函数的对称性与周期性一、选择题（共22小题；共110分）1.函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则
A.B.C.D.2.已知函数对任意，都有，的图象关于点对称，且，则A.B.C.D.3.
设定义在上的奇函数，满足对任意，都有，且时，，则的值等于A.B.C.D.4.设函数为偶函数，且
，满足，当时，，则当时，A.B.C.D.5.定义在上的奇函数满足，，则A.B.C.D
.6.已知定义在上的函数满足，，则A.B.C.D.7.已知为偶函数，且．当时，，若，，
则A.B.C.D.8.已知定义在上的偶函数，满足，且当时，，则的值为A.B.C.D
.9.已知是偶函数，，若将的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，若，则A.B.C.D.10.定义
在上的函数满足，且函数为奇函数．给出以下个命题：①函数的周期是；②函数的图象关于点对称；③函数
的图象关于轴对称．其中，真命题的个数是A.B.C.D.11.若偶函数的图象关于对称，且当时，，则函数
的零点个数为A.B.C.D.12.已知定义在上的函数满足，，且在区间上是减函数．若方程在区间
上有两个不同的根，则这两根之和为A.B.C.D.13.已知是偶函数，且，当时，．若，，则A.B.
C.D.14.已知是定义在上的函数，且满足，则"为偶函数"是"为函数的一个周期"的A.充分不必
要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，，
则的值为A.B.C.D.16.定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，，，则的
值为A.B.C.D.17.已知是定义在上的奇函数，其图象关于对称且，则方程在内解的个数的最小值
是A.B.C.D.18.已知定义在上的函数，对任意，都有成立，若函数的图象关于直线对称，则A
.B.C.D.19.定义在上的奇函数满足：①对任意，都有成立；②当时，，则方程在区间上根的个
数是A.B.C.D.20.已知是偶函数，而是奇函数，且对任意，都有，则，，的大小关系是A.B.
C.D.21.设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为A.B.C.D.22.
已知上的奇函数，，时．定义：，，，，，，则在内所有不等实根的和为A.B.C.D.二、填空题（共33
小题；共165分）23.已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，对于函数有下列几种描述：①是周期函数；②是它
的一条对称轴；③是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值．其中描述正确的是?．24.函数是定义在上的偶
函数，其图象关于直线对称，若，则?．25.设函数是定义在上的奇函数，且满足对一切都成立，又当时，
，则下列四个命题：①函数是以为周期的周期函数；②当时，；③函数的图象关于对称；④函数的图象关于对称．其
中正确的命题是?．26.设是定义在上的奇函数，对任意有，若，则?．27.有下列四个命题：①若函数
的定义域为，则是奇函数；②若函数是定义在上的奇函数，，，则的图象关于直线对称；③已知和是函
数定义域内的两个值且，若，则在定义域内单调递减；④若是定义在上的奇函数，也是奇函数，则是以为周期的周期
函数．其中，真命题是?（把所有真命题的序号都填上）．28.若定义在上的函数满足，是奇函数，现给出下列个论断：①
是周期函数，且是的一个周期；②的图象关于点对称；③是偶函数；④的图象经过点．其中正确论断的序号是?（
请填上所有正确论断的序号）．29.已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：①函数是周期
函数；②函数的图象关于点对称；③函数为上的偶函数；④函数为上的单调函数．其中真命题有?．（填序号）30.
