函数的奇偶性【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性；【教学重
难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】“对称”是大自然的一种美，这种“对
称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？提出问题①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.结
论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称.②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数
的解析式具有什么共同特征？x-3-2-10123f(x)=x2表1x-3-2-10123f(x)=|x|表2结论：这两个函数的解
析式都满足：f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，
它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x).定义：1．偶函数一般地，对于函数的定义域内的任
意一个，都有，那么就叫做偶函数．观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？2．奇函数一
般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．注意：1、如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；函数的奇偶性
是函数的整体性质；2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；3、由函数的奇偶
性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一
个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；4、偶函数的图象关于y轴对称,反过来，如果一个函数的图
象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数且奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函
数.且f(0)=05、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义
法用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断或是否恒成立；（3）、作出相应结论.若
；若例题讲解例1：判断下列函数是否具有奇偶性：⑴；⑵；⑶.解：⑴∵，即，∴函数是奇函数；⑵∵,即，∴函数是偶函数；⑶∵
∴，∴函数既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数分段函数奇偶性的判断例2.判断函数的奇偶性：解：当＞0时，－＜0，于是当＜0
时，－＞0，于是综上可知，是奇函数．练习：1.证明，是奇函数.例3.为R上的偶函数，且当时，，则当时，x(x+1)若f(x)是
奇函数呢？已知函数的奇偶性求参数值：例4、已知函数是偶函数，求实数的值．解：∵是偶函数，∴恒成立，即恒成立，∴恒成立，∴，即．练习
：如果二次函数是偶函数，则0．2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a=b=
0构造奇偶函数求值例5、已知函数，若，求的值。【解】方法一：由题意得①②①＋②得∵，∴方法二：构造函数，则一定是奇函数
，又∵∴因此所以，即．练习1.已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝(-15)2.若，g（
x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有最小值－1单调性与奇偶性例1．设定义在［－2，2］上的偶
函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．例2.设函数f（x）对任意x，都有f（x
+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1（1）求证：f（x）是奇函数（2）判断f（x）的单调性并证明（3
）试问当-3≤x≤3时f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由5、已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的
，都有（1）、求的值；0，0（2）、判断函数的奇偶性，并加以证明奇4、函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的
是（B）A．B.C.D.课堂小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有为奇函数如果都有
为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称3、用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断或是否恒成立；（3）、作出相应结论. |
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