复变函数及其应用

复变函数及其应用——畅想系列作者：鲍祥平前言：数字是什么？数字是一切量纲的标记。一个苹果，一箱水果，一公升水，一牛顿力等。各种数量的转换可以
通过数量的运算来表示，通过数的运算可以描述现实事物各种量纲相互转换的客观规律。实数与数轴上的点一一对应，其加减运算法则遵循数轴上向
量或矢量的求合运算，（两个矢量的求合运算实质上是表示矢量对应的数量的加减运算，乘或除运算是一类特殊的有规律可循的加或减法的速效运算
（快速等效运算），（两个矢量量之间是不能加减乘除的，只有矢量量对应的数量（复数）才可以进行代数运算，我们不能说一个矢量乘以一个矢量
是多少，就和一个苹果乘以一个苹果是多少一样没有实际意义，只有数量才能进行乘除，我们平时说的向量积归根结底是表示向量的数量的运算，相
对于复数它又是另一种形式的数字运算。矢量是物理量（如力，速度等都是矢量），向量是具有数量大小和方向的量，但不属于数），那么我们把实
数称一维数或线性数，那么平面中的点可不可以对应一种更广义的数呢？我们说是有这样的数，就是我们所说的复数。类似复数的加减运算也遵循向
量的求合运算，乘或除运算也是一类特殊的有规律可循的加或减法的速效运算（快速等效运算）。以此类推也应该有三维数或更高维数，不过到目前
为止我们的数学家们还没有鼓捣出来，因为其运算法则不好确立，但是我相信我们人类非常的智慧在不久的将来总会出结果的！（笔者认为数系的扩
充是因为有一个正交的新数系的存在，那么相对于复数来说其正交新数系为虚复数，所以再进行扩充的话只能是四维的，所以所谓的三元数只不过指
的是一种向量运算或转换而已）到目前为止还没有出现像实数或复数这样完善及数域更大的数了，也许有人会说四元数，双复数等都属于超复数啊，
但是这些数系本身就不完善，观念上不清不楚，虽然在实际生活中具有实用价值，但不能定性为数，只能说它是一种算法或数学方法。但是有一个振
奋人心的好消息，本人已经发现了一种复数的复数形式的超复数，它正是以复数为基础扩展而来的，是一种复数也可以叫它超复数，而四元数和双复
数都不是以复数为基础扩展而来的，所以不能称为复数或超复数或不是纯粹的复数形式。见超复数的确立之正本清源。我了更好的理解及运用复数我
们必须了解超复数！复数的表示：在现实生活中我们经常会碰到有两个性质不同的量的合量，如总功率等于无用功加有用功，为了研究此类情况，因
此有必要建立一种新的数系即复数。一般的我们用点坐标的形式以有序数对的方式来表示复数。但是这样的表示很难分出的性质或它们在运算上的区
别，由于不同轴上的数其性质（包括运算性质）不同，所以把它们进行分类，我们把轴称实轴，以横向或水平方向画出，实轴上的数称为实数用表示
，简记为；我们把轴称虚轴用虚数符号标记，以竖向或铅锤方形画出，虚轴上的数称为虚数用表示，简记为，因此我们可以把数对记为，我们以实轴
和虚轴建立的正交系为复平面坐标系，简称复平面，在物理上我们把实数称实量，虚数称虚量。由于一个复数对应着一个向量，但是向量不等于复数
，而向量可以表示为两个相同性质（没有虚实之分）方向正交的分量的合的形式。所以我们把复数在代数上记为两个不同性质方向正交的分量的合（
用+号表示）即：的形式，前后分量颠倒顺序其值不变，，则。我们把叫一个虚单位，简记为。我们把复数中的数值叫该复数的实部，记为，把该复
数的数值叫虚部，记为；我们把叫做复数的模，即复平面中原点到复数的距离，记作：，我们把复数相对于实轴所张的角度称为复数的幅角，顺时针
方向为正向角度取正值，否则为负值。那么一个复数我们可以用其模与辐角表出，即：，根据复数代数式与三角函数（极坐标）之间关系，我们可以
把复数写成三角函数（极坐标）的形式：，特别的在主值范围内虚数单位复数的算术运算法则（加减乘除四则运算）：按照矢量（或向量）求合的关
系规定复数的加减法加法（减法类似）：乘法：复数的乘法我们规定为复数的模分别相乘其值为复数乘积的模，幅角分别相加其值为复数乘积的辐角
，那么于是有下面更一般的乘法：即：除法：复数的除法我们规定为两复数相除的值是以被除复数的模除以复数所代表的除数的模为模，被除数的幅
角减去除数的幅角所得的值为幅角。我们把复数互称为共轭复数，记复数的共轭为或。由上面的推导过程可以看出复数的积与虚数符号无关但与虚数
单位有关，即：复数的积商：我们把复数的模增减到它的多少倍，且其幅角增减多少的一种特殊类型的加减法称为复数的乘除法或积商，乘除法是
一种高效的速算方法。复数乘除法其三角式与代数式之间的变换对我们理解复数尤为重要！复数的代数运算性质：交换律。结合律。分配率。以上三条性质在复数里都适用，大家根据复数的运算法则自行推导。