已知函数满足，函数关于点对称，，则?．31.定义在实数集上的函数满足，且．现有以下三种叙述：①
是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数．其中正确的序号是?32.已知定义在上的函数满足
条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：（1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于点对称；（3）函数为上
的偶函数；（4）函数为上的单调函数．其中真命题的序号为?．（写出所有真命题的序号）33.设是定义在上的偶函数，
且，当时，，则?．34.已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，，则?．35.定义在上的偶函
数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：①是周期函数；②关于直线对称；③在上是增函数；④
在上是减函数；⑤，其中正确的序号是?．36.已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则?.37.定义
在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于的判断：①是周期函数；②的图象关于直线对称；③在上
是减函数；④在上是减函数．其中正确的判断是?（把你认为正确的判断都填上）．38.已知定义在上的函数是偶函数
，对都有，当时，的值为?．39.已知函数是上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，
，则?．40.已知函数是上的奇函数，若将不管向左还是向右平移一个单位都将得到一个偶函数，记向左平移一个单位得到
的函数为，且，则?．41.已知定义在上的函数的图象关于轴对称，且满足，则?．42.定义在上的
偶函数，满足，且在上是减函数．下面五个关于的命题中，正确的个数为?．①是周期函数；②的图象关于对称；③
在上是减函数；④在上为增函数；⑤．43.已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且
时，有，给出下列命题：（）在上有个零点；（）点是函数的一个对称中心；（）直线是函数图象的一条对称轴；（
）．则正确的是?．44.定义在上的函数满足，且函数为奇函数，给出下列结论：（1）函数的最小正周期是；（2）
函数的图象关于点对称；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数的最大值为．其中正确的结论的序号是?．（写出你
认为正确的所有结论的序号）45.设函数为定义在上的偶函数，且满足，当时，，若在区间上，方程恰有个不相
等的实数根，则实数的取值范围是?．46.已知函数是定义在上的偶函数，对于，都有成立，当，且时，都有
，给出下列四个命题：①；②直线是函数的图象的一条对称轴；③函数在上为增函数；④函数在上有四个
零点．其中所有正确命题的序号为?．47.设函数是定义域为的奇函数，且满足对一切恒成立，当时，．则下列四个命
题：①是以为周期的周期函数；②在上的解析式为；③在处的切线方程为；④的图象的对称轴是．其
中正确的命题是?．48.定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：①是周期函数，且周期
为；②的图象关于点对称；③在上是减函数；④在上是增函数；⑤．其中正确的序号是?．49.已知
定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则?．50.已知函数是
上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有．给出下列命题：①；②直线是函数的图象的一条对称轴；③函
数在上为增函数；④函数在上有四个零点．其中所有正确命题的序号为?（把所有正确命题的序号都填上）．51.定义在
上的偶函数满足，且在上是增函数，则下面个关于的命题中，真命题的序号是?．①是周期函数；②函数的图象
关于直线对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．52.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对
称，，则的值为?．53.定义在上的偶函数满足，且在上是增函数．给定下面关于的判断：①是周期函数；②
的图象关于直线对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤，其中正确的判断是?（把你认为正确的判断序号都填上
）．54.已知直线和都是定义在上的函数的对称轴，且在时，有且仅有两个零点和，则函数的奇偶性为?
，在上有?个零点．55.如果存在正实数，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为"亲和函数"．则对于"亲和函
数"，有下列说法：①；②；③的图象关于点对称；④是周期函数，且是它的一个周期．其中正确的序号为?．答案第一部
分1.C【解析】因为函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数所以．所以函数的
周期为．因为函数为奇函数，所以，所以．因为，所以，2.B【解析】函数对任意，都有，所以，因此函数
的周期．把的图象向左平移个单位可得到的图象，则的图象关于点对称，因此函数为奇函数，所以．3.A【解
析】由，得，所以，所以的周期为．又，而，所以．4.D5.D【解析】由知，的周期，又是定义在
