专题05二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数
的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋
c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋
c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ
＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不
相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|x或x>x2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ
＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(
如图①)，得原不等式的解集为{x|20，所以方程3x2＋5x－2＝0的两实
根为x1＝－2，x2＝.由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为.(3)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函
数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R.变式解下列不等式：(1)
4x2－4x＋1>0；(2)－x2＋6x－10>0.解(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝
4x2－4x＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程
x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为?.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a
－ab，且y>0的解集为{x|－3c的取值范围．解(1)因为y>0的解集为{x|－3得所以y＝－3x2－3x＋18.(2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤
0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.变式已知关于x的不等
式ax2＋5x＋c>0的解集为.(1)求a，c的值；(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.解(1)由题意知，不
等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1.(2)由a＝－6，c＝－1知不等式
ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.题型3：含
参数的一元二次不等式的解法例3设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.解(1)当a＝0时，不等式可化为x－2
>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.①当a
<－时，解不等式得－x<－，即原不等式的解集为；④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，即原不等式的解集为.变式(1)当a＝时，求关于x的不等式x2
－x＋1≤0的解集；(2)若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．解(1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x
＋2≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.(2)x2－x＋1≤0?(x－a)≤0，①当01时，a＝＝1，不等式的解集为{1}；③当a>1时，a>，不等式的解集为.综上，当0的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为.考点1：练习题1．已知集合M＝{x|－4∩N等于()A．{x|－4∵N＝{x|－2)<0的解集为()A.B.C.D.答案D解析∵01>m，故原不等式的解集为，故选D.3．二次方程ax2＋b
x＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为()A．{x|x>3或x<－2}B．{x|x>2或x
<－3}C．{x|－2，∴不等式ax2＋bx＋c>0可化为ax2－ax－6a>0，又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，∴－23，故选C.4．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1D．10答案B解析由题意知－1,3为方程5x2－bx＋c＝0的两根，∴－1＋3＝，－3＝，∴b＝10，c＝－15，∴b＋c＝－
5.故选B.5．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是()A．{m|m≤－2或m≥2}B．{
m|－2≤m≤2}C．{m|m<－2或m>2}D．{m|－2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B.6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________．答案{2}解析原不等式可化为(x－2)
2≤0，∴x＝2.7．不等式x2＋3x－4<0的解集为________．答案{x|－4的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4<0的解集为{x|－40，若此不等
式的解集为，则m的取值范围是________．答案{m|m<0}解析∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，∴方程(mx－
1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，∴m的取值范围是m<0.9．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2
＋x－6<0的解集为B.(1)求A∩B；(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．解(1
)由x2－2x－3<0，得－1，∴A∩B＝{x|－10，∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x
2－x＋2>0的解集为R.10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3x－a>0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?解(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋
6＝0的两根，∴解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.∴所求不等式的解集为
.(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.11．下列
四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是()A．①
B．②C．③D．④答案C解析①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件
；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2
a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．{x|0>1}D．{x|－1x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．答案2≤a<3解析若a－2＝0，即a＝2时，原
方程为1＝0不合题意，∴a＝2满足条件，若a－2≠0，则Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，解得22≤a<3.14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对?x∈R恒成立，则a的取值范围为________．答案{a|－1≤a≤4
}解析x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立，∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，∴(a－4)(a＋1)≤0，∴
－1≤a≤4.考点2：等式性质与不等式性质知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相
应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．题型1：分式不等式的解法例
1解下列不等式：(1)<0；(2)≤1.解(1)<0?(2x－5)(x＋4)<0?－4，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，∴原不等式的解集为.变式解下列不等式：(
1)≥0；(2)>1.解(1)原不等式可化为解得∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或∴－3<
x<－，∴原不等式的解集为.方法二原不等式可化为>0，化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3等式的解集为.题型2：一元二次不等式的实际应用例2某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率
为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2
x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取
值范围．解(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．
依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0%＝20a(万元)．依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市
场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申
奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－
600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件
时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得当x
>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，等价于当x>25时，a≥＋＋有解．由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x
＝30时等号成立，所以a≥10.2.故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入
之和，此时该商品的每件定价为30元．考点2：练习题1．不等式≥1的解集是()A.B.C.D.答案B解析不等式≥1，移项得
－1≥0，即≤0，可化为或解得≤x<2，则原不等式的解集为，故选B.2．与不等式≥0同解的不等式是()A．(x－3)(2－x)≥
0B．00答案B解析解不等式≥0，得2－x)≥0的解是2≤x≤3，故不正确．B．不等式0D．不等式(x－3)(2－x)>0的解是20的解集为{x|x>1}，则关
于x的不等式>0的解集为()A．{x|x>1或x<－2}B．{x|12或x<－1}D．{x|－1
0的解集为{x|x>1}，∴a>0，故＝>0
，等价为(x＋1)(x－2)>0.∴x>2或x<－1.4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为()
A．{a|－1≤a≤4}B．{a|－1，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4，故选A.5
．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，
为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是()A．{x|10≤
x<16}B．{x|12≤x<18}C．{x|15为x元，则[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，∴1015，∴15C.6．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．答案{x|x<0}
解析由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，∴且a<0，∴不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，∵a<0，即－2<－x，
即<0，∴x<0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取
值范围是________．答案{x|100种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车速xkm/h有如下关系：s＝x＋x2.
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________km/h.答案80解析根
据题意，得x＋x2≥40.移项整理，得x2＋10x－7200≥0.显然Δ>0，x2＋10x－7200＝0有两个实数根，即x1＝
80，x2＝－90，然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7200的图象(图略)，得不等式的解集为{x|x≤－90或x≥80}．在
这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80km/h.9．解关于x的不等式>0(a∈R)．解原不等式可化为<0，
即(x＋1)(x－a)<0，①当a＝－1时，x∈?；②当a>－1时，{x|－1上，a＝－1时，不等式的解集为?，a>－1时，不等式的解集为{x|－110．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提
高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2
)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(
1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(02)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得00的解
集为()A．{x|x>－1且x≠2}B．{x|x>－1}C．{x|－12}答案A解析
原不等式可化为>0?∴x>－1且x≠2.故选A.12．若a>0，b>0，则不等式－b<2}答案A解析∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．14．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.这次事故的主要责任方为________．答案乙车解析由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10.分别求解，得x甲<－40或x甲>30.x乙<－50或x乙>40.由于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任． |
|
