点在圆上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2,0），则的最大值为
A.6B.7C.8D.9
10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率=新工件的体积/原工件的体积）
A. B.
C. D.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则________
12.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为______
13.若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________.
14.若函数有两个零点，则实数的取值范围是____________
15.已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则=________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
17.（本小题满分12分）
设△ABC的内角的对边分别为.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，且为钝角，求.
18.（本小题满分12分）
如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为45°，求三棱锥的体积.
19．（本小题满分13分）
设数列的前项和为，已知，且.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求。
20.（本小题满分13分）
已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为2.过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若，求直线的斜率。
21.（本小题满分13分）
已知，函数。记为的从小到大的第个极值点。
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求的取值范围。
参考答案
一、选择题：
1.D 2.B 3.C 4.A 5.B
6.D 7.C 8.A 9.B 10.A
二、填空题：
11.{1，2，3} 12. 13.2
14.（0，2） 15.
三、解答题：
16．解：
（Ⅰ）所有可能的摸出结果是
（Ⅱ）不正确。理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为
共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确。
17.解：
（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以
（Ⅱ）因为
所以
由（Ⅰ），因此。又为钝角，所以，故。
由知。从而
综上所述，
18.解：
（Ⅰ）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，
又是正三角形的边的中点，所以
因此平面
而平面，所以，平面平面
（Ⅱ）设的中点为，连结
因为是正三角形，所以
又三棱柱是直三棱柱，所以
因此平面，于是为直线与平面所成的角
由题设，，所以
在中，，所以
故三棱锥的体积
19．解：
（Ⅰ）有条件，对任意，有
，
因而对任意，，有
两式相减，得，即
又，所以
故对一切，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列；
数列是首项，公比为3的等比数列，因此
于是
从而
综上所述，
20．解：
（Ⅰ）由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以
①
又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，所以
②
联立①②得，故的方程为
（Ⅱ）如图，设
因与同向，且，所以，从而，即，于是
③
设直线的斜率为，则的方程为
由得，而是这个方程的两根，所以
④
由得，而是这个方程的两根，所以
⑤
将④⑤代入③，得，即
，
所以，解得，即直线的斜率为
21．解：
（Ⅰ）
其中
令，由得，即
对，若，即，则；
若，即，则
因此，在区间与上，的符号总相反，于是
当时，取得极值，所以
此时，，易知，而
是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列。
（Ⅱ）对一切恒成立，即恒成立，亦即
恒成立（因为）
设，则，令得
当时，，所以在区间（0,1）上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增。
因为，且当时，，所以
因此，恒成立，当且仅当
解得。故的取值范围是。
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