本章重点1.刚体惯性力系的简化2.达朗伯原理的应用第一节达朗伯原理第二节刚体惯性力系的简化第三节
达朗伯原理的应用第四节定轴转动刚体的轴承动反力第十二章达朗伯原理一、质点的达朗伯原理质量为m的质点
M在主动力F和约束反力FN的作用下作曲线运动，在图示瞬时，其加速度为a。由质点动力学方程得:移项得：令:得:称：第
一节达朗伯原理为质点M的惯性力。质点的达朗伯原理：质点在运动的每一瞬时，作用在质点上的主动力，约束反力与质点的
惯性力构成一形式上的平衡力系。二、质点惯性力的概念惯性力:质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时，由质点本身的惯
性，对施力物体产生反作用力。质量m=10kg的物块A沿与铅直面夹角q=600的悬臂梁下滑。不计梁的自重，并忽略
物块的尺寸，试求当物块下滑至距固定端O的距离l=0.6m，加速度a=2m/s2时固定端O的约束反力。解:物块和悬臂梁一起为研究对
象;物块作直线运动.惯性力:图示小车以匀加速度a沿水平直线运动。小车上有一质量为m长为l的单摆,当q=0时,w
=0。求转角?在任一瞬时,杆O''M的拉力.o''M?a?xyoo''aaeanratrmgFF
eIFrItFrIn?M解：取M为动点，动系固结在小车上。积分：三、质点系的达朗伯原理n个质点组成的质点
系，取其中任意一质量为mi的质点Mi，在质点Mi上假想地加上惯性力：在每个质点上加上惯性力，则作用于整个质点系的主动力
系、约束力系和惯性力系组成一平衡力系，力系的主矢和力系向任一点O简化的主矩都等于零，即：由质点的达朗伯原理：
重量WA=WB=W的两个物块A和B，系在一无重软绳的两端，软绳绕过半径为R的无重定滑轮，光滑斜面的倾角为q。试求物块A下降的加速
度及轴承O的反力。解：1.取物块B为研究对象;物块作直线运动。2.系统为研究对象一、刚体作平动惯性力系向刚体的质心C简化
，主矢和主矩为：第二节刚体惯性力系的简化二、刚体作定轴转动设刚体具有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平
面。惯性力系向质量对称平面与转轴的交点O简化，主矢和主矩为：1．刚体转轴不通过质心，作匀速转动：几种特殊情况：通过质心C。
2．刚体转轴通过质心，角加速度a≠0：3.刚体绕质心轴匀速转动将惯性力系的主矢、主矩向质心C简化：三、刚体作平面运动
刚体具有质量对称平面，且刚体平行于对称平面作平面运动。将平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，将惯性力系向质心C简化，
惯性主矢和主矩分别为:已知物体的质量为m，给下列运动物体加惯性力，并计算其大小。?O1O2ABaA
CaCFI?O1O2AB×ABCaAaCFIABC剪断瞬时ABaC1C2FAI
aearFrIFeIABaC1C2物体的质量为m1,m2。C×FIMCICaCa剪断瞬
时OCwaaτanOCwaFInFIτMOIOCwaFInFIτMCIOC对O点:
对C点:aCCaFIaCCaMCIOA?OA?a1FI1Ia2FI2AOA?FI1
FI2两均质杆AB和BD，质量均为3kg，AB=BD=1m，焊接成直角形刚体，以绳AF和两等长且平行的杆AE、BF
支持。试求割断绳AF的瞬时两杆所受的力。杆的质量忽略不计。第三节达朗伯原理的应用0.25m解：杆为研究对象；
均质杆AB的质量为m，长l，A端用光滑铰链水平铰接，B端用绳子拉住,位于水平面上。试求当圆盘以匀角速度w绕圆心转动时，绳的
拉力的大小。450ABOC?450ABOCFBaCFIFAxFAy解：杆为研究对象；2、
受力分析、运动分析并加惯性力；3、列方程求解。1、研究对象；达朗伯原理解题步骤：滑轮A和B视为均质圆盘，重
量分别为W1和W2半径分别为R和r，且R=2r，物体C重P，作用于A轮的转矩M为一常量，求物体C上升的加速度，A处的约
束反力。ABCMABCMFAyFAxW1W2P受力分析速度分析ABCvAvBvCv
CvA=vB=2vCaA=aB=2aCaB=aC/raA=2aC/RABCaAaBaCac
aBaA加速度分析ABCMAIMBIFCIFBI加惯性力解：系统为研究对象。一、一般情况下转动刚体惯性力系
的简化在质点Mi上虚加惯性力：取O点为简化中心，惯性力系的主矢:惯性力系的主矩:式中：第四节定轴转动刚体的轴
承动反力分别称为刚体对通过O点的轴x、z和轴y、z的惯性积，惯性积可正、可负，也可为零。二、一般情况下轴承的动反力根据达
朗伯原理，列出六个平衡方程：由前五个方程解得轴承反力：FBz与惯性力无关；与z轴垂直的轴承反力FAx、FAy、FB
x、FBy由两部分组成：（1）由主动力引起的静反力；（2）由惯性力引起的动反力。三、附加动反力消除条件1、消除条件：