上的奇函数，且，所以，，，故6.B7.B8.D9.D【解析】由题意可知，关于点对称，再结合为偶函
数，可得出为周期是的函数，又，所以，，，，因此，又，所以．10.A【解析】由，知．所以①正确；因为函数
为奇函数，所以函数关于点对称，所以关于点对称，②正确；由②知，，则为偶函数，所以③正确．11.C【解析】
由得，即求函数与图象的交点个数，而是偶函数且图象关于直线对称，则周期为，由题意画出两个函数在的图象如图
所示，且两个都是偶函数，可知两函数图象交点个数为个．12.B【解析】提示，根据题意为奇函数，且关于对称．．所以做示
意图如下，可得两根之和为．13.C【解析】由可知为的对称轴，由是偶函数可知的图象关于轴对称，所以
周期为．所以．14.C【解析】充分性：若为偶函数，则，从而．结合知，所以，的周期．必要性：若，则，
从而．结合得，所以，是偶函数．15.B【解析】由已知条件知，函数在定义域上关于点对称，同时关于直线
对称，所以函数的周期为．又，所以．易知，所以，，．因此16.A【解析】由关于点对称知，为奇函
数，故，整理得，再结合，得，故为偶函数，所以，．17.D【解析】因为函数是上的
奇函数，所以，又函数图象关于直线对称且，所以有，，．所以方程在内解的个数的最小值是．18.C【解析】由定义
在上的函数，满足的图象关于直线对称，所以关于轴对称，为偶函数；因为，所以，得，所以，函数的周期为
．．19.B【解析】因为，所以周期为，当时，画出和的图象如下．由图象知方程在区间上根的个数是
个．20.A【解析】因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，又因为是奇函数，所以的对称中心为，所以的对称
中心为，即，因此函数的周期为．故，，．因为对任意，都有，所以在上为增函数，利用函数的单调性，又，所以．
21.B【解析】原题转化为函数与的图象在上有几个交点的问题．可知函数为偶函数，故，所以函数是周期为的
函数．结合当时，，可以画出函数在上的图象．当时，，当时，，且是偶函数，函数值非负，由此可画出函数和函数
的图象如图所示，由图可知两图象有个交点．22.C【解析】根据题意可知，是奇函数，且是周期为的周期函数，利用奇偶性
和周期性作的图象，再作出的图象，这两个函数图象共有个交点，又因为这两个函数的图象关于中心对称，故个交点的横坐标
之和为，所以在内所有不等实根的和为．第二部分23.①③【解析】提示：是奇函数，所以图象关于原点对称，是偶函数，
所以关于对称，从而可简略画出函数的图象．24.25.①②③④【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以
，因为对一切都成立，所以，所以函数是以为周期的周期函数，故①正确．当时，，，所以，故②正确．因为，所以
，所以函数的图象关于对称，故③正确．因为当时，，所以，因为，所以，所以，所以函数的图象关于对称．故正确
的命题有①②③④．26.【解析】因为函数满足对任意有，所以函数的图象关于点对称，又因为函数是定义在上
的奇函数，所以函数的图象关于点对称，所以函数的周期为，所以，，故．27.①④【解析】①因为的定义域为
，所以函数的定义域也为．因为，所以是奇函数，所以①正确；②因为是定义在上的奇函数，令，得，所以，可
见函数的图象不关于直线对称，所以②不正确；③因为，不具有任意性，所以根据函数单调性的定义可知不能判断函数的单
调性，所以③不正确；④因为是奇函数，所以，又函数也是奇函数，所以，所以．所以，所以函数是以为周期的周
期函数，所以④正确．综上可得，真命题为①④．28.①②③29.①②③【解析】由题意得，则为周期函数，且，故①
为真命题；又关于对称，的图象向左平移个单位长度得的图象，则的图象关于点对称，故②为真命题；又为奇函
数，所以，，所以，，所以为偶函数，不可能为上的单调函数，所以③为真命题；④为假命题．30.【解析】由已知，，所以
周期为，又因为函数关于点对称，而函数是由函数向右平移一个单位得到，所以函数关于点对称，即是奇函数，
故．31.①②③【解析】依题意，，所以是函数的一个周期，故①对；，所以的图象关于直线对称，故②对；因为，所
以，又，所以，是偶函数，故③对．32.（1）（2）（3）【解析】，所以是周期为的周期函数，（1）正确；函数
是奇函数，其图象关于点对称，则的图象关于点对称，（2）正确；因为的图象关于点对称，，所以，又，所以，所以
为上的偶函数，（3）正确；是周期函数，在上不可能是单调函数，（4）错误．33.【解析】因为是定义在上的
偶函数，，所以，所以函数的周期为，所以，因为时，，所以．34.【解析】因为奇函数的图象关于直线对称，，所以
，由的图象关于直线对称，得，即，所以，故是以为周期的函数，故，故．35.①②⑤【解析】①正确；因为
定义在上的偶函数满足，所以，所以是周期为的函数．②正确；因为，所以的图象关于对称．③④错误；因为
为偶函数且在上是增函数，所以在上是减函数．又因为对称轴为，所以在上为增函数．⑤正确；因为对称轴为，所以．
36.【解析】因为时，，由为奇函数，所以时，，所以当时，，结合函数关于直线对称和奇函数图象关于原点对称
的性质可得出函数为周期的函数，所以．37.①②③【解析】，①正确；由可得的图象关于直线对称，②正确；由
在上是增函数，结合②可知，在上是减函数，③正确；由①知，是周期为的函数，再结合③可知，在单调递增，单调递
减，④错误．38.【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称，即．又是偶函数，所以，的周期是．故．39
.【解析】由题可得将式中用代替得，再结合，可得再将中的用替换得，结合可得．因此，函数是
周期为的周期函数．40.【解析】由题可得关于对称，再结合为奇函数，可得是以为周期的函数，又，，，一
个周期内的函数值之和为．41.【解析】因为的图象关于轴对称，所以，又，所以，所以，，，，所以结果为．42.
