第四章随机变量的数字特征r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况—方差描述两r.v
.间的某种关系的数——协方差与相关系数分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用
中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均平均长度越长,偏离程度越小,质量
就越好;长度又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。例如：由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述
r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.第一节数学期
望一、离散型随机变量的数学期望引例某农场有甲、乙、丙三个水稻品种，每亩仅种一个品种播种，面积和亩产量如
下：品种面积(亩)亩产(公斤)甲乙丙305020450500650求平均亩产。解平均亩产=用X表
示农场任一亩稻田的产量，X的所有可能值与其相应（千克）由此可以看出,随机变量X的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相
应由此我们引出离散型随机变量均值即数学期望则X分布律为的概率的乘积之和为：品种面积(亩)亩产(公斤)甲乙丙30
5020450500650平均亩产概率乘积的总和,而不是的概念.定义1设r.v.X的概率分布为则
称数记为E(X),(要存在!)为X的数学期望(均值),即注：则当X可能取的值为有限个，且例1.甲
人生产某产品，在一天中出现的废品数为且求解：数学期望重要离散型随机变量的数学期望（1）“0—1”分布（两点分
布）数学期望（2）二项分布数学期望例2设且则解（3）泊松分布数学期望推导令n=k-1上式中
，令x=l,得？例3.设且求解：定理1设则离散型随机变量Y=g(X)的数学期望
为例如数学期望例4.设XP012,求解注意：数学期望及定理1设则二、连续型随机变量的
数学期望定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则X的数学期望注意：E(X)表示X的平均值。解(1)
例5.设随机变量X的概率密度为，试求(1)数学期望E(X)；(2)分布函数F(x)X的概率密度为f(x)
,则数学期望0，其它(2)当时，时，当01t(1)x●(2)x●(2)求分布函数F(x
)0,其它时，当当时，故当时，01t(3)x●重要连续型r.v的均值(记住).（1）均匀
分布X的概率密度为X的概率密度为f(x),则数学期望推导:0，其它.X的概率密度为f(x),则数
学期望（2）指数分布X的概率密度为推导:0,指数分布0,例6设随机变量当时,（3）正态分布
推导:概率密度为数学期望令奇函数等于1（3）正态分布X~N(0,1),定理2设连续型随机变量X的概率密度
为f(x)，则随机变量的数学期望特别,有当时,X的概率密度为f(x),则数学期望例7均匀分布
求解X的概率密度为定理2设X的概率密度为则的数学期望为公式总结离散型连续型X的概率密度为
f(x)三、二维r.v的数学期望定理3的数学期望为XY若离散型r.v.(X,Y)的分布律为:则离散型r.vg
(X,Y)XY定理1设则离散型随机变量Y=g(X)的数学期望为例8设(X,Y)的分布律为下表，
00110.490.210.210.09求E(X)及E(XY)。解XP010.49+0.210.21
+0.09X的边缘分布律为XY定理4若连续型r.v.(X,Y)的概率密度为f(x,y),则连续型r.v.g(X,Y
)的数学期望为特别地：定理2设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，则随机变量的数学期望例9设(X
,Y)的概率密度为求解定理3(X,Y)的密度为f(x,y)，则g(X,Y)的期望为oxy110，其
它01]例9设(X,Y)的概率密度为,求定理3(X,Y)的密度为f(x,y)，则g(X,Y)的期望
为oxy110,其它01]01]四、数学期望的性质性质1设C是常数,则有性质2设X是一个随机变量,是常数,则有 |
|