由：所以附加动反力消除的条件是：2、惯性主轴（1）当物体具有质量对称面时，垂直于此面的轴是主轴之一。（2）当物体具
有一根对称轴时，其为惯性主轴之一。结论：当转轴为中心惯性主轴时，附加动反力为零。直观确定主轴的方法：1.静平衡：转轴过质心。
四、静平衡和动平衡2.动平衡：转轴为中心惯性主轴。若对{x，y，z}轴系，有：Jxy=Jyz=Jzx=0则称{x，y
，z}轴为通过刚体上一点的惯性主轴。若过质心C取惯性主轴，称之为中心惯性主轴。若Jyz=Jzx=0则轴z称为惯性主轴之一。
一砂轮机的砂轮偏心，求轴承A、B处附加动反力已知：m1=1kg，e1=0.5mm，m2=0.5kg，e2=1mm，m3=
8kg，n=3000转/分。AB502005010.5CC1C2ABFI1CC1C2FI2
FAFB解：整体为研究对象，只考虑惯性力影响一、惯性力的计算1.质点(1)刚体作平动2.刚体取刚体质心C为简化中心
(2)刚体作定轴转动(3)刚体作平面运动小结二、质点的达朗伯原理三、质点系的达朗伯原理转轴为中心惯性主轴。四
、附加动反力为零条件12—4、12、14求图示曲柄连杆机构中A、B两点的虚位移之间的关系。解：速度投影法：给曲柄销A
以的虚位移:dsA滑块B的对应虚位移为:dsB几何法:P第一节虚位移与虚功的概念一、虚位移在某瞬时，质
点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移。虚位移可以是线位移或角位移。第十三章虚位移原理18第二节虚位移
原理具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。二、虚功:三
、理想约束:约束反力所作虚功之和等于零的约束。取dr=dr，理想约束的定义和动能定理中一致。质点或质点系所受的力在虚位移上所作的
功称为虚功。双摆摆杆长l1、l2求双摆A、B点的虚位移。解：变分法,取j、q为广义坐标。θAl2l1
BxyqBA在曲柄式压榨机的销钉B上作用水平力F，此力位于平面ABC内，作用线平分∠ABC。设AB=BC，
∠ABC=2q，各处摩擦及杆重不计，求物体所受的压力。解：系统自由度为1，取a为广义坐标变分法:建立直角坐标系xy
αFN建立虚功方程：αδrBδrCFN几何法:给drB，作出drC如图。建立虚功
方程：多跨梁由AC和CE用铰C连接而成。荷载分布如图示，P=50kN，均布荷载q=4kN/m，力偶矩M=36
kN.m；求支座A、B和E的约束反力。3m3m6m6m6mABCDEPqM解:将均布载荷用合
力代替，F1=F2=24kN。解除支座A的约束，代之约束反力FA,系统获得一个自由度。ABCDEPF1F2M
B是AC杆的瞬心；E是CE杆的瞬心。?rCFAACE?rP?r1?r2?rA??1??2作出各有关虚位移
，由虚位移原理得:?rCACE?rP?r1?r2?rB??1??2FB作出各有关虚位移，由虚位移原理得:
同理,解除支座B的约束，代之约束反力FB。ACE?rE?r2??FE同理,解除支座E的约束,代之约束反力FE。
作出各有关虚位移，由虚位移原理得:第三节自由度与广义坐标广义力一、自由度在完整约束条件下，确定质点系位置的独
立参数的数目等于系统的自由度。空间质点系的自由度：N=3n－S;平面质点系的自由度：N=2n－S;S：约束方程数。取j
为广义坐标:取j为广义坐标:二、广义坐标确定质点系位置的独立变量。三、广义力
设n个质点组成一非自由质点系，有N个自由度。选N个广义坐标，q1,q2,…qN，可确定质点系的位置。那么在直角坐标
系中，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式：变分得广义虚位移:由虚位移原理:令:称为FQk对应于广义坐标
qk的广义力。五、广义力的求法1、根据公式计算若作用于质点系的主动力为有势力，势能为EP2、令
广义坐标中的dqj≠0，而保持其余（N-1）个广义坐标不变，求出所有主动力相应于虚位移dqj所作的虚功之和.四、以广义力表示的质
点系的平衡条件由于广义虚位移独立，且dqk≠0，故：图示双锤摆A，B分别重G1，G2，摆杆长
OA=l1,AB=l2用铰连相连并悬挂在O点，各杆重量不计，今在B点沿水平方向作用一已知力F，且G1，G2，F三力都在同一平面内，试求系统平衡时两摆杆与铅垂线的夹角j1,j2各为多少。解：系统两个自由度，取摆杆与铅垂线的夹角j1,j2为广义坐标。解法一：令此时系统的虚位移如图所示。主动力的虚功之和为：对应于广义坐标j1的广义力：dsAdsBdsB令：主动力的虚功和为：对应于广义坐标j2的广义力为：由系统的平衡条件：解得：此时系统的虚位移如图所示。解法二：令：解得：13—5、13 |
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