【解析】由，令，得．∴，则．∴函数的周期，函数的图象关于对称，所以①②⑤正确．∵是定义在上的偶函数，且
在上是减函数，∴在上是增函数，在上也是增函数，所以③不正确，④正确．43.（）（）（）44.（2）（3
）【解析】由题意可得，则函数是周期函数且其周期为，故（1）错误；由是奇函数，可得其图象关于原点对称，由向右平移
个单位长度，可得的图象，则函数的图象关于点对称，故（2）正确；，，因为函数图象关于对称，所以，所以．
函数的图象关于直线对称，故（3）正确；函数的最大值不一定为，故（4）错误．45.【解析】因为，所以关于
对称．方程可以整理成，所以由方程恰有四个不相等的实数根可得与的图象有四个不同的交点．如下图所示：直线恒过，若使
与有个交点，则过点和为临界状态，分别计算得和，所以．46.①②④【解析】因为对于任意，都有
成立，令，则，得，故①正确；由（1）知，所以，即周期为，又因为是上的偶函数，所以，而周期为，
则，，所以，所以直线是函数的图象的一条对称轴，即②正确；当，且时，有，所以函数在上为减函数，而
周期为，所以函数在上为减函数，故③错误；④为偶函数，周期为，在上为减函数，，作出函数在上的大致图
象如图所示．则函数在上有四个零点，故④正确．故答案为①②④．47.48.①②⑤【解析】定义在上的奇函数
满足，且在上是增函数．对于①，由，得，所以，所以是周期函数，且周期为．故①正确；对于②，由①知，所以
，由是奇函数得，则的图象关于点对称．故②正确；对于③，在上是增函数．则在上是增函数．故③错误；
对于④，在上是增函数．则在上是增函数，所以在上为增函数．又由知，的图象关于直线对称，所以在上
是减函数，故④错误；对于⑤，，，由，可得．所以．故⑤正确．所以正确命题的序号是①②⑤．49.【解析】因为，
所以，即函数的一个正周期为，又因为为奇函数，，故函数的图象关于对称，又由题意可知在上单调递增，综上，可
以画出函数图象的示意图：方程在区间上有四个不同的根，，，，不妨设，则，，则．50.①②④【解析】提示：令，得
解得，根据偶函数的性质，得，从而则是周期为的函数．根据所给不等式，在上是增函数．根据偶函数的性质，在上是减
函数．综上，可以画出的大致图象，如图所示．由图象可推知结论．51.①②⑤【解析】因为，所以，所以是以为周期的周期函数，故①正确；由于，故函数的图象关于直线对称，②正确；偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故③不正确；根据周期性，函数在上的单调性与在上的单调性相同，故④不正确；根据周期性，知⑤正确．52.【解析】由函数的图象关于对称，得，则．亦即，从而是以为周期的函数．又，，则，，．因此，．53.①②⑤【解析】，则是周期为的周期函数，①⑤正确；，所以的图像关于对称，②正确；因为是偶函数，周期为，且在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，因此③④错误．54.非奇非偶，【解析】由题意知是以为周期的周期函数，在原点附近关于直线和对称，不关于对称，又，所以是非奇非偶函数；每个周期内有两个零点，所以结合周期可得区间上零点的个数．55.②④【解析】若，则为奇函数，与题意不符，故①错；由为偶函数，得，故②正确；为偶函数，说明将的图象向左平移个单位后图象关于轴对称，的图象关于直线对称，故③错；④是正确的，理由如下：由为奇函数，得，以代，有．由为偶函数，得，以代，有．，即，，于是，得④正确．第1页（共1页） |
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