第四节二维随机变量函数分布已知r.v.(X,Y)的概率分布,问题g(x,y)为已知的二元函数,求Z=
g(X,Y)的概率分布一、二维离散型随机变量函数的分布例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为求的概率分布.
XY-112-10解由(X,Y)的联合分布,可得如下表格：(-
1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-5-67
6131210-10
-2010-10-1/2
0XY-112-10求的概率分布.(-1,-1)(-1,0)(
1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-5-676
131210-10-2
010-10-1/20故得-6
-5671213-20
-11注:相同数值对应的概率要相加(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)
(2,-1)(2,0)-5-676131
210-10-201
0-10-1/20-101注:相同数值对
应的概率要相加已知r.v.(X,Y)的概率密度f(x,y),二、二维连续r.v.函数的分布问题:求Z=
g(X,Y)的概率密度.(1)先从求Z的分布函数出发,方法:分布函数法将Z的分布函数转化为(X
,Y)的事件的概率(2)对分布函数求导例2设X，Y是相互独立的随机变量，且都服从求的概率密度。解∵
与独立，已知r.v.(X,Y)的概率密度f(x,y),求Z=g(X,Y)的概率密度.(1)
(2)对分布函数求导X和Y相互独立∴的概率密度为其中例2求的概率密度。已知r.v.(X,Y
)的概率密度f(x,y),求Z=g(X,Y)的概率密度.(1)(2)对分布函数求导的概率密度
为当z?0时，当z>0时，已知r.v.(X,Y)的概率密度f(x,y),求Z=g(X,
Y)的概率密度.(1)(2)对分布函数求导例3已知(X,Y)的联合p.d.f为Z=X+
Y,求fZ(z)解0，其它Z=X+Y,求fZ(z)x+y=z当z?0时，1yx
1?0=0?zZ=X+Y,求fZ(z)当0?z?zZ=X+Y,求fZ(z)当1zz-1Z=X+Y,求fZ(z)当z>2时，x+y=z1yx1o221y
x1oDz且X与Y独立,作为和的分布的应用,我们可以证明：定理1若则相互独立,进一步:ci是常数，
则独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。例4设连续随机变量X,Y相互独立,X~FX(x),Y~F
Y(y),M=max{X,Y},N=min{X,Y},求M,N的分布函数.解习题3.3
P7510；11;13只求X+Y的概率密度！补充题补充题已知(X,Y)的联合p.d.f.为Z=X+Y,求fZ(z)。答案0，其它0，其它 |
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