第十三章三角形
13.3等腰三角形
13.3.2等边三角形
第1课时等边三角形的性质与判定
学习目标：1．探索等边三角形的性质和判定．
2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
重点：等边三角形的性质和判定
难点：运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明
一、知识链接 两____相等 两____相等 等边对_______ 等角对____ 三线合一:_______、_______、_______ 轴对称图形 二、新知预习三、自学自测已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=我的疑惑
要点探究
探究点：
典例精析
例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
变式训练：
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
探究点2：等边三角形的判定
想一想：小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？为什么？
顶角为60°的等腰三角形：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形.
证明：
2.底角为60°的等腰三角形：
证明：
要点归纳：有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形.
典例精析
例3：如图,在等边三角形ABC中，点D、E在边AB、AC的延长线上，且
DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.
想一想：若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
针对训练
△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为（）
如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD相等的线段有（）
第2题图第3题图
3.如图，△ABC是等边三角形,DE∥BC,则∠ADE=__________.
4.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
【变式题】△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，则△DEF是等边三角形吗？为什么？
二、课堂小结 三边相等，三个角都等于_______. 三边相等 每一条边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三角相等 3条对称轴 有一个角等于____的等腰三角形
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）
A．105°B．120°C．135°D．150°
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）
A.4个B.5个C.6个D.7个
第2题图第3题图第4题图
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）
A．10°B．15°C．20°D．25°
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．
6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
拓展提升
7.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
自主学习
教学备注
配套PPT讲授
1.问题引入
（见幻灯片3）
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片6-14）
课堂探究
教学备注
3.探究点2新知讲授
（见幻灯片15-23）
A
B
C
A
D
E
B
C
A
D
E
B
C
教学备注
配套PPT讲授
5.课堂小结
A
B
C
D
E
教学备注
配套PPT讲授
6.当堂检测
（见幻灯片24-30）
当堂检测
A
C
B
D
E
O
A
C
B
D
E
温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：www.youyi100.com(无须登录，直接下载)
|
|
