第十三章轴对称
13.3等腰三角形
13.3.2等边三角形
第2课时含30°角的直角三角形的性质
学习目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质.
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
重点：含30°角的直角三角形的性质．
难点：运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
知识链接
要点探究
探究点：
拼一拼：如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
填一填：
∠A=∠D=_______，∠BAC=___________;
AB=DE,△ABE是__________三角形；2BC=BE=________.
要点归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
证一证：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.
方法一：倍长法
【提示：延长BC至D，使CD=BD，连接AD】
证明：
方法二：截半法
【提示：在BA上截取BE=BC，连接EC】
证明：
方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法.
典例精析
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
例2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()
A．3B．2C.1.5D．1
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
例4：已知:等腰三角形的底角为15°，腰长为20.求腰上的高.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
针对训练
1.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AC的长是()
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____．
第2题图第3题图
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____m.
4.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°.
求证：AB=4BD
证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30
∴BC=AB
∠B=
又∵△BCD中,CD⊥AB
∴∠BCD=
∴BD=BC
∴BD=AB
即.
5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长.
二、课堂小结
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()
A．6米B．9米C．12米D．15米
第1题图第2题图
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()
A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=.
第3题图第5题图
在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC=.
如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______.
6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
.
7.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
拓展提升
8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
1.问题引入
（见幻灯片3）
2.探究点新知讲授
（见幻灯片5-19）
自主学习
课堂探究
A（D）
B
C（F）
E
D
F
E
A
B
C
教学备注
A
B
C
教学备注
3课堂小结
教学备注
4.当堂检测（见幻灯片20-25）
当堂检测
C
A
B
D
C
B
A
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