第二节二维连续型随机变量性质复习1.2.设D的面积为A,则计算公式设区域D为D：则Dx·把其中
的x作为常数,对y求定积分举例解,其中0，其它。xyo1D原式=0Dx·求一、二
维连续型r.v及其概率密度对于随机变量X,若存在非负函数f(x),使得对于任意实数x都有
则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数或密度函数.定义1设随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,
y),如果存在非负函数f(x,y),有则称(X,Y)为二维连续型随机变量;(X,Y)的概率密度,或称为X与Y联合
概率密度.称为注意：（）（）右端即为ouv概率密度f(x,y)主要性质在点处连续,则(2
)若(3)设D是xoy面上的一个区域，则(X,Y)落在D内的概率：例1.设(X,Y)的概率密度为
求常数a.解0，其它oxy例2.已知(X,Y)的概率密度为求0，其它解:(X,Y
)的密度f(x,y),平面区域Doxy(1,2)x+y=1oxyx+y=1其中oxyx+y=1
例3.已知(X,Y)的分布函数为求(X,Y)的密度函数f(x,y).解0,其它其它1.二维均匀分布(
重要)二、二个重要分布设平面区域D的面积为S，的概率密度为则称(X,Y)在D上服从均匀分布，记作若二维随机变量(X,Y
)比如设区域D：那么(X,Y)的概率密度为其它。例4设(X,Y)在区域服从均匀分布，求P{X上解(X,Y)的p.d.f为oxyoxy12D(X,Y)的密度f(x,y),平面区域D,y=
xoxy12y=x设平面区域D的面积为S，则(X,Y)的p.d.f为其中xyx态分布的概率密度为随机变量其中都是常数,且|ρ|＜1二维正态分布图三、二维连续型r.v的边缘分布定义2是连
续型r.v，函数的边缘概率密度。称为关于的密度分量设定理如果(X,Y)的概率密度为f(x,y),那么
定理如果(X,Y)的概率密度为f(x,y),那么证明(X,Y)的密度f(x,y),平面区域D,xo
yx类似可证xoyy=x11例5设(X,Y)的p.d,f为0，其它求边缘概率密度解(X,Y)的
概率密度为f(x,y),则时，当其它x2·xxy=xxoy11解(X,Y)的概率密度为f
(x,y),则时，当其它求·y例5设(X,Y)的p.d,f为0，其它例6.设区域D：(
X,Y)~UD,求(X,Y)的边缘概率密度解(X,Y)的概率密度为f(x,y),则\f(x,y)=ox
y1-10,其它当-1(X,Y)概率密度边缘概率密度(X,Y)的概率密度为f(x,y),则f(x,y)=0,其它当-
1率密度。y1xoDy=xy=-x解(X,Y)的概率密度为f(x,y),则时，当其它·x
-xxy1xoDy=xy=-x例7设(X,Y)的p.d.f为0，其它求(X,Y)的概率密度
为f(x,y),则时，当·y时，当·y其它y例8设(X,Y)的p.d,f为0，其它求(X,Y
)的边缘概率密度。解(X,Y)的概率密度为f(x,y),则时，当其它y1xoDy=2-2x2-2
x·x认识y1xoDy=2-2x2解(X,Y)的概率密度为f(x,y),则时，当其它例8
设(X,Y)的p.d,f为0，其它求·yy1xoD(X,Y)的概率密度为f(x,y),则时，当
其它再认识时，当其它解·y·x0,其它设(X,Y)~求(X,Y)的边缘概率密度。f(x,y)=
注:由二维随机变量(X,Y)的概率分布或X与Y的联合分布可唯一地确定X和Y的边缘分布,反之,若已知X,Y的边缘分布,并
不一定能确定它们的联合分布.习题3.1P584（1）（2）（3）复习题3P7716；25
，28习题3.2P678(只求边缘概率密度).二个补充题，后一版上补充题1.设随机向量(X,Y)的概率密度
为解,求0，其它oxy(1,2)oxy111-x0x+y=1原式=补充题2设(X,Y)的p.d,f为0，其它(2)(X,Y)的边缘概率密度求(1)常数A； |
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