习题4.3P10219(相关系数不要求)；21第四节协方差、相关系数和矩相互独立相互独立复
习下面我们来讨论描述X和Y之间相互关系的数字特征：协方差、相关系数。第四节协方差、相关系数和矩对于二维随机变量(X
,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系
问题:用一个怎样的数去反映这种联系.一、协方差1.协方差的定义定义1设(X,Y)为二维随机变量，称数值为
X与Y的协方差，记为即X与Y的协方差2.计算公式推导(1)离散型则XY再求出X及Y的边缘分布律，
得E(X)及E(Y)，分布律为:从而求得Cov(X,Y).设(X,Y)的XY例1设(X,Y)的分布律为:00
110.500.30.2求E(X),D(X)及Cov(X,Y)解XP010.5+00.3+0.2X的
边缘分布律为YP010.5+0.30+0.200110.500.30.2求E(X),D(X)及Co
v(X,Y)XY(2)连续型则有：[当g(x,y)=x时][当g(x,y)=y时][当g(x,y)=xy时]设
r.v.(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)的概率密度为f(x,y),则例2设随机向量(X,Y)的
概率密度为求X与Y的协方差Cov(X,Y)。解0，其它1y=xyxoD例2求协方差Co
v(X,Y)。E(Y)=解0，其它1y=xyxoD例2求协方差Cov(X,Y)。0,其
它1y=xyxoD3.协方差的性质其中a,b是常数.若X和Y独立，(1)(2)(3)(4
)则若独立,则(4)若X和Y独立，则证(4)∵X和Y独立∴E(XY)=E(X)E(Y)注：X和Y独
立.则例3．设解例4证明重要等式证明左边==右边二、相关系数定义2数称为随机变量X与Y
的相关系数。相关系数例5.设求(1)解(1)X~B(n,p)例6设Y=a+bX
(b≠0),求相关系数解相关系数又∴例7设X的分布律为：求D(X),D(Y)及解P01－1令Y
=X2,欣赏例7求D(Y)及P01-1令Y=X2,从而例8设求解1其它欣赏性质1性
质2存在常数a,b,使得定义3则称随机变量X与Y不相关.若rXY=0,X与Y不相关X与Y独立注1注2
若(X,Y)~则X与Y相互独立X与Y不相关(1)若X和Y独立，则(4)书P98,例4-11三、矩X的k阶原
点矩：X的k阶中心矩：E(X)是一阶原点矩，D(X)是二阶中心矩Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。X和Y的k+l阶混
合中心矩：例如：四.协方差矩阵定义设X1,X2为2个随机变量,记cij=Cov(Xi,Xj)i,j=1,2.
则称由cij组成的矩阵为随机变量X=(X1,X2)T的协方差矩阵C.即X与Y的协方差：注协方差矩阵是对称矩阵。
X=(X1,X2)T的协方差矩阵例9求(X,Y)的协方差矩阵。解由题设协方差矩阵=复习题4P10436补充题（后一版上） |
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